Wykªad 10
Funkcjonaªy liniowe c.d.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta
1. Twierdzenie Hahna-Banacha
Niekiedy interesuj¡cy nas funcjonaª jest okre±lony tylko na pewnej podprzestrzeni przestrzeni unormowanej, a dla nas byªoby wygodne mie¢ ten funkcjonaª okre±lony na caªej V .
Wtedy z pomoc¡ przychodzi nast¦puj¡ce twierdzenie.
Twierdzenie 1 (Hahna-Banacha). Niech V0 b¦dzie podprzestrzeni¡ (niekoniecznie domk-ni¦t¡) przestrzeni unormowanej V . Ka»dy ograniczony funkcjonaª liniowy F okre±lony na V0 mo»na przedªu»y¢ do caªej V bez podnoszenia jego normy. Tzn. istnieje funkcjonaª
liniowy e
F na V taki, »e e
F (¯
v) = F (¯v) dla ka»dego ¯v ∈ V0 oraz k e
F k = kF k.
Wniosek 1. Dla ka»dego ¯v0 6= 0 istnieje funkcjonaª liniowy ograniczony F na V , dla którego F (¯v0) = k¯v0k oraz kF k = 1.
Proof. Na podprzestrzeni liniowej generowanej przez ¯v0 okre±lamy funkcjonaª F (t¯v0) =
tk¯
v0k. On speªnia te warunki. Z tw. Hahna-Banacha mo»emy go rozszerzy¢ na caª¡
przestrze« bez podwy»szania normy.
Wniosek 2 (wa»ny). Je±li F (¯v) = 0 dla ka»dego F ∈ V ∗, to ¯v = ¯0.
2. Sªaba topologia
Denicja 1. Ci¡g ¯vn elementów V jest sªabo zbie»ny do ¯v ∈ V , gdy dla ka»dego F ∈ V ∗
zachodzi limn F ¯vn = ¯v.
Sªaba zbie»no±¢ ma sensowne wªasno±ci:
1. granica jest jednoznacznie wyznaczona;
2. je±li ¯vn zbiega do ¯v w normie V , to zbiega tak»e sªabo (odwrotne twierdzenie nie zachodzi: ¯e1 = (1, 0, 0, ...), ¯e2 = (0, 1, 0, 0, ...),... zbiega do ¯0 sªabo, ale nie w normie c0 bo funkcjonaªy na c0 s¡ postaci P a
n
nvn, gdzie (an) ∈ l1);
3. ka»dy ci¡g sªabo zbie»ny jest ograniczony.
3. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta
W 2
R mieli±my iloczyn skalarny wektorów ¯
v = (v1, v2), ¯w = (w1, w2) okre±lony wzorem:
¯
v ◦ ¯w = (¯v, ¯w) = k¯vk · k¯wk · cos α = v1w1 + v2w2,
gdzie α to k¡t mi¦dzy wektorami ¯v a ¯w. Ogólnie dla n
R
przyjmowali±my iloczyn skalarny
(¯
v, ¯w) = v1w1 + v2w2 + ... + vnwn.
Wykorzystywali±my go do deniowania poj¦cia k¡ta mi¦dzy wektorami (dla wymiarów wi¦k-szych od 3), do sprawdzania prostopadªo±ci, obliczania rzutu prostopadªego wektora na inny wektor, czy na podprzestrze« liniow¡. To wygodne poj¦cie b¦dziemy próbowali wprowadzi¢
w ró»nych przestrzeniach liniowych. Poniewa» chcemy mie¢ ogólny schemat, nie mo»emy zrobi¢ tego wzorem podamy aksjomaty iloczynu skalarnego, czyli wªasno±ci, których od tego poj¦cia oczekujemy. Zauwa»my, »e nawet w przypadku n
R
wzór nie byª uniwersalny,
bo zale»aª od wspóªczynników w ustalonej bazie. Zmieniaj¡c baz¦, musieliby±my dopasowa¢
do niej wzór chc¡c zachowa¢ to samo poj¦cie ortogonalno±ci (prostopadªo±ci).
1
Denicja 2 (Aksjomaty iloczynu skalarnego). Iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej V nazywamy funkcj¦ dwóch zmiennych (·, ·) : V × V → K speªniaj¡c¡ warunki: 1. (¯v, ¯v) ≥ 0, a (¯v, ¯v) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ¯v = ¯0, 2. (¯v + ¯u, ¯w) = (¯v, ¯w) + (¯u, ¯w) dla dowolnych ¯u, ¯v, ¯w ∈ V , 3. (λ¯v, ¯w) = λ(¯v, ¯w) dla dowolnych ¯v, ¯w ∈ V , λ ∈ K,
4. (¯v, ¯w) = (¯w, ¯v) dla dowolnych ¯v, ¯w ∈ V .
Par¦ (V, (·, ·)) b¦dziemy nazywa¢ przestrzeni¡ unitarn¡.
Uwagi: Iloczyn skalarny jest równie» liniowy ze wzgl¦du na drugi argument. Dla przestrzeni rzeczywistej ostatni warunek oznacza symetri¦.
Przykªady
1. n
R
z iloczynem zadanym poprzednim wzorem.
2. n
C
z iloczynem skalarnym
n
X
(x, y) =
xiyi
i=1
3. l2 z iloczynem skalarnym
∞
X
(x, y) =
xiyi,
i=1
gdzie x = (xi), y = (yi). Zauwa»my, »e ten szereg jest bezwzgl¦dnie zbie»ny, bo
|xiyi| ≤ 1 |x
|y
2
i|2 + 1
2
i|2.
4. L2([0, 1]) z iloczynem skalarnym
Z
1
(f, g) =
f (t)g(t) dt
0
lub ogólniej L2(µ) nad przestrzenia miarow¡ (X, µ) z iloczynem Z
(f, g) =
f g dµ.
X
5. C([0, 1]) z iloczynem okre±lonym takim samym wzorem jak powy»ej.
Zauwa»my, »e te przestrzenie ju» znamy jako przestrzenie unormowane. Czy zawsze przestrze«
unitarna ma naturaln¡ norm¦? Okazuje si¦, »e tak. Zawsze mo»na okresli¢ norm¦ wzorem: k
p
¯
vk = (¯v, ¯v).
(1)
Twierdzenie 2 (Nierówno±¢ Schwarza).
|(¯
v, ¯w)| ≤ k¯vk · k¯wk
2
0 ≤ (¯
v − λ¯w, ¯v − λ¯w) = (¯v, ¯v) − λ(¯v, ¯w) − λ(¯v, ¯w) + (¯w, ¯w).
Nierówno±¢ otrzymamy podstawiaj¡c λ = (¯v,¯w).
(¯
w,¯w)
Je±li ta norma jest zupeªna przestrze« unitarn¡ nazywamy przestrzeni¡ Hilberta. Przestrzeni-ami Hilberta s¡ n
n
R , C , l2, L(µ).
Klasykacja: unitarne ⊂ unormowane ⊂ liniowe, unitarne ⊂ unormowane ⊂ metryczne, Hilberta ⊂ unitarne, Banacha ⊂ unormowane.
Denicja 3. Wektory ¯v i ¯w s¡ ortogonalne, gdy (¯v, ¯w) = 0.
Twierdzenie 3 (tw. Pitagorasa). Je±li ¯v i ¯w s¡ ortogonalne, to k¯
vk2 + k¯wk2 = k¯v + ¯wk2.
Proof.
k¯
v + ¯wk2 = (¯v + ¯w, ¯v + ¯w) = (¯v, ¯v + ¯w) + (¯w, ¯v + ¯w)
= (¯
v, ¯v) + (¯v, ¯w) + (¯w, ¯v) + (¯w, ¯w) = (¯v, ¯v) + (¯w, ¯w) = k¯vk2 + k¯wk2
Twierdzenie 4 (równo±¢ równolegªoboku).
k¯
v + ¯wk2 + k¯v − ¯wk2 = 2k¯vk2 + 2k¯wk2
Proof. Na ¢wiczeniach.
Okazuje si¦, »e w przestrzeni unormowanej mo»na wprowadzi¢ iloczyn skalarny zgodny z t¡ norm¡ (taki »e zachodzi (1)) tylko wtedy, gdy norma ta speªnia równo±¢ równolegªoboku.
3