Kurs wyrównawczy z matematyki
materiały pomocnicze
Jacek Kłopotowski
XIII. Rachunek
różniczkowy funkcji
jednej zmiennej
Wersja druga poprawiona
SGH Warszawa 2011
13
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
13.1
Pochodna funkcji
Definicja 13.1. Mówimy, że funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie
x
0
∈ (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa
f
0
(x
0
) = lim
h→0
f (x
0
+ h) − f (x
0
)
h
.
Liczbę f
0
(x
0
) nazywamy pochodną funkcji w punkcie x
0
. Funkcję f
0
określoną w tych
punktach x ∈ (a, b) dla których istnieje f
0
(x) nazywamy pochodną funkcji f . Wyraże-
nie
f (x
0
+h)−f (x
0
)
h
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x
0
. Jeśli funkcja
f : (a, b) → R ma pochodną w każdym punkcie x ∈ (a, b), to mówimy, że funkcja f jest
różniczkowalna.
Twierdzenie 13.2. Jeśli funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b),
to f jest ciągła w x
0
.
Przykład 13.3. Obliczymy pochodną funkcji f (x) = x
2
w dowolnym punkcie x ∈ R.
Rozwiązanie.
f
0
(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
h→0
(x + h)
2
− x
2
h
= lim
h→0
(x + h)
2
− x
2
h
=
= lim
h→0
x
2
+ 2xh + h
2
− x
2
h
= lim
h→0
2xh + h
2
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x.
Otrzymany wynik zapisujemy symbolicznie w postaci (x
2
)
0
= 2x.
Analogicznie do definicji pochodnej funkcji f w punkcie x
0
określamy pochodne jed-
nostronne funkcji f w punkcie x
0
. Pochodną lewostronną funkcji f : (a, b) → R w punkcie
x
0
∈ (a, b) nazywamy granicę
f
0
−
(x
0
) = lim
h→0
−
f (x
0
+ h) − f (x
0
)
h
,
a pochodną prawostronną – granicę
f
0
+
(x
0
) = lim
h→0
+
f (x
0
+ h) − f (x
0
)
h
.
Twierdzenie 13.4. Funkcja f : (a, b) → R jest różniczkowalna w punkcie x
0
∈ (a, b)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne i są równe.
Przykład 13.5. Pokażemy, że funkcja f : R → R, f (x) = |x| nie jest różniczkowalna w
punkcie x
0
= 0.
Rozwiązanie. Obliczając pochodne jednostronne, otrzymujemy
f
0
−
(0) = lim
h→0
−
f (0 + h) − f (0)
h
= lim
h→0
−
|h|
h
= −1,
f
0
+
(0) = lim
h→0
+
f (0 + h) − f (0)
h
= lim
h→0
+
|h|
h
= 1.
Wynika stąd, że f
0
(0) nie istnieje.
2
Jacek Kłopotowski
Pochodne funkcji obliczamy korzystając ze wzorów na pochodne funkcji elementar-
nych i z tzw. reguł różniczkowania. Przedstawimy najpierw pochodne wybranych funkcji
elementarnych.
(C)
0
= 0 – pochodna funkcji stałej,
(x
α
) = αx
α−1
– pochodna funkcji potęgowej,
(sin x)
0
= cos x – pochodna funkcji sinus,
(cos x)
0
= − sin x – pochodna funkcji cosinus.
Przykład 13.6. Obliczymy pochodną funkcji f (x) =
√
x.
Rozwiązanie. f
0
(x) = (
√
x)
0
=
x
1
2
0
=
1
2
x
1
2
−1
=
1
2
x
−
1
2
=
1
2
√
x
.
Twierdzenie 13.7 (reguły różniczkowania). Jeśli f i g są funkcjami różniczkowal-
nymi, to
a) (cf (x))
0
= cf
0
(x) – pochodna iloczynu funkcji przez stałą,
b) (f (x) ± g(x))
0
= f
0
(x) ± g
0
(x) – pochodna sumy (różnicy) funkcji,
c) (f (x)g(x))
0
= f
0
(x)g(x) + f (x)g
0
(x) – pochodna iloczynu funkcji,
d)
f (x)
g(x)
0
=
f
0
(x)g(x) − f (x)g
0
(x)
g
2
(x)
– pochodna ilorazu funkcji,
e) (g(f (x)))
0
= g
0
(f (x)f
0
(x) – pochodna funkcji złożonej.
Przykład 13.8. Korzystając z podanych wzorów i reguł różniczkowania obliczymy po-
chodne funkcji:
a) (3x
2
+ 2 sin x)
0
= 3(x
2
)
0
+ 2(sin x)
0
= 6x + 2 cos x,
b) (4x
5
cos x)
0
= (4x
5
)
0
cos x + 4x
5
(cos x)
0
= 20x
4
− 4x
5
sin x,
c)
12x
2
x − 1
0
=
(12x
2
)
0
(x − 1) − 12x
2
(x − 1)
0
(x − 1)
2
=
24x(x − 1) − 12x
2
(x − 1)
2
=
12x
2
− 24x
(x − 1)
2
,
d) (tg x)
0
=
sin x
cos x
0
=
(sin x)
0
cos x − sin x(cos x)
0
cos
2
x
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos
2
x
=
=
cos
2
x + sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
,
e)
√
x
2
− 4
0
=
1
2
√
x
2
− 4
2x =
x
√
x
2
− 4
.
13.2
Interpretacje pochodnej
13.2.1
Interpretacja geometryczna
Prosta przechodząca przez leżące na wykresie funkcji y = f (x) (patrz rysunek 13.1)
punkty
A (x
0
, f (x
0
)) , B (x
0
+ h, f (x
0
+ h)) ,
ma równanie
y − f (x
0
) =
f (x
0
+ h) − f (x
0
)
h
(x − x
0
).
Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x
0
jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej
przechodzącej przez punkty A i B. Jeśli h dąży do 0, to punkt B dąży do punktu A i
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
3
otrzymujemy styczną do wykresu funkcji w punkcie (x
0
, f (x
0
)). Różniczkowalność funkcji
f w punkcie x
0
jest zatem równoważna warunkowi, że istnieje styczna do wykresu funkcji
w punkcie o odciętej x
0
. Styczna ta ma równanie
y − f (x
0
) = f
0
(x
0
)(x − x
0
),
a więc pochodna f
0
(x
0
) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej, tzn. f
0
(x
0
) =
tg α, gdzie α jest miarą kąta, jaki tworzy styczna z osią 0x.
x
y
x
0
x
0
+h
A
B
f (x
0
)
f (x
0
+h)
y=f (x)
Rysunek 13.1. Interpretacja geometryczna pochodnej
Przykład 13.9. Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = 2x
5
− 3x
2
w
punkcie o odciętej x
0
= 1.
Rozwiązanie. Mamy f (1) = −1, f
0
(x) = 10x
4
− 6x oraz f
0
(1) = 4. Wstawiając do
wzoru na styczną, otrzymujemy y − (−1) = 4(x − 1) ⇔ y = 4x − 5.
13.2.2
Interpretacja fizyczna
Jeśli przyjmiemy, że f (t), gdzie t ≥ 0, oznacza długość drogi jaką przebył pewien obiekt
od chwili 0 do chwili t, to różnica f (t
0
+ h) − f (t
0
) jest równa długości przebytej drogi od
chwili t
0
do chwili t
0
+ h. Iloraz różnicowy
f (t
0
+h)−f (t
0
)
h
jest zatem równy średniej prędkości
rozważanego obiektu między chwilami t
0
i t
0
+ h, a granica tego ilorazu (przy h → 0)
f
0
(t
0
) jest równa prędkości rozważanego obiektu w chwili t
0
.
13.3
Zastosowania pochodnej
Pochodną funkcji wykorzystujemy do badania monotoniczności funkcji i wyznaczania eks-
tremów lokalnych.
13.3.1
Monotoniczność funkcji
Twierdzenie 13.10. Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną.
a) Jeśli f
0
(x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to f rośnie w przedziale (a, b).
4
Jacek Kłopotowski
b) Jeśli f
0
(x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to f maleje w przedziale (a, b).
a) Jeśli f
0
(x) = 0 dla każdego x ∈ (a, b), to f jest funkcją stałą w przedziale (a, b).
Przykład 13.11. Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x
3
− 5x
2
+
3x + 2.
Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór R, funkcja jest różniczkowalna w swojej dzie-
dzinie, a jej pochodna jest równa
f
0
(x) = x
3
− 5x
2
+ 3x + 2
0
= x
3
0
− 5 x
2
0
+ 3 (x)
0
+ (2)
0
= 3x
2
− 10x + 3.
Badając znaki pochodnej, otrzymujemy
f
0
(x) = 0 ⇔ x =
1
3
∨ x = 3,
f
0
(x) > 0 ⇔ x ∈ −∞,
1
3
∪ (3, ∞) ,
f
0
(x) < 0 ⇔ x ∈
1
3
, 3
.
Wynika stąd, że funkcja f rośnie w przedziale −∞,
1
3
i w przedziale (3, ∞), a maleje w
przedziale
1
3
, 3
.
13.3.2
Ekstrema lokalne
Definicja 13.12. Mówimy, że funkcja f : (a, b) → R ma w punkcie x
0
∈ (a, b) maksimum
lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy
_
r>0
^
x∈(x
0
−r,x
0
+r)
f (x) ≤ f (x
0
).
Mówimy, że funkcja f : (a, b) → R ma w punkcie x
0
∈ (a, b) minimum lokalne wtedy i
tylko wtedy, gdy
_
r>0
^
x∈(x
0
−r,x
0
+r)
f (x) ≥ f (x
0
).
Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji f .
Przykład 13.13. Funkcja y = f (x), której wykres przedstawiony jest na rysunku 13.2,
ma maksima lokalne w punktach x
1
i x
3
, a minimum lokalne – w punktach x
2
i x
4
.
Twierdzenie 13.14 (warunek konieczny na ekstremum). Jeśli różniczkowalna funk-
cja f : (a, b) → R ma w punkcie x
0
∈ (a, b) ekstremum lokalne, to f
0
(x
0
) = 0.
Punkty x, w których f
0
(x) = 0, nazywamy punktami podejrzanymi o ekstremum.
Twierdzenie 13.15 (warunek dostateczny na ekstremum). Niech f : (a, b) → R
będzie funkcją różniczkowalną, x
0
∈ (a, b) i f
0
(x
0
) = 0. Jeśli istnieje takie r > 0, że:
a) f
0
(x) > 0 dla x ∈ (x
0
− r, x
0
) i f
0
(x) < 0 dla x ∈ (x
0
, x
0
+ r), to funkcja f ma w
punkcie x
0
maksimum lokalne;
b) f
0
(x) < 0 dla x ∈ (x
0
− r, x
0
) i f
0
(x) > 0 dla x ∈ (x
0
, x
0
+ r), to funkcja f ma w
punkcie x
0
minimum lokalne;
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
5
x
y
x
1
x
2
x
3
x
4
y=f (x)
Rysunek 13.2. Ekstrema lokalne funkcji
c) f
0
(x) ≥ 0 dla x ∈ (x
0
− r, x
0
+ r) albo f
0
(x) ≤ 0 dla x ∈ (x
0
− r, x
0
+ r), to funkcja
f nie ma w punkcie x
0
ekstremum lokalnego.
Przykład 13.16. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji f (x) = 3x
5
− 5x
3
.
Rozwiązanie. Funkcja f określona jest na całej osi liczbowej, a jej pochodna f
0
(x) =
15x
4
− 15x
2
jest wielomianem czwartego stopnia. Badamy znak pochodnej rozkładając ją
na na czynniki
15x
4
− 15x
2
= 15x
2
(x
2
− 1) = 15x
2
(x + 1)(x − 1).
Miejscami zerowymi pochodnej są punkty x
1
= −1, x
2
= 0, x
3
= 1, przy czym x
1
,
x
3
są pierwiastkami pojedynczymi, a x
2
jest pierwiastkiem podwójnym. Znak pochodnej
najłatwiej można zbadać korzystając z jej wykresu (patrz rysunek 13.3).
x
y
0
−1
1
Rysunek 13.3. Wykres pochodnej f
0
(x) = 15x
4
− 15x
2
Otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli postaci
x
(−∞, −1)
−1
(−1, 0)
0
(0, 1)
1
(1, ∞)
f
0
(x)
+
0
−
0
−
0
+
f (x)
%
2
&
0
&
−2
%
6
Jacek Kłopotowski
Na podstawie tej tabeli możemy stwierdzić, że funkcja f ma w punkcie −1 maksimum
lokalne, w punkcie 1 ma minimum lokalne, w punkcie 0 (mimo, że pochodna jest równa
0) nie ma ekstremum lokalnego.
13.3.3
Ekstrema globalne funkcji
Definicja 13.17. Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x
0
∈ ha, bi największą
wartość w przedziale ha, bi wtedy i tylko wtedy, gdy
^
x∈ha,bi
f (x) ≤ f (x
0
).
Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x
0
∈ ha, bi najmniejszą wartość w przedziale
ha, bi wtedy i tylko wtedy, gdy
^
x∈ha,bi
f (x) ≥ f (x
0
).
Punkty, w których funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą wartość w przedziale
ha, bi nazywamy ekstremami globalnymi funkcji f w przedziale ha, bi.
Przykład 13.18. Funkcja y = f (x), której wykres przedstawiony jest na rysunku 13.4,
największą wartość w przedziale ha, bi przyjmuje w punkcie b (będącym końcem prze-
działu), a najmniejszą wartość w przedziale ha, bi – w punkcie x
0
leżącym wewnątrz prze-
działu ha, bi.
x
y
a
x
0
b
y=f (x)
Rysunek 13.4. Ekstrema globalne funkcji y = f (x) w przedziale ha, bi
Największą i najmniejszą wartość w przedziale domkniętym ha, bi funkcja może przy-
jąć w punktach, w których ma ekstrema lokalne lub na końcach przedziału. Stąd wynika
metoda wyznaczania wyznaczania ekstremów globalnych w przedziale ha, bi funkcji róż-
niczkowalnej y = f (x). Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej (nie musimy sprawdzać,
czy są to ekstrema lokalne) leżące wewnątrz przedziału, a następnie obliczamy wartość
funkcji w wyznaczonych punktach i na końcach przedziału. Z otrzymanych liczb wybie-
ramy wartość największą i najmniejszą.
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
7
Przykład 13.19. Wyznaczymy największą i najmniejszą wartość funkcji
f (x) = 2x
3
+ 9x
2
− 24x
w przedziale h−1, 2i.
Rozwiązanie. Mamy f
0
(x) = 6x
2
+ 18x − 24 oraz
f
0
(x) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = −4.
Obliczając wartości funkcji w punktach −1, 1, 3 (−4 6∈ h−1, 2i) , otrzymujemy f (−1) =
31, f (1) = −13, f (3) = 4. Największą wartość równą 31 funkcja osiąga w punkcie −1, a
najmniejszą równą −13 w punkcie 1. Odpowiedź zapisujemy w postaci
f
max
= max
x∈h−1,3i
f (x) = f (−1) = 31, f
min
=
min
x∈h−1,3i
f (x) = f (1) = −13.
Zadania
1. Obliczyć pochodną funkcji:
a) f (x) = x
2
+ 3x,
b) f (x) =
3
√
x
2
,
c) g(x) = 3x
2
sin x,
d) f (x) = 2x
4
+ x cos x,
e) f (x) =
x
2
x − 3
,
f) h(x) =
√
x
2x − 5
,;
g) f (t) = 1 −
1
1 + t
2
,
h) f (x) =
3 − x
2
2x
2
,
i) h(x) = ctg x,
j) f (t) = t
3
sin t,
k) g(z) =
z + 3
z
3
− 4z
,
l) h(t) =
1 + sin t
2 − cos t
,
m) f (y) =
2 sin y
1 − cos y
,
n) f (x) =
x sin x
x + cos x
.
2. Obliczyć pochodną funkcji złożonej:
a) f (x) =
√
x
2
+ 1,
b) f (x) = sin
2
x,
8
Jacek Kłopotowski
c) f (x) = sin x
2
,
d) g(x) =
1
√
x
2
− 4
,
e) h(t) =
(t + 3)
5
t
4
,
f) h(v) = cos(1 + v
2
),
g) f (x) =
√
x + 1
x
2
.
3. Wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej wzorem f (x) = x +
1
x
. Zbadać, czy równanie
f
0
(x) =
2
x
ma rozwiązanie.
4. Wykazać, że pochodna funkcji określonej wzorem f (x) = x sin x, x ∈ R jest funkcją
nieparzystą.
5. Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f (x) = x
2
− 3x w punkcie o odciętej x
0
= 2.
6. Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f (x) =
x − 1
x + 4
w punkcie o odciętej x
0
= −1.
7. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f (x) =
1
3
x
3
− 2x − 1 ma równanie
6x − 3y + 11 = 0?
8. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i
stycznej do wykresu funkcji f (x) = x
2
+ x.
9. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a) f (x) = x
2
− 2x + 5,
b) f (t) = 2t
4
− t
2
,
c) f (x) = x +
1
x
,
d) f (x) =
3x
2
− 1
x
2
+ 2
, x ∈ R,
e) f (x) =
6 − x
2
2x
2
+ 1
, x ∈ R.
10. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f (x) =
x + 3
x
2
− 5
.
11. Wyznaczyć b tak, aby funkcja określona wzorem f (x) = cos
2
x − bx, x ∈ R była
funkcją malejącą.
12. Niech f (x) =
x
2
− a
x + 1
. Dla jakich a ∈ R funkcja f :
a) jest przedziałami rosnąca,
b) ma ekstremum lokalne w punkcie x = −2?
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
9
13. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) f (x) = 4x − x
2
,
b) f (x) = x
2
− 6x + 5,
c) f (x) = 3x (x − 2)
2
,
d) f (x) = x +
1
x
,
e) f (x) =
1
1 + x
2
,
f) f (x) =
x
1 + x
2
,
14. Cena p, jaką uzyskuje się za jednostkę pewnego towaru zależy od wielkości dostawy
x według wzoru p =
100
x
2
+ 100
. Przy jakiej wielkości dostawy uzyska się największy
utarg?
15. W pewnym zakładzie produkcyjnym koszt całkowity wytworzenia x jednostek to-
waru wyraża się wzorem K(x) = 2x
3
+ 50x + 32, gdzie x ≥ 0. Przy jakiej wielkości
produkcji koszt przypadający na jednostkę wytworzonego produktu jest najmniej-
szy?
16. Wyznaczyć taką liczbę a, żeby funkcja f (x) = −2x
3
+ 3ax + 4 miała ekstremum
lokalne w punkcie x = 1. Następnie zbadać, czy jest to maksimum czy minimum.
17. Niech f (x) = ax
3
− 3x
2
+ 2, x ∈ R. Dla jakich wartości parametru a ∈ R funkcja
f (x):
a) ma ekstremum lokalne w punkcie x = 5.
b) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne?
18. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x(x − 2)
2
w przedziale
h−1, 2i.
19. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x
3
−6x−2 w przedziale
h−2, 3i.
20. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) = x +
2
x
− 2 w przedziale
h1; 4i.
21. Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu 8-godzinnego dnia pracy
i po t godzinach osiąga wartość w = 100 + 12t + 9t
2
− 4t
3
. O której godzinie jego
wydajność jest największa, jeżeli pracę rozpoczyna o godzinie siódmej?
Rozwiązania i odpowiedzi
1.
a) f
0
(x) = 2x + 3,
b) f
0
(x) =
2
3
3
√
x
,
c) g
0
(x) = 6x sin x + 3x
2
cos x,
d) f
0
(x) = 8x
3
+ cos x − x sin x,
10
Jacek Kłopotowski
e) f
0
(x) =
x
2
− 6x
(x − 3)
2
,
f) h
0
(x) = −
1
2
2x + 5
√
x (2x − 5)
2
,
g) f
0
(t) =
2t
(1 + t
2
)
2
,
h) f
0
(x) = −3x
−3
,
i) h
0
(x) = −
1
sin
2
x
,
j) f
0
(t) = 3t
2
sin t + t
3
cos t,
k) g
0
(z) = −
2z
3
+ 9z
2
− 12
z
2
(z
2
− 4)
2
,
l) h
0
(t) = −
−2 cos t + sin t + 1
4 − 4 cos t + cos
2
t
,
m) f
0
(y) =
2
−1 + cos y
,
n) f
0
(x) =
sin x cos x + x
2
cos x + x
x
2
+ 2x cos x + cos
2
x
.
2.
a) f
0
(x) =
x
√
x
2
+ 1
;
b) f
0
(x) = 2 sin x cos x = sin 2x;
c) f
0
(x) = 2x (cos x
2
);
d) g
0
(x) = −
x
√
x
2
− 4
3
;
e) h
0
(t) = (t + 3)
4
t − 12
t
5
;
f) h
0
(v) = −2v (sin (1 + v
2
));
g) f
0
(x) = −
1
2
3x + 4
x
3
√
x + 1
.
3. Df = (−∞, 0) ∪ (0, +∞); tak x
1
=
√
2 + 1, x
2
= 1 −
√
2.
4. f
0
(x) = sin x + x cos x, x ∈ R. Ponieważ
f
0
(−x) = sin(−x) + (−x) cos(−x) = −f
0
(x),
więc funkcja f
0
jest nieparzysta.
5. y = x − 4.
6. y =
5
9
x −
1
9
.
7. x = −2.
8. y = x.
9.
a) D
f
= R, funkcja f maleje w przedziale (−∞, 1), rośnie w przedziale (1, ∞);
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
11
b) D
f
= R, funkcja f maleje w przedziale −∞, −
1
2
i w przedziale 0,
1
2
, rośnie
w przedziale −
1
2
, 0
i w przedziale
1
2
, ∞
;
c) D
f
= R − {0}, funkcja f rośnie w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞),
maleje w przedziale (−1, 0) i w przedziale (0, 1);
d) funkcja f jest malejąca w przedziale (−∞, 0), rosnąca w przedziale (0, +∞);
e) funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0), malejąca w przedziale (0, +∞).
10. D
f
= −∞, −
√
5
∪ −
√
5,
√
5
∪
√
5, ∞
. Funkcja f maleje w przedziałach (−∞, −5),
−1,
√
5
,
√
5, ∞
, rośnie w przedziałach −5, −
√
5
, −
√
5, −1
.
11. b ∈ h1, ∞).
12.
a) dla a ≥ 1,
b) a = 0.
13.
a) maksimum lokalne w punkcie x = 2;
b) minimum lokalne w punkcie x = 3;
c) maksimum lokalne w punkcie x =
2
3
, minimum lokalne w punkcie x = 2;
d) maksimum lokalne w punkcie x = −1, minimum lokalne w punkcie x = 1;
e) maksimum lokalne w punkcie x = 0;
f) minimum lokalne w punkcie x = −1, maksimum lokalne w punkcie x = 1.
14. Wyznaczamy maksimum funkcji u(x) = xp =
100x
x
2
+ 100
, x ∈ (0, +∞); x
max
= 10.
15. Wyznaczamy minimum funkcji k(x) = 2x
2
+ 50 +
32
x
2
, x ∈ (0, +∞); x
min
= 2.
16. a = 2, maksimum.
17.
a) a =
2
5
,
b) a = 0.
18. f
min
= f (−1) = −9, f
max
= f (
2
3
) =
32
27
.
19. f
min
= f (
√
2) = −4
√
2 − 2, f
max
= f (3) = 7.
20. f
min
= f (
√
2) = 2
√
2 − 2, f
max
= f (4) = 2
1
2
.
21. O godzinie dziewiątej.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
materialy pomocnicze14 Rachunek Nieznany
rach. materiały pomocnicze, Rachunkowość
Materialy pomocnicze 4 biomater Nieznany
0 02 Material pomocniczy z szer Nieznany (2)
materiały pomocnicze rachunkowość
Materialy pomocnicze cardan AG Nieznany
Materialy pomocnicze 4 id 28534 Nieznany
cwiczenie nr 1 materialy pomocn Nieznany
cwiczenie nr 3 materialy pomocn Nieznany
cwiczenie nr 2 materialy pomocn Nieznany
cykl Nieznany świat materiały pomocnicze
2012 KAK Materialy pomocnicze I Nieznany
Materialy pomocn id 286338 Nieznany
Materialy Pomocnicze (1) id 285 Nieznany
Materialy pomocnicze id 285330 Nieznany
Materialy pomocnicze wyrown II Nieznany
449 SKiTI LAB Materialy Pomocni Nieznany (4)
więcej podobnych podstron