Kurs wyrównawczy z matematyki

materiały pomocnicze

Jacek Kłopotowski

XIV. Rachunek

prawdopodobieństwa

Wersja druga poprawiona

SGH Warszawa 2011

14

Rachunek prawdopodobieństwa

14.1

Definicja prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zdarzeń, które zależą od przypadku,
czyli tak zwanych zdarzeń losowych. Przykładem takich zdarzeń są wyniki rzutu monetą
lub wyniki rzutu kostką do gry. Wynik doświadczenia nazywamy zdarzeniem elemen-
tarnym i oznaczamy symbolem ω. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy
symbolem Ω. Jeśli Ω jest zbiorem skończonym, to każdy podzbiór zbioru Ω nazywamy
zdarzeniem losowym. Rodzinę zdarzeń losowych oznaczać będziemy dalej symbolem M.

W rachunku prawdopodobieństwa zbiór Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, a zbiór ∅

nazywamy zdarzeniem niemożliwym. Jeśli ω ∈ A, to mówimy, że zdarzenie elementarne
ω sprzyja zajściu zdarzenia losowego A. Jeśli A ⊂ B, to mówimy, że zdarzenie A pociąga
za sobą zdarzenie B. Sumę zbiorów A ∪ B nazywamy alternatywą zdarzeń A, B, a ilo-
czyn zbiorów A ∩ B – koniunkcją zdarzeń A, B. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A
nazywamy zdarzenie A

0

= Ω−A. Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne, jeśli A∩B = ∅.

Definicja 14.1. Niech Ω będzie skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, a M rodziną
wszystkich podzbiorów zbioru Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P : M → R
spełniającą warunki:

a) P (A) ≥ 0 dla każdego A ∈ M;

b) P (Ω) = 1;

c) jeśli zdarzenia losowe A, B są rozłączne, to P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

Twierdzenie 14.2 (Własności prawdopodobieństwa). Niech P : M → R będzie
prawdopodobieństwem, wówczas:

a) P (∅) = 0;

b) jeśli zdarzenia losowe A

1

, A

2

, ..., A

k

są parami rozłączne, to

P (A

1

∪ A

2

∪ ... ∪ A

k

) = P (A

1

) + P (A

2

) + ... + P (A

k

);

c) P (A

0

) = 1 − P (A);

d) jeśli A ⊂ B, to P (B − A) = P (B) − P (A) oraz P (A) ≤ P (B);

e) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) dla dowolnych zdarzeń losowych A i B.

Przykład 14.3 (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa). Niech Ω będzie zbio-
rem skończonym , a M – rodziną wszystkich podzbiorów zbioru Ω. Prawdopodobieństwo

P : M → R określamy wzorem P (A) =

=

A

=

Ω

, gdzie

=

A oznacza liczbę elementów zbioru A, a

=

Ω liczbę elementów zbioru Ω.

W klasycznej definicji prawdopodobieństwa przyjmuje się, że prawdopodobieństwa zda-
rzeń jednoelementowych są równe.

2

Jacek Kłopotowski

14.2

Elementy kombinatoryki

Przy obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń losowych na podstawie definicji klasycznej
korzystamy ze wzorów z kombinatoryki.

Definicja 14.4. Permutacją zbioru n-elementowego A = {a

1

, a

2

, ..., a

n

} nazywamy każdy

n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów zbioru A.

Twierdzenie 14.5. Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa P

n

=

n!.

Definicja 14.6. Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru A = {a

1

, a

2

, ..., a

n

}, gdzie

k ≤ n, nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnowartościowy utworzony z elementów zbioru
A.

Twierdzenie 14.7. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-
elemento-wego jest równa V

k

n

=

n!

(n−k)!

.

Definicja 14.8. Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru A = {a

1

, a

2

, ..., a

n

} nazy-

wamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z elementów zbioru A.

Twierdzenie 14.9. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-
elementowego jest równa W

k

n

= n

k

.

Definicja 14.10. Kombinacją k-elementową zbioru A = {a

1

, a

2

, ..., a

n

}, gdzie k ≤ n,

nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A.

Twierdzenie 14.11. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego
jest równa C

k

n

=

n
k

=

n!

k!(n−k)!

.

Przykład 14.12. Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 zostały ustawione w przypadkowej kolej-
ności. Obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia, że:

a) liczby 1 i 2 są ustawione w sąsiedztwie w podanej kolejności,

b) liczby 1, 2 i 3 są ustawione w sąsiedztwie w podanej kolejności.

Rozwiązanie. a) Zbiorem zdarzeń elementarnych Ω jest zbiór permutacji zbioru 10-

elementowego, zatem

=

Ω = 10! Zbiorem zdarzeń sprzyjających A jest zbiór permutacji

zbioru 9-elementowego (parę liczb 1,2 traktujemy jako jeden element), a więc P (A) =

9!

10!

=

1

10

.

b) Rozumując podobnie jak w podpunkcie a), otrzymujemy P (B) =

8!

10!

=

1

90

.

Przykład 14.13. Rzucamy 4 razy kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo zda-
rzenia, że:

a) w każdym rzucie wypadnie inna liczba oczek,

b) w każdym rzucie wypadnie sześć oczek,

c) w każdym rzucie wypadnie ta sama liczba oczek,

d) sześć oczek wypadnie w co najmniej jednym rzucie.

Rachunek prawdopodobieństwa

3

Rozwiązanie. Zbiorem zdarzeń elementarnych Ω jest zbiór wszystkich 4-ro wyrazo-

wych ciągów o elementach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}, czyli zbiór 4-wyrazowych wariacji z

powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego. Wynika stąd, że

=

Ω = W

4

6

= 6

4

= 1296.

a) Niech A oznacza zdarzenie – w każdym rzucie wypadnie inna liczba oczek. A jest

zbiorem 4-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego, a więc

=

A =

V

4

6

=

6!

(6−4)!

= 6 · 5 · 4 · 3 = 360. Zatem P (A) =

360

1296

=

5

18

.

b) Oznaczmy przez B zdarzenie – w każdym rzucie wypadnie 6 oczek, B jest zbiorem

jednoelementowym, B = {(6, 6, 6, 6)}, stąd P (B) =

1

6

4

.

c) Zdarzeniu losowemu C – w każdym rzucie wypadnie ta sama liczba oczek, sprzyja 6

zdarzeń elementarnych (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), ..., (6, 6, 6, 6), zatem P (C) =

6

6

4

=

1

6

3

=

1

216

.

d) Oznaczmy przez D zdarzenie – 6 wypadnie w co najmniej jednym rzucie. P (D)

obliczymy korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P (D) =
1 − P (D

0

). D

0

oznacza zdarzenie – w żadnym rzucie nie wypadnie 6 oczek, czyli D

0

jest

zbiorem 4-ro wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego,

=

D

0

= W

4

5

=

5

4

. Stąd wynika, że P (D) = 1 − P (D

0

) = 1 −

5
6

4

=

671

1296

.

Przykład 14.14. Winda rusza z 6 pasażerami i zatrzymuje się na 8 piętrach. Jakie
jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że na żadnym piętrze nie wysiądzie więcej niż jedna
osoba?

Rozwiązanie. Każdy z 6 pasażerów może wysiąść na jednym z 8 pięter. Zbiorem zda-

rzeń elementarnych jest więc zbiór 6-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru

8-elementowego, zatem

=

Ω = W

6

8

= 8

6

. Zbiorem zdarzeń sprzyjających A jest zbiór 6-

wyrazowych wariacji bez powtórzeń, czyli P (A) =

8!

(8−6)!

/8

6

=

315

4096

.

14.3

Zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwo warunkowe, wzór
na prawdopodobieństwo całkowite

Definicja 14.15. Mówimy, że zdarzenia losowe A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy P (A ∩ B) = P (A)P (B). W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są
zależne.

Twierdzenie 14.16. Jeśli zdarzenia losowe A i B są niezależne, to niezależne są zdarze-
nia losowe:

a) A

0

i B,

b) A

0

i B

0

.

Przykład 14.17. Rzucamy trzykrotnie monetą. Niech A oznacza zdarzenie: otrzymane
wyniki nie są identyczne, B – zdarzenie: wypadła co najwyżej jedna reszka. Zbadamy
niezależność zdarzeń A i B.

Rozwiązanie. Wyznaczymy zbiór zdarzeń elementarnych i zbiory zdarzeń sprzyjających

zaistnieniu zdarzenia A i zdarzenia B.

Ω = {(O, O, O), (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O), (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O), (R, R, R)}.

A = {(O, O, R), (O, R, O), (R, O, O), (O, R, R), (R, O, R), (R, R, O)}

B = {(O, O, O), (O, O, R), (O, R, O), (R, O, O)}.

4

Jacek Kłopotowski

Stąd otrzymujemy P (A) =

6
8

=

3
4

, P (B) =

4
8

=

1
2

, P (A ∩ B) =

3
8

. Ponieważ P (A ∩ B) =

P (A)P (B), więc zdarzenia A i B są niezależne.

Definicja 14.18. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A, pod warunkiem, że
zaszło zdarzenie B, gdzie P (B) > 0, nazywamy liczbę

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

.

Twierdzenie 14.19 (Wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeśli zdarzenia lo-
sowe B

1

,B

2

, ..., B

n

spełniają warunki:

a) B

1

∪ B

2

∪ ... ∪ B

n

= Ω;

b) P (B

k

) > 0 dla k = 1, 2, ..., n;

c) B

j

∩ B

k

= ∅ dla k, j = 1, 2, ..., n, k 6= j; to dla dowolnego zdarzenia losowego A

P (A) = P (A|B

1

)P (B

1

) + P (A|B

2

)P (B

2

) + ... + P (A|B

n

)P (B

n

).

Przykład 14.20. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 3 czarne, w drugiej – 4
kule białe i 2 czarne. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadną mniej niż 3 oczka losujemy
jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z drugiej urny.
Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Rozwiązanie. Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Wprowadźmy

następujące oznaczenia:

A – wylosowanie kuli białej,
B

1

– wyrzucenie kostką do gry mniej niż 3 oczka,

B

2

– wyrzucenie kostką do gry nie mniej niż 3 oczka.

Zauważmy, że P (B

1

) =

1
3

, P (B

2

) =

2
3

, P (A|B

1

) =

5
8

, P (A|B

2

) =

2
3

. Stąd otrzymujemy

P (A) = P (A|B

1

)P (B

1

) + P (A|B

2

)P (B

2

) =

5
8

·

1
3

+

2
3

·

2
3

=

47
72

.

Zadania

1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w trzykrotnym rzucie monetą syme-

tryczną otrzymamy:

a) dokładnie dwa orły,

b) co najmniej dwa orły,

c) wszystkie wyniki identyczne.

2. W pierwszej urnie jest 2 razy więcej kul czarnych niż kul białych , a w drugiej urnie

– 3 razy więcej kul białych niż kul czarnych. Jeśli przełożymy wszystkie kule do
trzeciej urny (początkowo pustej), to prawdopodobieństwo wylosowania z trzeciej
urny kuli białej będzie takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli czar-
nej. Wyznaczyć liczbę kul białych i kul czarnych w obu urnach losów wiedząc, że w
obu urnach jest łącznie 300 kul.

3. Rzucamy raz sześcioma kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na

każdej kostce wypadnie inna liczba oczek.

Rachunek prawdopodobieństwa

5

4. Zastęp 20-tu harcerzy ustawia się losowo w dwuszeregu (po 10 harcerzy w każ-

dym rzędzie). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że harcerz A oraz harcerz
B znajdą się w różnych rzędach.

5. W urnie znajdują się 3 kule białe i 9 czarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że

wśród wylosowanych bez zwracania trzech kul:

a) jest dokładnie jedna biała,

b) przynajmniej jedna biała?

6. Niech A i B będą niezależnymi zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) =

1
4

, P (B) =

1
5

. Obliczyć P (A ∪ B).

7. Rzucamy trzykrotnie monetą. Niech A oznacza zdarzenie: otrzymaliśmy co najwyżej

dwie reszki, B – zdarzenie: otrzymaliśmy co najmniej dwa orły. Zbadać niezależność
zdarzeń A i B.

8. W pierwszej urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne, w drugiej 3 białe i 2 czarne.

Losujemy jedną kulę z pierwszej urny i nie oglądając jej wkładamy do drugiej urny.
Następnie losujemy jedną kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo wylo-
sowania z drugiej urny kuli białej.

9. Z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne losujemy bez zwracania dwie kule. Obli-

czyć prawdopodobieństwo zdarzenia: wylosowano co najmniej jedną kulę czarną.

10. Marion i Robin Hood oddają po jednym strzale do tarczy. Marion trafia w środek

tarczy z prawdopodobieństwem 0, 8, Robin Hood – z prawdopodobieństwem 0, 9.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:

a) tarcza została co najmniej raz trafiona w środek,

b) tarcza została dwa razy trafiona w środek.

11. Rzucamy trzy razy monetą. Niech A oznacza zdarzenie: co najmniej raz wypadła

reszka, zaś B zdarzenie: wypadły trzy orły lub trzy reszki. Sprawdzić, czy zdarzenia
A, B

0

są niezależne.

12. Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10 losujemy jeden

raz dwie kule. Niech A oznacza zdarzenie – suma liczb na wylosowanych kulach jest
podzielna przez 6, a B oznacza zdarzenie – iloczyn liczb na wylosowanych kulach
jest mniejszy od 20. Zbadać niezależność zdarzeń A i B.

13. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 7 czarnych, w drugiej 5 białych i 4 czarne.

Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy jedną kulę z
pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – z drugiej. Obliczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia: wylosowana kula jest biała.

14. W pierwszej torebce jest 20 cukierków czekoladowych i 10 kawowych, a w drugiej 15

czekoladowych i 15 kawowych. Rzucamy raz monetą, jeśli wypadnie orzeł, to wybie-
ramy losowo jeden cukierek z pierwszej torebki, jeśli wypadnie reszka, to wybieramy
losowo jeden cukierek z drugiej torebki. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że
otrzymaliśmy cukierek kawowy.

6

Jacek Kłopotowski

15. W pierwszej urnie są 2 białe i 3 czarne kule, a w drugiej urnie 3 białe i 5 czarnych.

Rzucamy kostką do gry, jeżeli wypadnie 6 oczek, to losujemy kulę z drugiej urny,
a jeżeli mniej to z pierwszej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli
białej.

16. Ze zbioru liczb {1, 2, .., 15} losujemy bez zwracania 2 liczby. Obliczyć prawdopodo-

bieństwo zdarzenia:

a) iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez 5,

b) iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez 7,

c) iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez 5 i przez 7,

d) iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez 5 lub przez 7.

17. Z hurtowni do sklepu dostarcza się żarówki w kartonach zawierających po 100 żaró-

wek. Dostarczony towar poddaje się losowej kontroli. Jeżeli z dwóch wylosowanych
żarówek co najmniej jedna jest wadliwa, dostarczony karton zwracamy; w przeciw-
nym przypadku – przyjmujemy. Co jest bardziej prawdopodobne przy takiej kon-
troli: odrzucenie kartonu zawierającej 5% żarówek wadliwych, czy przyjęcie kartonu
zawierającej 70% żarówek wadliwych?

18. Pierwsza urna zawiera 10 białych i 4 czarne kule, druga – 9 białych i 5 czarnych.

Rzucamy dwukrotnie kostką. Jeśli suma wyrzuconych oczek jest większa od 3, to
losujemy kulę z pierwszej urny, a w przeciwnym przypadku – z drugiej. Obliczyć
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

19. W pierwszej urnie są 4 białe i 4 czarne kule, w drugiej 3 białe i 2 czarne. Z pierwszej

urny przekładamy trzy kule do urny drugiej, a następnie z urny drugiej losujemy
jedną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny.

20. Losujemy jedną liczbę spośród liczb 1, 2, ..., 200. Wyznaczyć prawdopodobieństwo:

a) wylosowania liczby podzielnej przez 3 i przez 8,

b) wylosowania liczby podzielnej przez 3 lub przez 8.

Rozwiązania i odpowiedzi

1. a)

3
8

, b)

1
2

, c)

1
4

.

2. W pierwszej urnie jest 60 kul białych i 120 kul czarnych, a w drugiej urnie jest 90

kul białych i 30 kul czarnych .

3.

6!

6

6

=

5

324

.

4.

(

2
1

)

·

(

18

9

)

(

20
10

)

=

10
19

.

5. a)

(

3
1

)(

9
2

)

(

12

3

)

=

27
55

, b) 1 −

(

9
3

)

(

12

3

)

=

34
55

.

Rachunek prawdopodobieństwa

7

6. Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń, otrzymujemy

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B) =

=

1
4

+

1
5

−

1
4

·

1
5

=

2
5

.

7. Są zależne.

8.

2
3

·

5
9

+

1
2

·

4
9

=

16
27

.

9. 1 −

(

2
2

)

(

5
2

)

=

9

10

.

10. a) 0, 98; b) 0, 72.

11. Są zależne.

12. Zdarzenia A i B są zależne.

13.

127
270

.

14.

1
3

·

1
2

+

1
2

·

1
2

=

5

12

.

15.

2
5

·

5
6

+

3
8

·

1
6

=

19
48

.

16. a) 1 −

(

12

2

)

(

15

2

)

=

13
35

, b) 1 −

(

13

2

)

(

15

2

)

=

9

35

, c)

6

(

15

2

)

=

2

35

, d)

13
35

+

9

35

−

2

35

=

4
7

.

17. Prawdopodobieństwo odrzucenia kartonu zawierającego 5% żarówek wadliwych jest

równe: P

1

= 1 −

(

95

2

)

(

100

2

)

=

97

990

. Prawdopodobieństwo przyjęcia kartonu zawierającego

70% żarówek wadliwych jest równe P

2

=

(

30

2

)

(

100

2

)

=

29

330

, P

1

> P

2

.

18.

10
14

·

11
12

+

9

14

·

1

12

=

17
24

.

19.

(

4
3

)

(

8
3

)

·

6
8

+

(

4
2

)

·

(

4
1

)

(

8
3

)

·

5
8

+

(

4
1

)

·

(

4
2

)

(

8
3

)

·

4
8

+

(

4
3

)

(

8
3

)

·

3
8

=

9

16

.

20. a)

1

25

, b)

83

200

.