W
YDZIAŁ
F
IZYKI
I
I
NFORMATYKI
S
TOSOWANEJ
Imię i Nazwisko:
M
IROSŁAW
F
IRLEJ
T
OMASZ
N
OGA
Rok 2006/2007
Grupa III
Zespół
7
Mostek Wheatstone’a
32
04.12.2006r
Data oddania:
11.12.2006r.
Zwrot do poprawy
Data oddania:
.
Data zaliczenia:
Ocena:
Mostek Wheatstone’a
- 2 -
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie
zaleŜności określających opór zastępczy dla połączeń szeregowych, równoległych oraz
mieszanych.
2. Wstęp teoretyczny
Prawo Ohma. Gęstość prądu
Pod pojęciem prądu elektrycznego rozumiemy przepływ ładunku elektrycznego przez
przewodnik. Weźmy w tym celu pod uwagę odosobniony przewodnik metaliczny, np.
kawałek drutu miedzianego. Jak wiadomo, charakterystyczną cechą takiego przewodnika jest
występowanie w nim swobodnych elektronów. Przy braku zewnętrznego pola elektrycznego
swobodne elektrony znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu cieplnym, w którym nie jest
wyróŜniony Ŝaden wypadkowy kierunek. Oznacza to, Ŝe liczba elektronów przechodzących w
jednostce czasu przez hipotetyczną płaszczyznę - przecinającą prostopadle przewodnik - z
prawej strony na lewą jest taka sama, jak liczba elektronów przechodzących z lewej strony
płaszczyzny na prawą. Wypadkowa szybkość przechodzenia elektronów jest więc równa zeru
- wzdłuŜ drutu nie występuje Ŝaden wypadkowy ruch. JeŜeli końce drutu połączymy z baterią,
to w kaŜdym punkcie w jego wnętrzu ustali się pole elektryczne o natęŜeniu E (rys. 1).
Rys. 1
Pole to - oddziałując na elektrony siłą F = eE powoduje nałoŜenie się na cieplny, bezładny
ruch elektronów ruchu uporządkowanego w kierunku E ze średnią prędkością unoszenia v
u
(NaleŜy zaznaczyć, Ŝe przewodnik do którego podłączono baterię przestaje być odosobniony.
Istnienie wewnętrznego pola elektrycznego nie jest więc sprzeczne z zasadą w myśl której
E=0 we wnętrzu przewodnika odosobnionego). NatęŜenie wywołanego polem E prądu
elektrycznego opisane jest wzorem:
dt
dq
I
=
(1)
NatęŜenie prądu I jest wielkością skalarną i opisuje przepływ prądu tylko jakościowo. W celu
analizy w jakim kierunku i pod jakim kątem do wybranej powierzchni przekroju przewodnika
odbywa się przenoszenie ładunku, wprowadza się pojęcie wektora gęstości prądu j. Kierunek
i zwrot tego wektora są zgodne z kierunkiem prądu (ruchu ładunków dodatnich), tj. zgodne z
kierunkiem pola. Jego wartość wyraŜa się wzorem:
Mostek Wheatstone’a
- 3 -
n
dS
dI
j
=
(2)
w którym S
n
jest polem powierzchni prostopadłej do kierunku prądu(rys. 2)
Rys. 2
Jak wynika z rysunku:
α
cos
dS
dS
n
=
(3)
NatęŜenie prądu płynącego w przewodniku jest całką z jego gęstości po polu rozwaŜanego
przekroju przewodnika:
∫
S
jdS
(4)
RozwaŜmy sytuację, gdy do przewodnika (lub jego fragmentu) przyłoŜymy róŜnicę
potencjałów U. Popłynie wówczas przezeń prąd o natęŜeniu I (rys. 3).
Rys. 3
Na początku XIX wieku Georg Ohm stwierdził, Ŝe natęŜenie prądu w metalach jest
proporcjonalne do przyłoŜonego napięcia - o ile w trakcie pomiarów utrzymuje się stałą
temperaturę metalowej próbki. A zatem prawo Ohma:
R
U
I
=
(5)
Mostek Wheatstone’a
- 4 -
Wielkość R nosi nazwę oporu przewodnika. Opór jest proporcjonalny do długości odcinka
przewodu l i odwrotnie proporcjonalny do jego przekroju A:
A
l
R
ρ
=
(6)
I Prawo Kirchhoffa - suma prądów wpływających do i wypływających z dowolnego
węzła jest równa 0.
II Prawo Kirchhoffa - suma spadków napięć wzdłuŜ dowolnego oczka jest równa sumie sił
elektromotorycznych.
Rys 4. Mostek uŜywany w ćwiczeniu
Warunek dla mostka zrównowaŜonego:
a
l
a
R
R
d
x
−
⋅
=
(7)
gdzie:
R
d
- rezystancja opornika dekadowego
a - połoŜenie suwaka (mierzone od węzła z podpiętym R
x
)
l - długość drutu oporowego.
3. Wyniki Pomiarów
Tabela 1. Pomiar Rezystora R
1
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
79
699
317
187
119
79
52
34
20
9
a[cm]
50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
R
1
[
Ω
]
79,00
77,67
79,25
80,14
79,33
79,00
78,00
79,33
80,00
81,00
Warto
ść
ś
rednia
R
1
ś
r
[
Ω
]
79,27
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
1
ś
r
) [
Ω
]
0,31
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
1B
) [
Ω
]
0,70
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
1S
) [
Ω
]
0,28
Mostek Wheatstone’a
- 5 -
Tabela 2. Pomiar Rezystora R
2
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
100
900
399
232
150
99
66
42
25
11
a[cm]
50
10
20
30
40
50
60
70
80
90,4
R
2
[
Ω
]
100,00 100,00
99,75
99,43
100,00
99,00
99,00
98,00
100,00 103,58
Warto
ść
ś
rednia
R
2
ś
r
[
Ω
]
99,88
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
2
ś
r
) [
Ω
]
0,46
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
2B
) [
Ω
]
0,92
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
2S
) [
Ω
]
0,31
Tabela 3. Pomiar Rezystora R
3
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
55
495
222
129
84
55
36
23
14
6
a[cm]
50
10
20
30
40
50
60,3
70,6
79,8
90,4
R
3
[
Ω
]
55,00
55,00
55,50
55,29
56,00
55,00
54,68
55,23
55,31
56,50
Warto
ść
ś
rednia
R
3
ś
r
[
Ω
]
55,35
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
3
ś
r
) [
Ω
]
0,17
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
3B
) [
Ω
]
0,32
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
3S
) [
Ω
]
0,18
Tabela 4. Pomiar Rezystora R
4
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
25
221
100
58
37
25
16
10
6
2
a[cm]
49,7
10
20
30
40
49,6
60,5
71
80,3
92,6
R
4
[
Ω
]
24,702 24,556 25,000 24,857 24,667 24,603 24,506 24,483 24,457 25,027
Warto
ść
ś
rednia
R
4
ś
r
[
Ω
]
24,686
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
4
ś
r
) [
Ω
]
0,066
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
4B
) [
Ω
]
0,15
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
4S
) [
Ω
]
0,056
Tabela 5. Pomiar Połączenia Szeregowego: R
1
,
R
2
, R
3
i R
4
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
258
2300
1040
608
388
259
171
110
65
30
a[cm]
50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
R
s
[
Ω
]
258,0
255,6
260,0
260,6
258,7
259,0
256,5
256,7
260,0
270,0
Warto
ść
ś
rednia
R
s
ś
r
[
Ω
]
259,5
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
s
ś
r
) [
Ω
]
1,3
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
sB
) [
Ω
]
3,1
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
sS
) [
Ω
]
0,63
Tabela 6. Pomiar Połączenia Równoległego: R
1
,
R
2
i R
3
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
24
217
100
58
37
24
16
10
6
3
a[cm]
50,5
10
20
30
40
50,4
60,2
70,8
80,1
89,1
R
r
[
Ω
]
24,485 24,111 25,000 24,857 24,667 24,387 24,201 24,247 24,151 24,523
Warto
ść
ś
rednia
R
r
ś
r
[
Ω
]
24,463
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
r
ś
r
) [
Ω
]
0,096
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
rB
) [
Ω
]
0,21
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
rS
) [
Ω
]
0,10
Mostek Wheatstone’a
- 6 -
Tabela 7. Pomiar Połączenia Mieszanego (Rys. 5)
Długo
ść
drutu oporowego: l = 100cm
R
d
[
Ω
]
195
1731
786
460
295
194
129
83
49
22
a[cm]
50
10
20
30
40
50
60
70
80
90,2
R
m
[
Ω
]
195,00 192,33 196,50 197,14 196,67 194,00 193,50 193,67 196,00 202,49
Warto
ść
ś
rednia
R
m
ś
r
[
Ω
]
195,73
Odchylenie
ś
redniej
µ
(R
m
ś
r
) [
Ω
]
0,90
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na ko
ń
cach drutu)
µ
(R
mB
) [
Ω
]
2,1
Odchylenie
ś
redniej (pomiar na
ś
rodku drutu)
µ
(R
mS
) [
Ω
]
0,64
Tabela 8. Pomiar Wielokrotny dla Połączenia Szeregowego
a[cm]
R
d
[
Ω
]
R
x
[
Ω
]
a[cm]
R
d
[
Ω
]
R
x
[
Ω
]
a[cm]
R
d
[
Ω
]
R
x
[
Ω
]
5
4832 254,32
39
406
259,59
63
150
259,51
6
4002 255,45
40
389
259,61
64
144
259,50
7
3402 256,06
41
373
259,60
65
138
259,29
8
2970 258,26
42
357
259,82
66
132
259,24
9
2600 257,14
43
344
259,71
67
126
259,42
10
2309 256,56
44
330
259,69
68
121
259,43
11
2069 255,72
45
316
259,65
69
116
259,49
12
1889 257,59
45,5
310
259,61
70
110
259,57
13
1720 257,01
46
304
259,56
71
105
259,27
14
1580 257,21
46,5
298
259,61
72
100
259,34
15
1454 256,59
47
291
259,76
73
96
259,56
16
1347 256,57
47,5
285
259,86
74
90
259,15
17
1267 259,51
48
280
259,86
75
86
259,30
18
1180 259,02
48,5
274
260,04
76
81
259,50
19
1100 258,02
49
269
259,95
77
77
259,38
20
1038 259,50
49,5
263
259,59
78
73
258,82
21
980
260,51
50
258
259,50
79
69
259,57
22
920
259,99
50,5
252
259,69
80
65
260,00
23
873
260,77
51
248
259,57
81
61
260,05
24
823
259,89
51,5
242
259,27
82
57
259,67
25
783
260,00
52
239
259,82
83
53
258,76
26
743
259,73
52,5
233
259,43
84
50
259,60
27
704
259,78
53
228
259,41
85
46
260,67
28
667
259,89
53,5
224
259,62
86
43
260,14
29
637
260,18
54
219
259,59
87
40
262,69
30
607
260,14
54,5
214
259,33
88
36
261,00
31
580
259,88
55
210
259,57
89
32
258,91
32
552
259,76
56
201
261,52
90
30
270,00
33
527
259,57
57
195
259,49
91
26
262,89
34
504
259,64
58
186
259,66
92
24
276,00
35
482
259,54
59
178
259,15
93
20
265,71
36
462
259,88
60
171
259,60
94
17
266,33
37
442
259,59
61
164
259,61
95
14
266,00
38
424
259,87
62
158
259,79
96
11
264,00
Mostek Wheatstone’a
- 7 -
Rys. 5: Połączenie Mieszane
4. Opracowanie Wyników Pomiarów
W ćwiczeniu uŜywano następujących przyrządów:
•
galwanometr (MEA – 1, klasa 2,5)
•
opornica dekadowa (MDR – 93; klasa 0,05% na zakresach 100[
Ω
]
,1[k
Ω
]
,10[k
Ω
]
i 0,1%
na zakresie 10[
Ω
]
)
•
przewody
•
oporniki
Przykładowe obliczenie wartości szukanego oporu R
1
(tabela 1):
b
a
d
x
R
R
R
R
=
gdzie odpowiednio:
S
a
R
a
ρ
=
i
S
a
l
R
b
−
=
0
ρ
zatem:
]
[
7
,
77
]
[
10
100
10
699
Ω
=
Ω
−
⋅
=
−
=
a
l
a
R
R
d
x
Niepewność pomiaru:
]
[
31
,
0
)
1
(
)
(
)
(
1
2
1
Ω
=
−
−
=
∑
=
n
n
R
R
R
n
i
ś
r
x
µ
Połączenie szeregowe oporów R
1
, R
2
, R
3
, R
4
(tabela 5)
Opór zastępczy(za poszczególne
wartości oporów przyjęto wartości średnie z poszczególnych pomiarów dla kaŜdego oporu z
osobna):
]
Ω
±
=
+
+
+
=
0,58)[
(259,19
R
R
R
R
R
4
3
2
1
z
Połączenie równoległe oporów R
1
, R
2
, R
3
(tabela 6)
Opór zastępczy(za poszczególne wartości
oporów przyjęto wartości średnie z poszczególnych pomiarów dla kaŜdego oporu z osobna):
]
)[
68
,
0
57
,
24
(
3
2
1
3
2
3
1
2
1
Ω
±
=
+
+
=
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Z
Mostek Wheatstone’a
- 8 -
Połączenie mieszane oporów R
1
, R
2
, R
3
, R
4
(tabela 7, rysunek 5)
Opór zastępczy(za
poszczególne wartości oporów przyjęto wartości średnie z poszczególnych pomiarów dla
kaŜdego oporu z osobna):
]
)[
75
,
0
22
,
196
(
4
3
4
3
2
1
Ω
±
=
+
+
+
=
R
R
R
R
R
R
R
Z
0
5
10
15
20
25
30
258,56 258,82 259,07 259,33 259,59 259,84 260,10 260,36 260,61 260,87 261,12 Wi
ę
cej
Prze działy [
Ω
]
C
z
ę
s
to
ś
ć
Wykres 1. Histogram częstości uzyskiwanych wyników
5. Wnioski
Celem ćwiczenia było praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa i sprawdzenie
zaleŜności określających opór zastępczy dla połączeń szeregowych, równoległych oraz
mieszanych. W pierwszej części naleŜało wyznaczyć opór kaŜdego opornika z osobna, który
wynosi
odpowiednio:
R
1
=(79,27±0,31)
Ω
,
R
2
=(99,88±0,46)
Ω
,
R
3
=(55,27±0,27)
Ω
,
R
4
=(24,686±0,066)
Ω.
Niepewności pomiaru wynikają z klasy opornicy dekadowej oraz błędu
paralaksy przy odczycie połoŜenia suwaka. Większy przyczynek do niepewności wnosiły(we
wszystkich pomiarach) pomiary wykonywane na brzegach drutu oporowego. Niepewności te
zostały policzone oddzielnie. Następnie wyznaczano opory będące pewną konfiguracją
oporów wyznaczonych wcześniej. Pierwszy przypadek to połączenie wszystkich tych oporów
szeregowo – wyznaczona wartość równa się R
z
=(259,5±1,3)
Ω
opór zastępczy wyliczony
teoretycznie wynosi R
z
=
]
Ω
±
0,58)[
(259,19
. Wartość ta mieści się w granicach błędu
pomiarowego. Dla połączenia równoległego opór wyniósł: R
z
=(24,463±0,096)
Ω
a wyliczony
teoretycznie R
z
=(24,57±0,68)
Ω
– wartość ta mieści się w granicach błędu. Opór zastępczy
jest w tym przypadku jest mniejszy od wartości oporu najmniejszego będącego w połączeniu.
Dla połączenia mieszanego opór wyznaczony doświadczalnie wynosi R
z
=(195,22±0,90)
Ω
a
wyznaczony teoretycznie R
z
=(199,22±0,75)
Ω
- wartość ta nie mieści się w granicach błędu
pomiarowego. Ostatnia część polegała na 100-u krotnym pomiarze jednego oporu (w tym
przypadku było to połączenie szeregowe wszystkich oporów). Otrzymane wyniki podlegają
Mostek Wheatstone’a
- 9 -
rozkładowi Gaussa, jedynie pomiary na brzegach drutu oporowego wniosły większe
odchylenie i w rezultacie większe rozrzuceniu wokół wartości średniej.