L

ABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE

6

Pomiary gęstości ciał

Ćwiczenie 6

2

ĆWICZENIE

6

Pomiary gęstości ciał

Piotr Fornal

1.

Wprowadzenie

Masa ciała określa ilość materii w nim zgromadzonej. Jednostką masy jest kilogram. Do wyzna-

czania masy ciał służy waga. Do poprawnego działania wagi szalkowej niezbędna jest grawitacja
(jednorodne pole sił grawitacji). Pomiar opiera się na założeniu, że dwa ciała o jednakowych masach
są przyciągane przez Ziemię jednakową siłą. Za pomocą wagi porównujemy masę danego przedmio-
tu z masą odważników, które odpowiadają określonym częściom wzorca 1 kg. Obecnie stosowane
wagi elektroniczne stosują przetworniki siły (ciężaru ciała) na wielkości elektryczne: napięcie - czujniki
piezoelektryczne lub opór – czujniki tensometryczne. Przed wykonaniem pomiarów wymagają wyze-
rowania, czyli takiego ustalenia parametrów elektronicznych, aby urządzenie nieobciążone wskazy-
wało 0 kg.

Średnią gęstością nazywamy masę jednostkowej objętości ciała. Można ją wyznaczyć korzystając

ze wzoru:

= ,

gdzie:

ρ

- gęstość ciała wyrażona w kg/m

3

, - masa ciała w kg, – jego objętość w m

3

.

W układzie SI podstawową jednostką gęstości jest kg/m

3

. W codziennej praktyce bardziej natu-

ralną jednostką jest g/cm

3

. Gęstość wody, wynosi w przybliżeniu 1g/cm

3

co oznacza, że 1 ml (1cm

3

)

wody ma masę 1 g, a 1 litr (1dm

3

) masę 1 kg. Z obserwacji wiemy, że jeżeli ciało ma gęstość średnią

większą od gęstości wody to tonie, jeżeli mniejszą to pływa po powierzchni wody.

Znajomość gęstości ciał ma szerokie znaczenie praktyczne. Znając ten parametr można określić

rodzaj materiału, jakość produktów, stężenie roztworu. Pomiary gęstości są powszechnie stosowane
w przemyśle (szczególnie spożywczym), diagnostyce medycznej.

Dla ciał jednorodnych gęstość jest identyczna w każdym punkcie ciała i charakteryzuje dany ma-

teriał. Przykładowe wartości gęstości różnych substancji zawierają tabele stałych fizycznych. Należy
zauważyć, że objętość ciał zmienia się z temperaturą, co powoduje zmianę ich gęstości. Najczęściej w
tablicach fizycznych wartości gęstość podaje się w temperaturze pokojowej 18

°

C dla ciał stałych i

cieczy lub w warunkach normalnych dla gazów. Gęstości substancji szczególnie ważnych, np. wody
podaje się w szerokim zakresie temperatur. Znając współczynnik rozszerzalności objętościowej ciał i
gęstość w określonej temperaturze można wyliczyć gęstość tego ciała w innych temperaturach.

W przypadku ciał niejednorodnych gęstości średnia odbiega od gęstość lokalnej i jest wielkością

uśrednioną po całej objętości ciała. Gęstość lokalna charakteryzuje jedynie dany obszar ciała. Chcąc
określić gęstość ciała w każdym jego punkcie, wprowadzamy gęstość

, , będącą funkcją współ-

rzędnych

, , i zdefiniowaną wzorem:

, ,

= lim

∆ →

∆

∆

,

3

gdzie ∆ to element masy ciała o objętości ∆ , w punkcie o współrzędnych , ,

.

1.1

Różne metody pomiaru gęstości

Opracowano wiele metod pozwalających określić gęstość ciał stałych i cieczy. W trakcie ćwicze-

nia będzie wyznaczana gęstość cieczy (np. wodny roztwór NaCl) oraz gęstość ciała stałego wskazane-
go przez prowadzącego. Poszczególne próbki są oznaczone literami.

Bezpośredni pomiar gęstości ciał stałych można wyznaczyć dzieląc masę ciała przez jego obję-

tość , jeśli objętość jest znana.

Natomiast do bezpośredniego pomiaru gęstości cieczy możemy użyć aerometru (rys.1). Areo-

metr jest szklaną bańką obciążoną u dołu, zaopatrzoną u góry w wysmukłą walcowatą rurkę ze skalę
pomiarową. Często umieszczony jest w nim również termometr pozwalający na pomiar temperatury
cieczy. Ciężar i kształt areometru są tak dobrane, aby pływał on częściowo zanurzony. Głębokość
zanurzenia zależy wprost od gęstości cieczy, dlatego na skali określającej zanurzenia areometru mo-
żemy odczytać gęstość badanej cieczy.

Inne metody pomiarowe opierają się na porównywaniu gęstości badanej próbki z gęstością cie-

czy wzorcowej np. gęstością wody destylowanej. Należy zauważyć, że gęstość wody zależy od tempe-
ratury, co trzeba uwzględnić w obliczeniach. Wartości gęstości wody w różnych temperaturach od-
czytujemy z tablic.

Poniżej przedstawiono opis metod pomiarowych wykorzystywanych w ćwiczeniu.

1.2

Wyznaczanie gęstości ciał stałych przy użyciu wagi
hydrostatycznej

Metoda pomiaru gęstości ciał stałych przy użyciu wagi hydrostatycznej opiera się na prawie Ar-

chimedesa. W metodzie tej należy wyznaczyć masę badanego ciała w powietrzu

oraz masę

cieczy, wypartej przez to ciało

o znanej gęstości

ρ

). Zgodnie z prawem Archimedesa, w

przypadku całkowitego zanurzenia, siła wyporu działająca na ciało wyraża się wzorem:

ρ

⋅

⋅

⋅

- objętość ciała, - przyspieszenie ziemski, - siła wyporu.

Rys.1. Aerometr, przyrząd służący
do pomiaru gęstości cieczy

Ćwiczenie 6

4

Z powyższego wzoru możemy obliczyć objętość ciała .

0

2

ρ

m

V

=

.

Podstawiając tak wyznaczoną objętość do wzoru na gęstość otrzymujemy:

0

2

1

0

2

1

1

ρ

ρ

ρ

⋅

=

=

=

m

m

m

m

V

m

.

Masę wypartej cieczy wyznaczamy odejmując od masy ciała w powietrzu ( m

1

) masę ( m

3

), która

równoważy ciężar tego ciała w przypadku całkowitego zanurzenia w cieczy.

m

2

= m

1

- m

3

Powyższa metoda może być stosowana dla ciał, które można całkowicie zanurzyć w cieczy wzorcowej
i które jednocześnie nie są w niej rozpuszczalne.

1.3

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu wagi hydrostatycznej

W celu wyznaczenia gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej używamy ciała (pływak) o gę-

stości większej niż ciecz wzorcowa i ciecz badana. Ciało to nie może rozpuszczać się w żadnej z nich.
Pomiar polega na wyznaczeniu masy wypartej cieczy wzorcowej ( m

1

) i cieczy badanej ( m

2

) przy

całkowitym zanurzeniu pływaka. Gęstość badanej cieczy wyznaczamy ze wzoru

0

1

2

ρ

ρ

⋅

=

m

m

,

gdzie

ρ

0

- gęstość cieczy wzorcowej, m

1

- masa wypartej cieczy wzorcowej, m

2

- masa wypartej cieczy

badanej.

Masę wypartej cieczy wyznaczamy podobnie jak w punkcie 2.1.

1.4

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu
piknometru

Piknometr (rys.2) jest specjalnym naczyniem szklanym zaprojekto-

wanym do pomiarów gęstości cieczy i gęstości niewielkich ciał. Pomiar
gęstości cieczy przy użyciu piknometru jest bardzo prosty. Należy wy-
znaczyć masę pustego piknometru (m

1

), piknometru z cieczą wzorcową

o gęstości

ρ

0

, np. wodą destylowaną (m

2

), piknometru z badaną cieczą

(m

3

). Następnie korzystając z poniższego wzoru wyznaczamy gęstość

badanej cieczy.

0

1

2

1

3

0

1

2

1

3

ρ

ρ

ρ

⋅

−

−

=

−

−

=

=

m

m

m

m

m

m

m

m

V

m

.

W budowie piknometru zwrócono szczególną uwagę na izolację ter-

Rys.2. Piknometr

5

miczną. Z tego powodu ścianki piknometru wykonuje się z podwójnej warstwy szkła. Dodatkowo
piknometr wyposażony jest w korek z termometrem, co umożliwia odczyt temperatury cieczy w trak-
cie pomiaru. Umieszczony z boku kanalik przelewowy, pozwala zachować stałą objętość cieczy wy-
pełniającej wnętrze piknometru. Przy pomiarach z użyciem piknometru należy zwrócić uwagę, aby
cała przestrzeń piknometru wraz z kanałem przelewowym była wypełniona cieczą. W czasie pomiaru
piknometr powinien być zatkany korkiem. Nie należy czynić tego zbyt silnie, aby nie uszkodzić szkla-
nych elementów. Nie należy także zbyt długo przetrzymywać piknometru w rękach, by nie zmienić
temperatury wypełniającej go cieczy.

1.5

Wyznaczanie gęstości ciał stałych przy użyciu piknometru

Używając piknometru do pomiaru gęstości ciał stałych należy zważyć badaną próbkę w powie-

trzu ( m

1

), zważyć piknometr wypełniony cieczą wzorcową ( m

2

), oraz piknometr wypełniony cieczą

wzorcową z badaną próbką ( m

3

). Gęstość badanej próbki wyznaczamy ze wzór

0

3

2

1

1

0

3

2

1

1

ρ

ρ

ρ

⋅

−

+

=

−

+

=

=

m

m

m

m

m

m

m

m

V

m

,

ρ

0

- gęstość cieczy wzorcowej.

Materiały mierzone tą metodą nie mogą rozpuszczać się w cieczy wzorcowej, ani jej wchłaniać.

1.6

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu naczyń połączonych.

Do każdego z ramion naczyń połączonych nalewamy

różne, nie mieszające się ciecze. Ciśnienie p na poziomej
powierzchni przechodzącej przez punkt zetknięcia się obu
cieczy jest równe w obu ramionach i dane wzorem:

(

)

(

)

g

h

h

p

g

h

h

p

p

o

⋅

⋅

−

+

=

⋅

⋅

−

+

=

0

2

3

1

2

1

0

ρ

ρ

,

ρ

1

- gęstości badanej cieczy;

ρ

0

– gęstość cieczy wzorcowej;

h

1

, h

2

, h

3

- wysokość ponad wyznaczony poziom; p

0

- ci-

śnienie atmosferyczne (rys.3).

Rys.3. Rurka w kształcie litery U służąca

do pomiarów gęstości cieczy

Po przekształceniach otrzymujemy wzór na gęstość badanej cieczy.

0

2

1

2

3

1

ρ

ρ

⋅

−

−

=

h

h

h

h

.

Ćwiczenie 6

6

1.7

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu rurek Harrego

W przypadku cieczy mieszających się ze sobą do wyznaczania gęstości można użyć rurek Harrego.
Są to dwie rurki połączone u góry, z których można wypompować część powietrza. Przypominają
odwrócone naczynia połączone. W czasie pomiaru, dolne końce rurek zanurzamy w naczyniach z
cieczami. Przez wyssanie gumową gruszką części powietrza, wytwarzamy w przestrzeni nad cieczami
podciśnienie. Ponieważ rurki są połączone, wytworzone podciśnienie musi być zrekompensowane
przez ciśnienie hydrostatyczne cieczy w każdej z rurek.

(

)

(

)

g

h

h

p

g

h

h

p

p

⋅

⋅

−

+

=

⋅

⋅

−

+

=

0

4

3

1

2

1

0

ρ

ρ

,

gdzie p - ciśnienie gazu w rurkach, p

0

- ciśnienie atmosferycz-

ne, h

1

, h

2

, h

3

, h

4

określa wysokość słupa cieczy w każdym z

ramion (rys).

Znając gęstość cieczy w jednym z ramion można wyzna-

czyć gęstość cieczy w drugim ramieniu.

0

2

1

4

3

1

ρ

ρ

⋅

−

−

=

h

h

h

h

.

2.

Wykonanie ćwiczenia

1.

Prowadzący przydziela studentom próbki, których gęstość mają wyznaczyć. Jedną próbkę cia-
ła stałego i jedną próbkę cieczy. Próbki oznaczone są literami.

2.

Prowadzący określa metody pomiarowe, które mają być zastosowane do wyznaczenia gęsto-
ści próbek (wykreślając z części praktycznej sprawozdania zbędne tabele).

3.

Student wykonuje stosowne pomiary mas i wysokości powierzchni cieczy.

4.

Student wykonuje stosowne obliczenia. Porównuje otrzymane wartości gęstości ze sobą (w
przypadku pomiaru jednej próbki kilkoma metodami) i wartościami tablicowymi. Określa na
ich podstawie rodzaj badanych próbek, tzn. nazwę materiału, z którego wykonano próbkę
stałą oraz stężenie roztworu NaCl dla próbki ciekłej.

Niepewność pomiaru masy

Niepewności pomiarów wykonywanych wagą szalkową będą liczone metodą B. Załóżmy,

że udało na się tak dobrać odważniki, że zrównoważyliśmy szalki wagi (wskazówka pokazuje
zero). Gdybyśmy dysponowali mikroskopijnymi odważnikami o bardzo niewielkiej masie, to
moglibyśmy zauważyć, że dokładanie kolejnych mikroskopijnych odważników na dowolną z
szalek początkowo nie spowoduje zmiany osiągniętego stanu równowagi. Jest to spowodo-
wane oporami w mechanizmie wagi. Dopiero przekroczenie pewnej masy doprowadziłoby do
zauważalnego przez nas wychylenia wskazówki. Oczywiście nie mamy odważników, o których
była mowa wyżej, ale możemy sprawdzić jaki najmniejszy odważnik znajdujący się na wypo-
sażeniu wagi spowoduje zauważalne wychylenie wskazówki. Niech

oznacza masę, za po-

7

mocą której zrównoważyliśmy wagę, a

masę najmniejszego odważnika zaburzającego

równowagę. Możemy uznać, że masa ważonego obiektu mieści się w przedziale granicznym

−

,

+

. Połowa szerokości tego przedziału jest równa

. Rozsądnym

wydaje się być założenie, że rozkładem gęstości prawdopodobieństwa naszej zmiennej loso-
wej na przedziale granicznym jest rozkład prostokątny. A zatem niepewność pomiaru masy
wyniesie:

#

=

√3

.

Jeśli wagi nie udaje się zrównoważyć, to znajdźmy obie skrajne masy: największą

&

, przy

której wskazówka jest po jednej stronie zera i najmniejszą

'

, przy której jest już po dru-

giej stronie zera. Jako wynik pomiaru przyjmiemy

=

&

+

'

/2, a niepewność wyli-

czymy ze wzoru

#

=

'

−

&

2√3

.

W przypadku wagi elektronicznej za połowę przedziału granicznego przyjmijmy 0.01g.

3.

Literatura

[1] A.K.Wróblewski, J.A.Zakrzewski: Wstęp do fizyki, t.1. PWN, Warszawa 1976.

[2] H.Szydłowski: Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa 1966.

[3] J.Kurzyk: Wprowadzenie do metod opracowania danych pomiarowych.

[4] B.Oleś, M.Duraj: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, część 1.