L

ABORATORIUM FIZYCZNE

 

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej 

ĆWICZENIE

 

6 

Pomiary gęstości ciał 

 

 

 

Ćwiczenie 6 

2 
 

ĆWICZENIE

 

6 

Pomiary gęstości ciał 

Piotr Fornal 

1.

 

Wprowadzenie 

Masa ciała określa ilość materii w nim zgromadzonej. Jednostką masy jest kilogram. Do wyzna-

czania  masy  ciał  służy  waga.  Do  poprawnego  działania  wagi  szalkowej  niezbędna  jest  grawitacja  
(jednorodne pole sił grawitacji). Pomiar opiera się na założeniu, że dwa ciała o jednakowych masach 
są przyciągane przez Ziemię jednakową siłą.   Za pomocą wagi porównujemy masę danego przedmio-
tu z masą odważników, które odpowiadają  określonym częściom wzorca 1 kg. Obecnie stosowane 
wagi elektroniczne stosują przetworniki siły (ciężaru ciała) na wielkości elektryczne: napięcie - czujniki 
piezoelektryczne lub opór – czujniki tensometryczne. Przed wykonaniem pomiarów wymagają wyze-
rowania, czyli takiego ustalenia  parametrów elektronicznych, aby urządzenie nieobciążone wskazy-
wało 0 kg. 

Średnią gęstością nazywamy masę jednostkowej objętości ciała. Można ją wyznaczyć korzystając 

ze wzoru: 

= , 

gdzie: 

ρ

 - gęstość  ciała wyrażona w kg/m

3

,    - masa ciała w kg,   – jego objętość w m

3

. 

W układzie SI podstawową jednostką gęstości jest kg/m

3

. W codziennej praktyce bardziej natu-

ralną jednostką jest g/cm

3

. Gęstość wody, wynosi w przybliżeniu 1g/cm

3

 co oznacza, że 1 ml (1cm

3

) 

wody ma masę 1 g, a 1 litr (1dm

3

) masę 1 kg. Z obserwacji wiemy, że jeżeli ciało ma gęstość średnią 

większą od gęstości wody to tonie, jeżeli mniejszą to pływa po powierzchni wody.  

Znajomość gęstości ciał ma szerokie znaczenie praktyczne. Znając ten parametr można określić 

rodzaj materiału, jakość produktów, stężenie roztworu. Pomiary gęstości są powszechnie stosowane 
w przemyśle (szczególnie spożywczym), diagnostyce medycznej. 

Dla ciał jednorodnych gęstość jest identyczna w każdym punkcie ciała i charakteryzuje dany ma-

teriał. Przykładowe wartości  gęstości  różnych substancji  zawierają  tabele  stałych  fizycznych.  Należy 
zauważyć, że objętość ciał zmienia się z temperaturą, co powoduje zmianę ich gęstości. Najczęściej w 
tablicach  fizycznych  wartości  gęstość  podaje  się  w  temperaturze  pokojowej  18 

°

C  dla  ciał  stałych  i 

cieczy  lub  w  warunkach  normalnych  dla  gazów.  Gęstości  substancji  szczególnie  ważnych,  np.  wody 
podaje się w szerokim zakresie temperatur. Znając współczynnik rozszerzalności objętościowej ciał i 
gęstość w określonej temperaturze można wyliczyć gęstość tego ciała w innych temperaturach.  

W przypadku ciał niejednorodnych gęstości średnia odbiega od gęstość lokalnej i jest wielkością 

uśrednioną po całej objętości ciała. Gęstość lokalna charakteryzuje jedynie dany obszar ciała. Chcąc 
określić gęstość ciała w każdym jego punkcie, wprowadzamy gęstość 

, ,  będącą funkcją współ-

rzędnych 

, ,   i zdefiniowaną wzorem: 

, ,

= lim

∆ →

∆

∆

, 

 

3 

 

gdzie ∆  to element masy ciała o objętości ∆ , w punkcie o współrzędnych  , ,

.  

1.1

 

Różne metody pomiaru gęstości 

Opracowano wiele metod pozwalających określić gęstość ciał stałych i cieczy. W trakcie ćwicze-

nia będzie wyznaczana gęstość cieczy (np. wodny roztwór NaCl) oraz gęstość ciała stałego wskazane-
go przez prowadzącego. Poszczególne próbki są oznaczone literami. 

 

Bezpośredni pomiar gęstości ciał stałych można wyznaczyć dzieląc masę ciała   przez jego obję-

tość  , jeśli objętość jest znana. 

Natomiast  do  bezpośredniego  pomiaru  gęstości  cieczy  możemy  użyć  aerometru  (rys.1).  Areo-

metr jest szklaną bańką obciążoną u dołu, zaopatrzoną u góry w wysmukłą walcowatą rurkę ze skalę 
pomiarową. Często umieszczony jest w nim również termometr pozwalający na pomiar temperatury 
cieczy.  Ciężar  i  kształt  areometru  są  tak  dobrane,  aby  pływał  on  częściowo  zanurzony.  Głębokość 
zanurzenia zależy wprost od gęstości cieczy, dlatego na skali określającej zanurzenia areometru mo-
żemy odczytać gęstość badanej cieczy. 

Inne metody pomiarowe opierają się na porównywaniu gęstości badanej próbki z gęstością cie-

czy wzorcowej np. gęstością wody destylowanej. Należy zauważyć, że gęstość wody zależy od tempe-
ratury, co trzeba uwzględnić w obliczeniach. Wartości gęstości wody w różnych temperaturach od-
czytujemy z tablic. 

Poniżej przedstawiono opis metod pomiarowych wykorzystywanych w ćwiczeniu.   

1.2

 

Wyznaczanie gęstości ciał stałych przy użyciu wagi 
 hydrostatycznej 

Metoda  pomiaru  gęstości ciał  stałych  przy  użyciu  wagi  hydrostatycznej opiera się  na  prawie  Ar-

chimedesa.  W  metodzie  tej  należy  wyznaczyć  masę  badanego  ciała  w  powietrzu  

   oraz  masę 

cieczy,  wypartej  przez  to  ciało  

   o  znanej  gęstości 

ρ

  ).  Zgodnie  z  prawem  Archimedesa,  w 

przypadku całkowitego zanurzenia, siła wyporu działająca na ciało wyraża się wzorem: 

ρ

⋅

 

⋅

⋅

 

- objętość ciała,  - przyspieszenie ziemski,   - siła wyporu. 

Rys.1.  Aerometr,  przyrząd  służący 
do pomiaru gęstości cieczy 

Ćwiczenie 6 

4 
 

Z powyższego wzoru możemy obliczyć objętość ciała  . 

0

2

ρ

m

V

=

. 

 Podstawiając tak wyznaczoną objętość do wzoru na gęstość otrzymujemy: 

0

2

1

0

2

1

1

ρ

ρ

ρ

⋅

=

=

=

m

m

m

m

V

m

.

 

Masę wypartej cieczy wyznaczamy odejmując od masy ciała w powietrzu ( m

1

 ) masę ( m

3 

), która 

równoważy ciężar tego ciała w przypadku całkowitego zanurzenia w  cieczy.  

m

2 

= m

1 

- m

3 

Powyższa metoda może być stosowana dla ciał, które można całkowicie zanurzyć w cieczy wzorcowej 
i które jednocześnie nie są w niej rozpuszczalne. 

1.3

 

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu wagi hydrostatycznej 

W celu wyznaczenia gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej używamy ciała (pływak) o gę-

stości większej niż ciecz wzorcowa i ciecz badana. Ciało to nie może rozpuszczać się w żadnej z nich. 
Pomiar  polega  na  wyznaczeniu  masy  wypartej  cieczy  wzorcowej  (  m

1

  )  i  cieczy  badanej  (  m

2

  )  przy 

całkowitym zanurzeniu pływaka. Gęstość badanej cieczy wyznaczamy ze wzoru  

0

1

2

ρ

ρ

⋅

=

m

m

, 

gdzie 

ρ

0

 - gęstość cieczy wzorcowej, m

1

 - masa wypartej cieczy wzorcowej, m

2

 - masa wypartej cieczy 

badanej. 

Masę wypartej cieczy wyznaczamy podobnie jak w punkcie 2.1.   

1.4

 

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu 
 piknometru 

Piknometr  (rys.2) jest specjalnym naczyniem szklanym zaprojekto-

wanym  do  pomiarów  gęstości  cieczy  i  gęstości  niewielkich  ciał. Pomiar 
gęstości  cieczy  przy  użyciu  piknometru  jest  bardzo  prosty.  Należy  wy-
znaczyć masę pustego piknometru (m

1

), piknometru z cieczą wzorcową 

o gęstości 

ρ

0

, np. wodą destylowaną (m

2

), piknometru z badaną cieczą 

(m

3

).  Następnie  korzystając  z  poniższego  wzoru  wyznaczamy  gęstość 

badanej cieczy. 

0

1

2

1

3

0

1

2

1

3

ρ

ρ

ρ

⋅

−

−

=

−

−

=

=

m

m

m

m

m

m

m

m

V

m

. 

W budowie piknometru zwrócono szczególną uwagę na izolację ter-

Rys.2. Piknometr 

 

5 

 

miczną.  Z  tego  powodu  ścianki  piknometru  wykonuje  się  z  podwójnej  warstwy  szkła.  Dodatkowo 
piknometr wyposażony jest w korek z termometrem, co umożliwia odczyt temperatury cieczy w trak-
cie  pomiaru.  Umieszczony z  boku  kanalik  przelewowy,  pozwala  zachować  stałą  objętość  cieczy  wy-
pełniającej  wnętrze  piknometru.  Przy  pomiarach  z  użyciem  piknometru  należy  zwrócić  uwagę,  aby 
cała przestrzeń piknometru wraz z kanałem przelewowym była wypełniona cieczą. W czasie pomiaru 
piknometr powinien być zatkany korkiem. Nie należy czynić tego zbyt silnie, aby nie uszkodzić szkla-
nych  elementów.  Nie  należy  także  zbyt  długo  przetrzymywać  piknometru  w rękach,  by  nie  zmienić 
temperatury wypełniającej go cieczy. 

1.5

 

    Wyznaczanie gęstości ciał stałych przy użyciu piknometru 

Używając piknometru do pomiaru  gęstości ciał stałych należy zważyć badaną próbkę w powie-

trzu ( m

1 

), zważyć piknometr wypełniony cieczą wzorcową ( m

2 

), oraz piknometr wypełniony cieczą 

wzorcową z badaną próbką ( m

3 

). Gęstość badanej próbki wyznaczamy ze wzór 

0

3

2

1

1

0

3

2

1

1

ρ

ρ

ρ

⋅

−

+

=

−

+

=

=

m

m

m

m

m

m

m

m

V

m

, 

ρ

0 

- gęstość cieczy wzorcowej. 

Materiały mierzone tą metodą nie mogą rozpuszczać się w cieczy wzorcowej, ani jej wchłaniać. 

1.6

 

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu naczyń połączonych. 

Do  każdego  z  ramion  naczyń  połączonych  nalewamy 

różne,  nie  mieszające  się  ciecze.  Ciśnienie  p  na  poziomej 
powierzchni  przechodzącej  przez  punkt  zetknięcia  się  obu 
cieczy jest równe w obu ramionach i dane wzorem:  

(

)

(

)

g

h

h

p

g

h

h

p

p

o

⋅

⋅

−

+

=

⋅

⋅

−

+

=

0

2

3

1

2

1

0

ρ

ρ

, 

 

ρ

1

 - gęstości badanej cieczy; 

ρ

0

 – gęstość cieczy wzorcowej;  

h

1 

,  h

2 

  ,  h

3

  -  wysokość  ponad  wyznaczony  poziom;  p

0

  -  ci-

śnienie atmosferyczne (rys.3). 

       

 

 

      

Rys.3. Rurka w kształcie litery U służąca 

do pomiarów gęstości cieczy 

 

Po przekształceniach otrzymujemy wzór na gęstość badanej cieczy.  

0

2

1

2

3

1

ρ

ρ

⋅

−

−

=

h

h

h

h

. 

 

 

Ćwiczenie 6 

6 
 

1.7

 

Wyznaczanie gęstości cieczy przy użyciu rurek Harrego 

      W przypadku cieczy mieszających się ze sobą do wyznaczania gęstości można użyć rurek Harrego. 
Są  to  dwie  rurki  połączone  u  góry,  z  których  można  wypompować  część  powietrza.  Przypominają 
odwrócone  naczynia  połączone.  W  czasie  pomiaru,  dolne  końce  rurek  zanurzamy  w  naczyniach  z 
cieczami. Przez wyssanie gumową gruszką części powietrza, wytwarzamy w przestrzeni nad cieczami 
podciśnienie.    Ponieważ  rurki  są  połączone,  wytworzone  podciśnienie  musi  być  zrekompensowane 
przez ciśnienie hydrostatyczne cieczy w każdej z rurek. 

 

(

)

(

)

g

h

h

p

g

h

h

p

p

⋅

⋅

−

+

=

⋅

⋅

−

+

=

0

4

3

1

2

1

0

ρ

ρ

, 

 

gdzie p - ciśnienie gazu w rurkach, p

0

 - ciśnienie atmosferycz-

ne, h

1 

, h

2

 , h

3

 , h

4

 określa wysokość słupa cieczy w każdym z 

ramion (rys). 

Znając  gęstość  cieczy  w  jednym  z  ramion  można  wyzna-

czyć gęstość cieczy w drugim ramieniu.    

0

2

1

4

3

1

ρ

ρ

⋅

−

−

=

h

h

h

h

. 

 

 

2.

 

Wykonanie ćwiczenia 

1.

 

Prowadzący przydziela studentom próbki, których gęstość mają wyznaczyć. Jedną próbkę cia-
ła stałego i jedną próbkę cieczy. Próbki oznaczone są literami. 

2.

 

Prowadzący określa metody pomiarowe, które mają być zastosowane do wyznaczenia gęsto-
ści próbek (wykreślając z części praktycznej sprawozdania zbędne tabele). 

3.

 

Student wykonuje stosowne pomiary mas i wysokości powierzchni cieczy. 

4.

 

Student wykonuje stosowne obliczenia. Porównuje otrzymane wartości gęstości ze sobą (w 
przypadku pomiaru jednej próbki kilkoma metodami) i wartościami tablicowymi. Określa na 
ich  podstawie  rodzaj  badanych  próbek,  tzn.  nazwę  materiału,  z  którego  wykonano  próbkę 
stałą oraz stężenie roztworu NaCl dla próbki ciekłej. 

Niepewność pomiaru masy 

Niepewności pomiarów wykonywanych wagą szalkową będą liczone metodą B. Załóżmy, 

że udało na się tak dobrać odważniki, że zrównoważyliśmy szalki wagi (wskazówka pokazuje 
zero).  Gdybyśmy  dysponowali  mikroskopijnymi odważnikami o  bardzo  niewielkiej masie, to 
moglibyśmy  zauważyć,  że  dokładanie  kolejnych  mikroskopijnych  odważników  na  dowolną  z 
szalek  początkowo  nie  spowoduje  zmiany  osiągniętego  stanu  równowagi.  Jest to  spowodo-
wane oporami w mechanizmie wagi. Dopiero przekroczenie pewnej masy doprowadziłoby do 
zauważalnego przez nas wychylenia wskazówki. Oczywiście nie mamy odważników, o których 
była mowa wyżej, ale możemy sprawdzić jaki najmniejszy odważnik znajdujący się na wypo-
sażeniu wagi spowoduje zauważalne wychylenie wskazówki. Niech 

 oznacza masę, za po-

 

7 

 

mocą której zrównoważyliśmy wagę, a 

 

 masę najmniejszego odważnika zaburzającego 

równowagę. Możemy uznać, że masa ważonego obiektu mieści się w przedziale granicznym 

−

 

,

+

 

. Połowa szerokości tego przedziału jest równa 

 

. Rozsądnym 

wydaje się być założenie, że rozkładem gęstości prawdopodobieństwa naszej zmiennej loso-
wej  na  przedziale  granicznym  jest  rozkład  prostokątny.  A  zatem  niepewność  pomiaru masy 
wyniesie: 

#

=

 

√3

. 

Jeśli wagi nie udaje się zrównoważyć, to znajdźmy obie skrajne masy: największą 

&

, przy 

której wskazówka jest po jednej stronie zera i najmniejszą 

'

, przy której jest już po dru-

giej  stronie  zera.  Jako  wynik  pomiaru  przyjmiemy 

=

&

+

'

/2,  a  niepewność  wyli-

czymy ze wzoru  

#

=

'

−

&

2√3

. 

W przypadku wagi elektronicznej za połowę przedziału granicznego przyjmijmy 0.01g.  

3.

 

Literatura 

[1] A.K.Wróblewski, J.A.Zakrzewski:  Wstęp do fizyki, t.1. PWN, Warszawa 1976. 

[2] H.Szydłowski: Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa 1966. 

[3] J.Kurzyk: Wprowadzenie do metod opracowania danych pomiarowych. 

[4] B.Oleś, M.Duraj: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, część 1.