Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Elementy przynależne

O elementach przynależnych mówi się wówczas, gdy tworzą one zbiór zawierający
wspólny punkt lub prostą. Można wyróżnić przynależność:



punktu i prostej,



prostej i płaszczyzny,



punktu i płaszczyzny.



Punkt i prosta przynależne do siebie

Zgodnie z tym punkt A leżący na prostej m lub prosta m przechodząca przez punkt A
tworzą parę elementów przynależnych do siebie.

Oznacza to, że ich jednoimienne rzuty także przynależą do siebie.

Zadanie 1
Dane są rzuty prostej m oraz punktów A,B,C (rys.1). Określić, pomiędzy którymi
elementami zachodzi związek przynależności?

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

m''

m'

Rys.1

Odpowiedź:
Przynależne elementy to pary: m, A oraz m, C.
Nie przynależą do siebie m oraz B.

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie

Zw

iązek przynależności ma miejsce w dwóch przypadkach:



dwa różne punkty prostej leżą na tej płaszczyźnie;



prosta przechodzi przez punkt leżący na tej płaszczyźnie i jest równoległa do
prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

Zadanie 2
Płaszczyzna



opisana jes

t punktami A, B, C stanowiącymi wierzchołki trójkąta

(



=ABC) (rys.2). Wykreślić rzuty prostej dowolnej l, leżącej na tej płaszczyźnie, ale

nie przechodzącej przez żaden z danych wierzchołków.

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

Rys.2

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Znaleźć należy dwa inne niż A,B,C punkty. Pierwszy z nich (1) leżeć będzie na
prostej a przechodzącej przez punkty A i B (rys.3).

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

a''

a'

1'

1''

Rys.3

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Drugi punkt (2) obrać należy na prostej b, wyznaczonej przez punkty B i C (rys.4).

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

a''

a'

1'

1''

b''

b'

2''

2'

Rys.4

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Punkty 1 i 2 leżą na płaszczyźnie, zatem poprowadzona przez nie prosta l także leży
na płaszczyźnie, co rozwiązuje zadanie (rys.5).

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

a''

a'

1'

1''

b''

b'

2''

2'

l''

l'

Rys.5

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 3
Płaszczyzna



opisana jest dwiema prostymi równoległymi m oraz n (



=mn) (rys.6).

Wykreślić rzuty prostej czołowej c, leżącej na tej płaszczyźnie.

x

m''

m'

n''

n'

Rys.6

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Można wykreślić rzut poziomy c’ prostej czołowej c, jako równoległy do osi rzutów x.
Przecina się on z rzutami m’ oraz n’ określając rzuty 1’ i 2’ punktów 1 i 2. (rys.7).

x

m''

m'

n''

n'

c'

1'

2'

Rys.7

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Wykorzystując proste odnoszące, znajduje się rzuty pionowe 1’’ i 2’’ punktów na
przecięciu z rzutami pionowymi m’’ i n’’ prostych, a także przeprowadzony przez nie
rzu

t pionowy c’’ prostej czołowej (rys.8).

x

m''

m'

n''

n'

c'

1'

2'

1''

2''

c''

Rys.8

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 4
Płaszczyzna



opisana jest przez rzuty prostej m i punktu A (



=mA). Należy

wykreślić rzuty prostej poziomej p, leżącej na płaszczyźnie.

x

m''

m'

A'

A''

Rys.9

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Rzut pionowy p’’ prostej p wykreślić można wprost, jako równoległy do osi rzutów x,
przechodzący przez rzut A’’ i przecinający rzut m’’ w punkcie 1’’ (rys.10).

x

m''

m'

A'

A''

1''

p''

Rys.10

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Za pomocą prostej odnoszącej wyprowadzonej z rzutu 1’’ punktu 1 znajduje się 1’ na
przecięciu z m’. Poszukiwany drugi rzut p’ przechodzi przez A’ oraz 1’. (rys.11).

x

m''

m'

A'

A''

1''

p''

1'

p'

Rys.11

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Przynależność prostej i płaszczyzny, gdy dane są ślady prostej i
płaszczyzny

Je

śli prosta m i płaszczyzna



przynależą do siebie w przestrzeni, to na

płaszczyźnie rysunku



=



1

=



2

ich jednoimienne ślady także przynależą

do siebie (rys.12). Oznacza to, że ślad poziomy H

m

prostej m

leży na

śladzie h



płaszczyzny



, a ślad pionowy prostej V

m

leży na śladzie

pionowym v



płaszczyzny.

x

v



X



h



V

m

m''

m'

V'

m

H''

m

H

m

Rys.12

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Na szczególną uwagę zasługują dwie proste charakterystyczne,
spełniające warunki przynależności do płaszczyzny. Są to:



Prosta pozioma m przynależna do płaszczyzny



(rys.13).

x

v



X



h



V

m

m''

m'

V'

m

Rys.13

Prosta taka nie posiada śladu poziomego Hm, bo z definicji nie przecina rzutni

poziomej. Zamiast tego jej rzut poziomy

m’ zachowuje równoległość do śladu

poziomego płaszczyzny h



.

Istniejący ślad pionowy Vm prostej m zgodnie z definicją

leży na śladzie pionowym v



płaszczyzny



.

Dla wygody można taką prostą

oznaczyć jako p.

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.



Prosta czołowa m przynależna do płaszczyzny



(rys.14)

x

v



X



h



H

m

m''

m'

H''

m

Rys.14

Prosta taka nie posiada śladu pionowego Vm, bo z definicji nie przecina rzutni

pionowej. Zamiast tego jej rzut pionowy

m’’ zachowuje równoległość do śladu

pionowego płaszczyzny v



.

Istniejący ślad poziomy Hm prostej m zgodnie z definicją

leży na śladzie poziomym h



płaszczyzny



.

Dla wygody można taką prostą

oznaczyć jako c.