II Elementy przynależna

Punkt i prosta przynależne do siebie

Twierdzenie

Jeżeli punkt R i prosta l przynależą do siebie (inaczej punkt leży na prostej) to ich jednoimienne rzuty przynależą do siebie.

Twierdzenie to jest odwracalne za wyjątkiem prostej prostopadłej do osi rzutowania na rys. 39 przedstawiono obraz punktu R leżącego na prostej AB

Rys. 39. Punkt R przynależny do prostej l

Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie

Twierdzenie

Prosta leży na płaszczyźnie jeżeli je dwa punkty leżą na tej płaszczyźnie

Prosta jeżyna płaszczyźnie jeżeli przechodzi przez jeden punkt tej płaszczyzny i jest równoległa do prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

Jeżeli płaszczyzna
dana za pomocą punktów ABC to można wykreślić dwie proste przechodzące przez parami dobrane dwa punkty prosta m = AB i n = AC (rys. 40)

Rys. 40. Prosta l należy do płaszczyzny
=ABC

Prosta l należy do płaszczyzny ponieważ przechodzi przez punkty 1 i 2 należące do płaszczyzny

Wyjaśnienie drugiego przypadku zostanie przeprowadzono obrazuje rysunek 41

Rys. 41. Prosta n leży na

Płaszczyzna
dana jest za pomocą punktu i prostej m. Prosta n przechodzi przez jeden punkt płaszczyzny i jest równoległa do prostej m - więc leży na płaszczyźnie

Przynależność prostej i płaszczyzny można również zdefiniować posługując się wcześniej wprowadzonymi pojęciami śladów prostej i śladów płaszczyzny. ponieważ ślad płaszczyzny to prosta wspólna dla płaszczyzny i rzutni a ślad prostej to punkt wspólny dla prostej i rzutni, więc jeżeli ślad prostej przynależy do śladu płaszczyzny to proste leży na tej płaszczyźnie. Prosta przechodzi bowiem przez dwa punkty płaszczyzny leżące na rzutniach.

Twierdzenie

Prosta i płaszczyzna przynależą do siebie w przestrzeni jeżeli ich jednoimienne ślady przynależą do siebie.

Twierdzenie to niekiedy brzmi prościej - jeżeli prosta leży na płaszczyźnie to jej odpowiednie ślady leżę na odpowiednich śladach płaszczyzny. Twierdzenie wyjaśnia rys. 42.

Rys. 42. Prosta l leży na płaszczyźnie
a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe za wyjątkiem prostej l przechodzącej przez oś x

Umiejętność znajdowania śladów prostej i sprawdzanie ich przynależności do śladów płaszczyzny jest podstawowa umiejętnością, którą należy ćwiczyć i doskonalić, ponieważ stanowi ona bardzo ważne narzędzie przy wykonywaniu większości konstrukcji geometrycznych. Klasyczny przypadek z rys. 42 dotyczy płaszczyzny w tzw. położeniu ogólnym i prostej w położeniu ogólnym. Mamy wówczas do czynienia z dwoma śladami prostej i dwoma śladami płaszczyzny. Sytuacja zmienia się jeżeli prosta lub płaszczyzna znajdują się w położeniu szczególnym. Często wręcz dąży się do rysowania prostej w położeniu szczególnym, gdyż mimo niewygody braku jednego ze śladów, ułatwia to i upraszcza liczne konstrukcje. W rozwiązywaniu zagadnień geometrycznych bardzo często korzysta się z pomocniczych prostych szczególnych: poziomej i czołowej, które posiadają bardzo przydatne właściwości geometryczne.

Prosta czołowa i pozioma

Na każdej płaszczyźnie w położeniu ogólnym czyli takiej która jest nie prostopadła i nie równoległa do rzutni oraz osi rzutowania, można narysować prostą czołową czyli prostą leżącą w płaszczyźnie czołowej równoległej do rzutni pionowej
. Obraz tej prostej na płaszczyźnie ogólnej przedstawia rys 43.

Rys. 43. Prosta czołowa c leżąca na płaszczyźnie
a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Charakterystyczną cechą tej konstrukcji jest brak śladu pionowego prostej. Tą niewygodę zastępuje ciekawa właściwość- rzut pionowy prostej c`` jest równoległy do śladu pionowego płaszczyzny
. Zatem , jeżeli prosta czołowa leży na płaszczyźnie to jej ślad poziomy leży na śladzie poziomym płaszczyzny a rzut pionowy prostej jest równoległy do śladu pionowego.

Przez analogię geometryczną można wszystkie poznane właściwości przetransponować na prostą poziomą. Pozostawiam tą przyjemność wnikliwym czytelnikom. Zgodnie z rys. 44 mamy:

Rys. 44. Prosta pozioma p leżąca na płaszczyźnie
a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Równoległość odpowiednich śladów płaszczyzny do odpowiednich rzutów prostych czołowych i pionowych pozwala na bardzo szybkie i proste wyznaczenie śladów płaszczyzny, na której obie takie proste leżą. Tłumaczy to poniższy przykład:

.

Rys. 45. Prosta pozioma p i czołowa c leżące na płaszczyźnie

Jeżeli dane są rzuty prostej poziomej p i czołowej c to ślad poziomy i pionowy płaszczyzny przechodzi przez odpowiednie ślady
i
prostych. przy czym należy pamiętać o równoległości drugiego śladu płaszczyzny do odpowiedniego rzutu prostej. Korzystając z tych własności należy wykonać kolejno:

1. wyznaczyć ślad pionowy prostej poziomej (jest to punkt
   na prostej i na rzutni pionowej
   a więc jego głębokość jest zerowa (posiada rzut poziomy
   na osi rzutów. Poszukuje się go na rzucie pionowym prostej p`` w miejscu, gdzie drugi rzut prostej p` zjednoczy się z osią rzutowania x. Ślad
   leży na rzutni
   

2. analogicznie wyznaczyć ślad poziomy prostej czołowej. Oznaczamy go na rzucie poziomym prostej c` w miejscu gdzie drugi rzut prostej czołowej c`` jednoczy się z osią rzutowania. Ślad poziomy
   leży na rzutni
   

3. Przez ślady
   
   prowadzimy proste tak aby były równoległe do odpowiednich rzutów prostych czyli ślad poziomy płaszczyzny musi być równoległy do rzutu poziomego prostej a ślad poziomy równoległy do rzutu poziomego prostej. Prawidłowo przeprowadzona konstrukcja daje wyznaczenie śladów płaszczyzny które jednoczą się w punkcie węzłowym
   .

Cenną umiejętnością jest odpowiedź na pytanie: jak położyć prostą dowolną lub szczególną na płaszczyznę mając płaszczyznę daną śladami? Wyjaśnia to kolejny przykład :

Rys. 46. Prosta dowolna l leząca na płaszczyźnie

Rys. 47. Prosta pozioma p i czołowa c leżące na płaszczyźnie

Należy zwrócić uwagę że na rys. 47 prosta pozioma i czołowa przekornie zostały narysowane poza ćwiartką I. Prosta pozioma przechodzi pod rzutnią poziomą a prosta czołowa za rzutnią poziomą. Skutkuje to obrazem rzutu pionowego prostej p pod osią rzutowania oraz rzutu poziomego prostej c nad osią rzutowania. Generalna zasada, że prosta pozioma i pionowa leży na płaszczyźnie jeżeli odpowiednie ślady prostej leżą na śladach płaszczyzny a odwrotne rzuty są równoległe do śladów jest zachowana. Konstrukcja ta powinna być należycie zrozumiana i przećwiczona, gdyż otwiera bardzo przydatną umiejętność rysowania prostych pomocniczych w problemach geometrycznych bez względu to, którą ćwiartkę przestrzeni rozpatrujemy.

Położenie prostej na płaszczyznę jeżeli płaszczyzna jest równoległa do osi rzutowania wykonywane jest analogicznie. Pewnym problemem jest położenie prostej równoległej do osi rzutowania na płaszczyźnie również równoległej do osi rzutowania. Postępowanie w takim przypadku tłumaczy kolejny przykład i rys. 48.

Rys. 48. Prosta l
x leżąca na

Powyższa konstrukcja wynika z faktu właściwości, że prosta l powinna przechodzić chociaż przez jeden punkt prostej pomocniczej a leżącej na płaszczyźnie
. Po wyznaczeniu prostej a każda prosta l równoległa do osi rzutowania x mająca punkt wspólny R z prostą a należy do płaszczyzny
.

Punkt i płaszczyzna przynależne do siebie

Definicja

Mówimy, że punkt leży na płaszczyźnie, jeżeli leży na prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

W przypadku ogólnym przynależność punktu do płaszczyzny wymaga wyznaczenie prostej pomocniczej należącej do płaszczyzny. Bezpośrednie stwierdzenie, że punkt leży na płaszczyźnie jest możliwy w przypadku płaszczyzn prostopadłych do rzutni. W innych przypadkach posługujemy się prostymi pomocniczymi. W zależności od tego w jaki sposób zdefiniowana jest płaszczyzna (punktami, prostymi, śladami lub kombinacją tych elementów) wykreślamy nową prostą i ocenę przynależności prostej do płaszczyzny weryfikujemy zgodnie z powyższą definicją.

Rys. 49. Punkt M należy do

Jeżeli płaszczyzna zdefiniowana jest za pomocą dwóch prostych równoległych m i n to punkt M należy do płaszczyzny, gdy leży na prostej p która ma dwa punkty (1 i 2) należące do prostej p i płaszczyzny
.

Rys. 50. Punkt M należy do płaszczyzny

Punkt M należy do płaszczyzny
ponieważ leży na prostej p, która należy do płaszczyzny
.

Podobnie w trzech kolejnych konstrukcjach można wykazać, że punkt A nie należy do płaszczyzny
.

Rys. 51. Punkt A nie należy do płaszczyzny

Z powyższych postępowania widać, ze aby rozstrzygnąć przynależność punktu do płaszczyzny prosta nie może być zupełnie dowolna. Warunkiem powodzenia w tej ocenie jest narysowanie prostej tak, aby jeden z jej rzutów przechodził przez odpowiedni rzut punktu. Dopiero wówczas otrzymanie drugiego rzutu punktu na odpowiednim rzucie prostej pozwala na stwierdzenie przynależności punktu do prostej i płaszczyzny.

Zagadnienie trochę inaczej wygląda gdy punkt nie znajduje się w pierwszej ćwiartce. Wymaga to jedynie zastosowania się do definicji i poprawnego narysowania prostej.

Rys. 52 Punkt A należy do płaszczyzny
w IV ćwiartce

Ćwiczenia

Przykład 1. Na płaszczyźnie
określonej a) dwiema prostymi m i n (rys. 53), b) prostą m i punktem A (rys. 54), c) trójkątem ABC (rys. 55), wyznaczyć miejsce geometryczne punktów odległych od rzutni poziomej o 30 mm.

Rys. 53 Rys. 54 Rys. 55

Rozwiązania przykładu 1

Zagadnienie z rys. 53 wymaga poprowadzenie prostej poziomej o wysokości 30 przez dwa punkty, z których każdy należy do jednej prostej (punkt 1 do m a punkt 2 do n): krok 1 - narysować rzut pionowy prostej poziomej p`` o wysokości 30 mm, krok 2 - oznaczyć rzuty pionowe punktów 1 i 2 jako punkty przecięcia z prostą m i n, krok 3 wyznaczyć rzuty poziome punktów 1 i 2 na prostej m i n krok 3 - przez rzuty poziome 1` i 2 ` poprowadzić rzut szukanej prostej p`.

Zagadnienie z rys 54 wymaga narysowania prostej pomocniczej n równoległej do m i przechodzącej przez punkt A. Dalej jak w przypadku poprzednim.

Zagadnienie z rys. 55 wymaga poprowadzenie prostej poziomej o wysokości 30 przez dwa punkty, z których każdy należy do jednego odcinka (punkt 1 do AB a punkt 2 do BC): krok 1 - narysować rzut pionowy prostej poziomej p`` o wysokości 30 mm, krok 2 - oznaczyć rzuty pionowe punktów 1 i 2 jako punkty przecięcia z odcinkiem AB i BC, krok 3 wyznaczyć rzuty poziome punktów 1 i 2 na odpowiednich odcinkach AB i BC krok 3 - przez rzuty poziome 1` i 2 ` poprowadzić rzut szukanej prostej p`.

Poniżej przedstawiono na rysunkach 56, 57 i 58 rysunki rozwiązań przykładu 1

Rys. 56 Rys. 57 Rys. 58.

Przykład 2

Dane jest rzut poziomy M` punktu M leżącego na płaszczyźnie
określonej a) trzema punktami A, B, C (rys. 59) dwiema prostymi równoległymi m i n (rys. 60) c) prostą m i punktem A (rys. 61) Wyznaczyć rzut pionowy punktu M.

Rys. 59 Rys. 60 Rys. 61

Rys. 62 - rozwiązanie przykładu 2 (rys. 59)

Rozwiązanie przykładu na rys. 59 wymaga poprowadzenie dwóch prostych pomocniczych przechodzących odpowiednio przez punkty A i C (prosta m) oraz A i B (prosta n) następnie należy poprowadzić prostą z przez rzut poziomy punktu M. w wyniku przecięcia z prostymi m i n powstają punkty 1 i 2, które pozwalają na wyznaczenie drugiego rzutu prostej z (z``) na którym leży szukany rzut pionowy M`` punktu M.

Rozwiązanie przykładu na rys. 60 wymaga poprowadzenie prostej przez punkt M

Rys. 63. Rozwiązania przykładu 2 (rys. 60)

Należy zwrócić uwagę, ze punkt M ma ujemną głębokość co utrudnia wykonanie konstrukcji. Postępując jednak zgodnie z zasadami wykreślamy rzut poziomy z` prostej z przez rzut poziomy M` punktu M. przenosimy otrzymane rzuty 1` i 2` na rzuty pionwe prostych m i n. Przez rzuty 1`` i 2`` prowadzimy rzut pionowy z`` prostej z, na którym znajdujemy brakujący rzut M`` punktu M.

W podobny sposób rozwiązujemy przykład z rys. 61. Polega na poprowadzeniu rzutu poziomego z` prostej z przez rzuty M` i A` do przecięcia z rzutem poziomym m` prostej m. Otrzymany rzut 1` punkt 1 przenosimy na rzut pionowy m`` prostej m otrzymując 1``. Przez A`` i 1`` prowadzimy drugi rzut Prostem z, na której znajduje się brakujący rzut M`` punktu M. Niewygodą tej konstrukcji jest podanie punktu płaszczyzno poza I ćwiartką.

Rys. 64. Rozwiązania przykładu 2 (rys. 61)

Przykład 3

Na rys. 65 dane są rzuty pionowe trójkąta ABC leżącego na płaszczyźnie
. Wyznaczyć brakujące rzuty trójkąta.

Rys. 65 do przykładu 3

Rozwiązanie polega na wyznaczeniu punktów 1``, 2``, 3``, 4`` przecięcia prostych m i n z odpowiednimi odcinkami trójkąta. Po przeniesieniu ich na rzuty poziome prostych m i n otrzymujemy nowe punkty (rzuty poziome 1`, 2`, 3` i 4`) ) należące do trójkąta. Powstają nowe odcinki trójkąta, na które przynosimy rzuty poziome punktów A, B, C .

Rys. 66. Rozwiązanie przykładu 3

Przykład 4

Wyznaczyć ślady płaszczyzny wyznaczonej przez dwie proste przecinające się

Rys. 67 do przykładu 4

Rozwiązanie:

Rys. 68. Rozwiązanie przykładu 4

Przykład 5

Wyznaczyć brakujące rzuty trójkąta ABC leżącego na płaszczyźnie

Rys. 69 do przykładu 5

Wskazówka - poprowadzić przez rzuty A` B` i C` rzuty poziome prostych czołowych. Na drugim rzucie prostej czołowej leżącej na płaszczyźnie znajdują się brakujące rzuty punktów.

Przykład 6

Wyznaczyć ślady płaszczyzny jeżeli dany jest jej punkt węzłowy
i rzyty punktów a i b należących do płaszczyzny

Rys. 70 do przykładu 6

ELEMENTY WSPÓLNE

Punkt wspólny dwu prostych

Punkt wspólny dwu prostych jest punktem ich przecięcia R jeśli punkt R należy jednocześnie do obu prostych. Zagadnienie przecięcia dwu prostych omówiono wcześniej

Punkt wspólny prostej i płaszczyzny - czyli punkt przebicia płaszczyzny prostą

Prosta m i płaszczyzna
mają punkt wspólny R jeżeli punkt leży jednocześnie na płaszczyźnie i na prostej. Znaczy to, że prosta przebija płaszczyznę w punkcie R

Wyznaczanie punktu przebicia w niektórych przypadkach jest bardzo proste a wręcz automatyczne. W przypadku płaszczyzny rzutującej punkt należący do płaszczyzny posiada rzut jednoczący się za śladem płaszczyzny. Mając ten rzut punktu bez trudu znajduje się drugi rzut punktu należące do prostej. Zagadnienie to przedstawia rys. 71, 72 i 73.

Rys. 71 Rys. 72 Rys. 73

Każdy punkt leżący na płaszczyźnie poziomo-rzutującej (rys. 71) posiada rzut poziomy R` zjednoczony ze śladem poziomym płaszczyzny. Punkt ten musi leżeć na prostej. Drugi rzut punktu znajdujemy na rzucie pionowym prostej. Podobnie postępujemy w przypadku płaszczyzny pionowo-rzutującej (rys. 72). Płaszczyzna obustronnie rzutująca (rys. 73) jest typowym przypadkiem gdzie punkt przebicia widoczny jest bez konstrukcji i rzuty punktu leżą na odpowiednich śladach płaszczyzny. Z uwagi na prostopadłe ułożenie płaszczyzny do obu rzutni punkt przebicia prostej z płaszczyzną widoczny jest na śladach płaszczyzny.

W przypadku ogólnym konstrukcja wymaga prowadzenie dodatkowej płaszczyzny lub poprowadzenie dodatkowej prostej specjalnej ułatwiającej znalezienie punktu przebicia. Ten drugi sposób choć rzadziej prezentowany w literaturze jest prostszy i łatwiejszy do wykonania.

Przykład 1.

Dana jest płaszczyzna
i rzuty prostej m. Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny
prostą m.

Rys. 74. Rozwiązanie przykładu 1

Przez rzut pionowy m`` prostej m prowadzimy identyczny rzut pionowy k`` prostej k. Zjednoczenie tych dwóch rzutów pozwala nam na to, że nie ma przeszkód aby te proste przecięły się w dowolnym miejscu. Następnie trzeba drugi rzut k` prostej k narysować tak, aby leżała na płaszczyźnie
. W miejscu gdzie przetną się rzuty poziome jest rzut poziomy punktu przebicia, który łatwo przenieść na zjednoczony rzut pionowy. ćwiczenie to można wykonać rozpoczynając od narysowania zjednoczonego rzutu poziomego, chociaż w tym przypadku wymaga to nieco większej płaszczyzny papieru pod rysunek.

Sposób ten nie wymaga rysowanie dodatkowych płaszczyzn i szukanie między nimi części wspólnych. wykorzystuje się tu jedynie umiejętność położenia prostej na płaszczyźnie przy wiadomym jednym rzucie, co jest umiejętnością wcześniej ćwiczoną i łatwą do wykonania. Niewątpliwie punkt przebicia R w tym przypadku jest punktem należącym do płaszczyzny, bo z definicji leży na prostej k leżącej na płaszczyźnie
i należy do prostej przebijającej m.

Niekiedy płaszczyzna dana jest za pomocą pary prostych równoległych jak w przykładzie 2.

Przykład 2

Dana jest płaszczyzna
w postaci dwóch prostych równoległych m i n. Wyznaczyć punkt przebicia prostej k z płaszczyzną

Rys. 75. Do przykładu 2

Rys. 76. Rozwiązanie przykładu 2.

Rozwiązanie przykładu 2 polega na poprowadzeniu dodatkowej prostej l tak aby rzuty k`` prostej k i l`` prostej l zjednoczyły się. Następnie należy wyznaczyć rzut poziomy prostej l, która ma leżeć na płaszczyźnie
. Prosta l musi przechodzić przez punkty 1 i 2. Po wyznaczeniu rzutu poziomego l` znajdujemy punkt przecięcia rzutów poziomych prostej l i k. Jest to rzut poziomy punktu przybicia prostej k z płaszczyzną
.

Przykład 3. Dana jest płaszczyzna
równoległa do osi rzutowania. Wyznaczyć punkt przebicia R tej płaszczyzny z prostą k.

Rys. 77. do przykładu 3.

Rys. 78. Rozwiązanie przykładu 3

Zadania do rozwiązania

Przykład 4. Wyznaczyć punkt przebicia R prostej k z płaszczyzną

Rys. 79. Rysunki do przykładu 4.

Rozwiązanie przykładu 4

Rys. 80. Rozwiązanie przykładu 4.

Prosta wspólna dwóch płaszczyzn

Kolejnym zagadnieniem jest prosta wspólna dla dwóch płaszczyzn - potocznie zwana krawędzią przecięcia się dwóch płaszczyzn. W istocie ta krawędź jest przedmiotem rysunku technicznego, gdyż poszczególne płaszczyzny rysowane w rysunku technicznym są reprezentowane przez krawędzi powstałe w wyniku przecinania się płaszczyzn. Ponieważ w dalszej części kształcenia z tego przedmiotu zajmiemy się rysowaniem krawędzi miedzy płaszczyznami w większości do siebie prostopadłymi na podstawie modeli, zagadnienie prostej jako części wspólnej dwóch płaszczyzn omówione zostanie teoretycznie na podstawie kilku prostych przypadków. Na rys. 81 przedstawiono konstrukcję prostej, która należy do obu płaszczyzn gdyż przechodzi przez oba śladu płaszczyzn jednocześnie - czyli przechodzi przez punkt wspólny śladów poziomych i pionowych. Ślady te pozwalają na poprowadzenie prostej k należącej do obu płaszczyzn.

Rys. 81. Prosta wspólna dla dwóch płaszczyzn w położeniu ogólnym

Podobnie wyznacza się krawędzi przecięcia innych płaszczyzn. Przedstawia to rys. 82.

Rys. 82. Kilka konstrukcji prostej wspólnej dla dwóch płaszczyzn.

15

---