Zadania z przedmiotu

Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr

seria 7

1. Wyznaczy´

c wektory w lasne i warto´sci w lasne

a) operatora r´

o˙zniczkowania w przestrzeni R[x]

n

;

b) odwzorowania X 7→ X

T

w przestrzeni M

n

(R).

2. Wykaza´

c, ˙ze w przestrzeni R[x]

n

zbiorem warto´sci w lasnych odwzorowania liniowego

f 7→ f (ax + b)

(a 6= 0, ±1), jest {1, a, a

2

, . . . , a

n

}.

3. Niech A = [a

1

, a

2

, . . . , a

n

], gdzie a

i

∈ C. Wyznaczy´c warto´sci w lasne macierzy A

T

A.

4. Wyznaczy´

c warto´sci w lasne i wektory w lasne przekszta lce´

n liniowych danych w pewnej bazie

przez macierze:

A =





2 −1

2

5 −3

3

−1

0 −2





, B =





0 1 0

−4 4 0
−2 1 2





, C =





4 −5 2
5 −7 3
6 −9 4





, D =







3 −1 0

0

1

1 0

0

3

0 5 −3

4 −1 3 −1







.

5. Zbada´

c, kt´

ore z podanych macierzy mo˙zna sprowadzi´

c do postaci diagonalnej przez przej´scie

do innej bazy nad cia lem R lub nad cia lem C:

A =





−1 3 −1
−3 5 −1
−3 3

1





, B =





4 7 −5

−4 5

0

1 9 −4





, C =





4 2 −5
6 4 −9
5 3 −7





, D =







1

1

1

1

1

1 −1 −1

1 −1

1 −1

1 −1 −1

1







.

Wyznacz t

,

e baz

,

e i odpowiadaj

,

ac

,

a jej posta´

c macierzy.

6. Wyznaczy´

c wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze dla przekszta lcenia liniowego

ϕ : R

3

→ R

3

, kt´

ore w pewnej bazie ma macierz:





4 −2 2
2

0 2

−1

1 1





7. Niech λ

1

, λ

2

, . . . , λ

n

b

,

ed

,

a pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A. Wyz-

naczy´

c warto´sci w lasne:

a) przekszta lcenia liniowego X 7→ AXA

T

w przestrzeni M

n

(R);

b) przekszta lcenia liniowego X 7→ AXA

−1

w przestrzeni M

n

(R), gdzie macierz A jest nieosobliwa.

1