Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr seria 7
1. Wyznaczyć wektory w lasne i wartości w lasne a) operatora różniczkowania w przestrzeni R[x]n; b) odwzorowania X 7→ XT w przestrzeni Mn(R).
2. Wykazać, że w przestrzeni R[x]n zbiorem wartości w lasnych odwzorowania liniowego f 7→ f (ax + b)
(a 6= 0, ±1), jest {1, a, a2, . . . , an}.
3. Niech A = [a1, a2, . . . , an], gdzie ai ∈ C. Wyznaczyć wartości w lasne macierzy AT A.
4. Wyznaczyć wartości w lasne i wektory w lasne przekszta lceń liniowych danych w pewnej bazie przez macierze:
3 −1 0
0
2 −1
2
0 1 0
4 −5 2
1
1 0
0
A =
5 −3
3
, B =
−4 4 0
, C =
5 −7 3
, D =
.
3
0 5 −3
−1
0 −2
−2 1 2
6 −9 4
4 −1 3 −1
5. Zbadać, które z podanych macierzy można sprowadzić do postaci diagonalnej przez przejście do innej bazy nad cia lem R lub nad cia lem C:
1
1
1
1
−1 3 −1
4 7 −5
4 2 −5
1
1 −1 −1
A =
−3 5 −1
, B =
−4 5
0
, C =
6 4 −9
, D =
.
1 −1
1 −1
−3 3
1
1 9 −4
5 3 −7
1 −1 −1
1
Wyznacz te baze i odpowiadajaca jej postać macierzy.
,
,
,
,
6. Wyznaczyć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze dla przekszta lcenia liniowego ϕ :
3
3
R → R , które w pewnej bazie ma macierz:
4 −2 2
2
0 2
−1
1 1
7. Niech λ1, λ2, . . . , λn beda pierwiastkami wielomianu charakterystycznego macierzy A. Wyz-
,
,
naczyć wartości w lasne: a) przekszta lcenia liniowego X 7→ AXAT w przestrzeni Mn(R); b) przekszta lcenia liniowego X 7→ AXA−1 w przestrzeni Mn(R), gdzie macierz A jest nieosobliwa.
1