Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

1/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem

CONTINUUM MECHANICS

(BOUNDARY VALUE PROBLEM - 

BVP)

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

2/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem



























i

j

j

i

ij

x

u

x

u

2

1



...



u

S

i

u

...







u

S

j

i

x

u

0























j

ij

i

x

P



j

ij

i

q











ij

kk

ij

ij

G











2

NE

CE

HE

SBC

KBC

The set of NE+CE+ HE equations consists of 15 linear differential-
algebraic equations – and is always the same for any static problem 
(except of material constants in HE).

Individual problems are different only due to different 

boundary 

conditions

, which define 

body shape 



i

 , loading 

q

i

 and 

displacements 

u

i

 on the body surface (

supports). Here is where name 

Boundary Value Problem of Elasticity

 comes from.

,

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

3/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem



























i

j

j

i

ij

x

u

x

u

2

1



0























j

ij

i

x

P



ij

kk

ij

ij

G











2

1. Reduction of unknown functions number in exchange for upgrading 

the differential equations order

a/ Substitution of CE to HE and next to NE; this yields the set of 3 
differential equations of the second order for displacements as 
unknowns 

(Lamé equations

):

b/ Elimination of displacements by transforming CE into compatibility 
equations and substitution HE; this yields the set of 6 differential 
equations of the second order for stress components (

Beltrami-Michell 

equations

):



























i

j

j

i

ij

x

u

x

u

2

1











E

v

ij

kk

ij

ij













 1

0

,

,

,

,









ik

jl

jl

ik

ij

kl

kl

ij









Analytical 

methods

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

4/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem

2. Inverse 

method

In this method the full solution compaltible with NE, CE and HE is guessed, 
then  SBC and KBC are checked to comply with a given problem.

3. Semi-inversed 
methods

a/ Displacement approach: 

3 functions  

u

i

 

 satisfying KBC are guessed, 

and then the strains are found by differentiation according to CE, and 
inserted into algebraic  HE to obtain stresses which have to satisfy NE 
and SBC

u

i 

+ 

KBC



ij

σ

ij

SWB?

Substitutio
n

Differentiati
on

Differentiatio
n

CE

HE

NE?

Analytical 

methods

Substitutio
n



























i

j

j

i

ij

x

u

x

u

2

1



0























j

ij

i

x

P



ij

kk

ij

ij

G











2

CE 

(Cauchy)

NE 

(Navier)

HE (Hooke)

...



u

S

i

u

j

ij

i

q











SBC

KBC

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

5/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem

σ

ij 

 

+ NE + SBC



ij

u

i

KBC?

Substitutio
n

Substitutio
n

Integratio
n

HE

CE

b/ Stress approach: 

6 functions  



ij

 

 satisfying NE and SBC are guessed, 

and the strains are found by inserting them into HE; then set of Cauchy 
Equations  CE has to be integrated to find displacements 

u

i

 . The only 

remaining action left is to check KBC by inserting displacements

3. Semi-inversed 
methods



























i

j

j

i

ij

x

u

x

u

2

1



0























j

ij

i

x

P



ij

kk

ij

ij

G











2

CE 

(Cauchy)

NE 

(Navier)

HE (Hooke)

...



u

S

i

u

j

ij

i

q











SBC

KBC

Analytical 

methods

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

6/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem

σ

ij 

 

+ NE + SBC



ij

u

i

KBC?

Substitutio
n

Substitutio
n

Integratio
n

HE

CE

b/ Stress 
approach:

Out of these two semi-inverse methods, the displacement approach seems 

to be superior as it requires only three displacements to be guessed which 

are physical quantities and  can be measured experimentally. Moreover, 

only two operations to be performed are insertion and differentiation, the 

latter being much easier than integration required by stress approach. 

The price to be paid in displacement  approach is a necessity of checking 

Navier Equation of equilibrium and Static Boundary Condition.

u

i 

+ 

KBC



ij

σ

ij

SWB?

Substitutio
n

Differentiati
on

Differentiatio
n

CE

HE

NE?

Substituiti
on

a/ Displacement approach

 Comparison of 

semi-inverse 

methods

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

7/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem

Numerical Methods

 features space discretisation and application of 

one of numerous methods: development in power series, finite 
differences, finite elements, boundary integrals, meshless methods 
etc. 

Numerical methods are discussed in detail as a separate subject of 
curriculum and will not be dealt with here. However, it is worthwhile 
to emphasise that numerical methods allow for overcoming of the 
fundamental problem of theory of elasticity which is solving problems 
with singular boundary conditions (sharp edges of structures, 
concentrated loadings etc.)

Numerical 

methods

Project “The development of the didactic potential of Cracow University of Technology in the range of modern construction” is co-financed by the European Union 

within the confines of the European Social Fund and realized under surveillance of Ministry of Science and Higher Education 

8/7

M.Chrzanowski: Strength of Materials

SM1-11: Continuum Mechanics: Boundary Value 

Problem



stop