Własności funkcji – cz.1

WZiE, sem.I, 2008-09

mgr K. Kujawska, SNM

Zad.1 Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

1.1

5

6

1

2

)

(

2

+

+

−

=

x

x

x

x

f

1.2

x

x

x

x

f

+

−

=

2

4

2

)

(

1.3

9

1

2

3

)

(

2

−

+

−

−

=

x

x

x

x

f

1.4

25

10

3

5

,

0

1

)

(

2

+

−

+

+

=

x

x

x

x

x

f

1.5

x

x

x

x

x

f

2

2

4

1

9

6

2

)

(

2

−

+

+

−

−

=

1.6

2

6

4

2

)

(

−

−

+

=

x

x

x

f

1.7

1

1

1

10

5

2

)

(

2

−

+

+

+

−

+

=

x

x

x

x

x

f

1.8

4

2

1

1

1

2

)

(

−

−

+

−

+

−

=

x

x

x

x

f

1.9

1

2

3

1

3

8

2

)

(

−

−

+

+

−

+

+

−

=

x

x

x

x

x

f

1.10

(

) ( ) (

)

3

4

9

1

2

)

(

2

3

2

2

+

−

⋅

⋅

−

⋅

−

+

−

=

x

x

x

x

x

x

x

f

1.11

x

x

x

f

−

+

−

=

8

8

)

(

1.11

5

4

6

3

)

(

+

−

+

=

x

x

x

f

1.12

8

15

8

15

3

)

(

2

3

−

+

−

−

=

x

x

x

x

x

f

1.13

2

2

2

3

1

2

3

)

(

x

x

x

x

x

f

−

−

+

+

−

=

.

Zad.2 Zbadać, czy funkcje f i g są równe:

2.1

6

)

(

,

6

36

12

)

(

2

−

=

−

+

−

=

x

x

g

x

x

x

x

f

2.2

2

)

(

,

2

4

)

(

4

4

8

−

=

+

−

=

x

x

g

x

x

x

f

2.3

2

4

)

(

,

)

(

x

x

g

x

x

f

=

=

2.4

3

2

)

(

,

3

2

)

(

+

+

=

+

+

=

x

x

x

g

x

x

x

f

2.5

x

x

x

g

x

x

x

f

+

+

=

−

+

=

2

2

1

1

)

(

,

1

)

(

2.6

1

)

(

,

cos

sin

)

(

2

2

=

+

=

x

g

x

x

x

f

.

Zad.3 Wykazać, na podstawie definicji, że funkcja

x

x

f

1

)

(

=

jest malejąca w każdym z przedziałów

)

0

,

(

−∞

i

)

,

0

(

∞

+

, ale nie jest malejąca w przedziale

)

,

0

(

)

0

,

(

∞

+

∪

−∞

.

Zad.4 Wykazać, że

4.1 jeżeli

x

x

f

x

x

−

+

=

2

2

)

(

, to f(-x)=-f(x)

4.2 jeżeli

2

1

)

(

x

x

x

f

−

⋅

=

, to f(-x)=f(x)

4.3 jeżeli

0

,

1

1

)

(

2

2

≠

+

+

+

=

x

x

x

x

x

x

f

, to













=

x

f

x

f

1

)

(

.

Zad.5 Dla podanych funkcji f oraz g wyznaczyć złożenia f

◦g, g◦f, f◦f, g◦g:

5.1

1

)

(

,

2

)

(

3

+

=

=

x

x

g

x

f

x

5.2

1

3

)

(

,

)

(

−

=

=

x

x

g

x

x

f

5.3

x

x

g

x

x

x

x

f

cos

)

(

,

)

(

=

−

⋅

=

.

Zad.6 Wyznaczyć wzór funkcji odwrotnej do podanej funkcji f:

6.1

1

3

)

(

−

=

x

x

f

6.2

)

;

1

,

1

)

(

+∞

−

∈<

+

=

x

x

x

f

6.3

)

;

0

,

1

)

(

2

+∞

∈<

−

−

=

x

x

x

f

6.4

}

2

{

},

3

{

,

3

1

2

)

(

−

∈

−

−

∈

+

−

=

R

y

R

x

x

x

x

f

.

Zad.7 Sporządzić wykresy funkcji:

7.1

x

x

x

f

−

−

=

5

)

(

7.2

1

1

)

(

2

+

−

=

x

x

x

f

7.3

2

1

)

(

x

x

x

f

+

+

=

7.4

3

2

)

(

−

+

=

x

x

x

f

7.5

4

4

1

)

(

x

x

f

=

7.6

3

2

)

(

3

+

−

=

x

x

x

f

7.7

( )

x

x

x

x

f

2

1

2

)

(

2

+

=

.