Rozwiązania równań Ficka

jednokierunkowych – czyli tylko jedna zmienna położenia x

I równanie:

II równanie:

Gdy D nie zależy od koncentracji

x

)

x

(

c

D

-

)

x

(

J

∂

∂

=

2

2

x

c

D

t

c

∂

∂

=

∂

∂

W rzeczywistości

założenie, że

współczynnik dyfuzji nie zależy od stężenia

dyfundującej

substancji w jakimś materiale jest na ogół prawdziwe

tylko dla odpowiednio niskich

stężeń

. Jak niskich – zależy to od dyfundującej substancji i materiału.

Dyfuzja w stanie stacjonarnym

Stan stacjonarny – to stan układu, w którym stężenie dyfundującej substancji

nie zmienia się z czasem, chociaż stężenie to nie jest
jednorodne w objętości materiału.

1. W rzeczywistych układach fizycznych, zwłaszcza składających się z materiałów stałych,

stan stacjonarny dyfuzji jest raczej rzadko spotykany.

2. Najczęściej dotyczy on sytuacji, gdy zachodzi dyfuzja jakiejś substancji ze środowiska ciekłego

lub gazowego do takiego samego środowiska poprzez przegrodę wykonaną z jakiegoś stałego
materiału.

3. Jeśli po obu stronach przegrody (najczęściej jest to cienka płytka lub membrana) stężenia

dyfundującej substancji są różne ale stałe w czasie, to po pewnym czasie w poprzek
membrany ustala się stacjonarny rozkład stężenia, które zmienia się w sposób ciągły od
większego stężenia na jednej powierzchni do mniejszego stężenia na drugiej.

4. Ponieważ w stanie stacjonarnym gradient stężenia dyfundującej substancji jest stały w czasie,

to także stały w czasie jest strumień dyfundującej substancji.

W stanie stacjonarnym:

Zatem, z drugiego równania Ficka wynika, że:

0

t

c =

∂

∂

0

x

c

D

2

2

=

∂

∂

Dyfuzja przez płytkę materiału w stanie stacjonarnym

Przypadek, gdy współczynnik dyfuzji nie zależy od koncentracji: D(c) = const

Rozwiązaniem jest równanie:

c(x) = a + bx

gdzie a i b są dowolnymi stałymi.

Aby wyznaczyć wartości a i b dla konkretnej sytuacji
należy skorzystać z warunków brzegowych, które w tym
przypadku są następujące:

c

A

(0) = c

1

= const

oraz

c

A

(d) = c

2

= const

d – grubość płytki

Zatem:

Stężenie substancji A w płytce dane jest zatem wzorem:

Strumień dyfundującej substancji A można obliczyć z I równania Ficka:

0

x

c

0

x

c

D

2

2

2

2

=

∂

∂

⇒

=

∂

∂

Co można sprawdzić przez podstawienie

d

c

c

b

c

bd

c

bd

a

)

d

(

c

c

a

)

0

(

c

1

2

2

1

A

1

A

−

=

⇒

=

+

=

+

=

=

=

x

d

c

c

c

)

x

(

c

1

2

1

A

−

+

=

Większe
stężenie A

Mniejsze
stężenie A

d

c

c

D

d

c

c

D

x

)

x

(

c

D

J

2

1

1

2

A

A

−

=

−

−

=

∂

∂

−

=

Dyfuzja w stanie stacjonarnym

przez płytkę składającą się z dwóch różnych materiałów

Materiał 1 Materiał 2

grubość

d

1

d

2

współczynnik

D

1

=const ≠ D

2

=const

dyfuzji

Warunki brzegowe:

c(0)=c

1

oraz c(d

1

+d

2

)=c

2

Na granicy między obydwoma materiałami stałe
stężenie dyfundującej substancji wynosi

c

12

i jest

ono a priori nie znane. Jego wartość należy obliczyć.

Otrzymane poprzednio rozwiązania można
zastosować do każdego z materiałów osobno:

Strumienie dyfundującej substancji muszą być
równe w obu materiałach:

Rysunek przedstawia poglądowo
sytuację, gdy D

1

> D

2

1

12

1

1

1

d

c

c

D

J

−

=

2

2

12

2

2

d

c

c

D

J

−

=

2

1

J

J

=

Czyli:

A po przekształceniach:

2

2

12

2

1

12

1

1

d

c

c

D

d

c

c

D

−

=

−

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

12

d

D

d

D

c

d

D

c

d

D

c

+

+

=

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z tzw. źródła chwilowego

(nieskończenie cienkiej warstwy) do dwóch półnieskończonych

stykających się takich samych materiałów, tzw. układ „kanapkowy” (ang. sandwich) lub do
jednego półnieskończonego ciała, tzw. dyfuzja z cienkiej warstwy.

Rozwiązania:

gdzie:

M

– ilość substancji A przypadającej na jednostkę powierzchni, znajdująca się w chwili

początkowej (czyli dla t = 0) na powierzchni materiału B lub między dwoma
materiałami B (czyli dla x = 0).

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Dt

4

x

exp

Dt

2

/

M

)

t

,

x

(

c

2

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Dt

4

x

exp

Dt

/

M

)

t

,

x

(

c

2

π

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z tzw. źródła chwilowego

.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Dt

4

x

exp

Dt

2

/

M

)

t

,

x

(

c

2

π

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Dt

4

x

exp

Dt

/

M

)

t

,

x

(

c

2

π

Krzywa ta jest zwana:
krzywą Gaussa lub krzywą dzwonową.

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z tzw. źródła chwilowego (z cienkiej warstwy)

–

ważny aspekt praktyczny: wyznaczanie

współczynnika dyfuzji na podstawie znajomości zależności (np. z eksperymentu) stężenia od
odległości od powierzchni w układzie współrzędnych ln(c) – x

2

dla pewnej chwili czasu t

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Dt

4

x

exp

Dt

/

M

)

t

,

x

(

c

2

π

[ ]

2

x

Dt

4

1

Dt

/

M

ln

)

x

(

c

ln

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

π

Równanie ma postać ln(c) = a + b·x

2

W układzie ln(c) – x

2

zależność jest liniowa

gdzie b = -tg

α

jest współczynnikiem nachylenia prostej

Po wyznaczeniu współczynnika nachylenia prostej
używając np. metody regresji liniowej można
obliczyć współczynnik dyfuzji:

α

tg

t

4

1

b

t

4

1

D

⋅

⋅

=

⋅

⋅

−

=

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z tzw. źródła stałego

– stałe stężenie substancji dyfundującej na powierzchni (w praktyce

dotyczy to tylko dyfuzji z fazy gazowej do ciała stałego) do półnieskończonego ciała

Warunki początkowe i brzegowe:

c

s

= const – stężenie na powierzchni

c

0

– stężenie początkowe w materiale (dla t = 0)

c(x,t) – zależność stężenia dyfundującej substancji od x w materiale w jakiejś chwili t > 0

Rozwiązanie drugiego równania Ficka dla tego przypadku:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

−

Dt

2

x

erf

c

c

c

)

t

,

x

(

c

s

0

s

funkcja

błędu

0

0

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z tzw. źródła stałego

1.

Przypadek, gdy: c

0

= 0

– na początku stężenie dyfundującej substancji w materiale jest

zerowe. Otrzymane rozwiązanie redukuje się do postaci:

To równanie – zwane równaniem absorpcji – opisuje wnikanie dyfundującej substancji z fazy
gazowej do materiału stałego.

2.

Przypadek, gdy c

0

> 0 i c

s

= 0

– na początku w materiale stałym jest pewne równomiernie

rozłożone stężenie substancji dyfundującej, natomiast w gazie stężenie tej substancji
utrzymywane jest na poziomie zero. Wówczas rozwiązanie redukuje się do postaci:

To równanie – zwane równaniem desorpcji – opisuje proces dyfuzji z ciała pólnieskończonego do
otaczającej go fazy gazowej.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

=

Dt

2

x

erfc

c

Dt

2

x

erf

1

c

)

t

,

x

(

c

s

s

odwrotna

funkcja błędu

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=

Dt

2

x

erf

c

)

t

,

x

(

c

0

Funkcja błędu

erf

i odwrotna funkcja błędu

erfc

)

x

(

erf

1

)

x

(

erfc

dt

e

2

)

x

(

erf

x

0

t

2

−

≡

≡

∫

−

π

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z tzw. źródła stałego

1. Przypadek absorpcji

– wnikanie dyfundującej

substancji z fazy gazowej do wnętrza
materiału stałego:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=

Dt

2

x

erfc

c

)

t

,

x

(

c

s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

=

Dt

2

x

erf

c

)

t

,

x

(

c

0

2. Przypadek desorpcji

– substancja wydostaje

się z materiału stałego do otaczającej fazy
gazowej:

c

0

= 0 oraz c

s

≠ 0 = const

c

0

≠ 0 oraz c

s

= 0 =const

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

−

Dt

2

x

erf

c

c

c

)

t

,

x

(

c

s

0

s

Charakterystyczny zasięg dyfuzji

W dotychczasowych rozwiązaniach II równania Ficka:

dla źródła chwilowego (krzywa Gaussa):

dla źródła stałego (krzywa błędu):

wartość zmiennej położenia x jest dzielona przez tę samą wielkość: o wymiarze długości,
(występuje to także w innych rozwiązaniach równania Ficka)

która

może

w związku z tym

służyć jako miara zasięgu dyfuzji

.

Wielkość lub tylko samo nazywane jest

charakterystycznym zasięgiem (długością) dyfuzji

.

Charakterystyczny zasięg dyfuzji (gdy D = const) jest proporcjonalny do pierwiastka z czasu:

Zasięg dyfuzji

~

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

−

Dt

2

x

erf

c

c

c

)

t

,

x

(

c

s

0

s

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Dt

4

x

exp

Dt

/

M

)

t

,

x

(

c

2

π

Dt

2

Dt

2

Dt

t

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Tzw. para dyfuzyjna

– dwa takie same półnieskończone ciała stałe o różnej (w praktyce niedużej)

zawartości substancji A połączone ze sobą.

c

0

– początkowe stężenie A w jednym materiale, w drugim początkowo wynosi zero

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Dt

2

x

erfc

2

c

)

t

,

x

(

c

0

Rozwiązanie równania dyfuzji:

Wykres rozwiązania

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja z grubej warstwy do ciała pólnieskończonego

– warstwa o pewnej niezerowej grubości

jakiegoś materiału, w którym rozpuszczona jest substancja A (w praktyce o niskim stężeniu)
naniesiona jest na pólnieskończony taki sam materiał, w którym nie ma substancji A

c

0

– początkowe stężenie A w naniesionej warstwie,

h - grubość naniesionej warstwy

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

Dt

2

h

x

erf

Dt

2

h

x

erf

2

c

)

t

,

x

(

c

0

Rozwiązanie równania dyfuzji:

Wykres rozwiązania

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Dyfuzja ze źródła stałego do ciała skończonego

Substancja A dyfunduje z fazy gazowej o stałym stężeniu c

s

do materiału, gdzie jej stężenie początkowe było 0.

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

−

=

∑

∞

=0

n

2

2

2

s

x

h

sin

Dt

h

)

1

n

2

(

exp

1

n

2

1

1

4

c

)

t

,

x

(

c

π

π

π

c

0

= 0 oraz c

s

≠ 0 = const

Rozwiązania II równania Ficka:

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Desorpcja z ciała skończonego do fazy gazowej

c

0

≠ 0 oraz c

s

= 0 =const

Substancja A desorbuje z materiału o początkowej koncentracji c

0

do fazy gazowej o stałej koncentracji zero.

∑

∞

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

⋅

+

=

0

n

2

2

2

0

x

h

sin

Dt

h

)

1

n

2

(

exp

1

n

2

1

4

c

)

t

,

x

(

c

π

π

π

Rozwiązania II równania Ficka:

Funkcja opisująca początkowy rozkład niejednorodnego stężenia substancji A w materiale:

gdzie:

c

0

– średnia wartość stężenia

c

m

– amplituda zmian stężenia

L - odległość, na której stężenie zmienia

się od wartości minimalnej do maksimum

Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)

Proces homogenizacji

– w ciele nieskończonym, gdy początkowa niejednorodność rozkładu

stężenia jest opisana funkcją cosinus.

Stężenie substancji A zmienia się w materiale, dążąc do ujednorodnienia wg. zależności:

gdzie:

jest czasem relaksacji
procesu homogenizacji

)

L

x

cos(

c

c

)

0

t

,

x

(

c

m

0

π

+

=

=

Wykres zmian rozkładu
stężenia z czasem
w procesie homogenizacji

)

t

exp(

)

L

x

cos(

c

c

)

t

,

x

(

c

m

0

τ

π

−

⋅

+

=

D

L

2

2

π

τ

=

W temperaturze 1000

o

C cienka płytka stalowa o grubości h = 0,5 mm jest:

• z jednej strony w kontakcie z atmosferą nawęglającą, która na powierzchni próbki daje stałą

koncentrację węgla w czasie równą c

1

=1,4 % wagowego,

• z drugiej strony w kontakcie z atmosferą odwęglającą, która na powierzchni próbki daje stałą

koncentrację węgla w czasie równą c

2

=0,15% wagowego.

Pomiary współczynnika dyfuzji węgla w austenicie wykazały, że jest on zależny od stężenia
węgla i przy jego stężeniu równym:

0,15 % wynosi D

1

=2,5·10

-7

cm

2

/s,

a przy stężeniu równym:

1,4 % wynosi D

2

=7,7·10

-7

cm

2

/s.

W przybliżeniu zależność współczynnika dyfuzji węgla zależy od stężenia w sposób liniowy.
1. Wykreśl w sposób jakościowy przebieg stężenia węgla w poprzek płytki.
2. Oblicz wartość strumienia dyfuzji węgla przez płytkę wiedząc, że przy zawartości węgla w stali

wynoszącej 0,8 % wagowych w 10000

o

C w 1 m

3

jest 60 kg węgla.

Zadanie 1

Ad. 1.

I równanie Ficka:

Ponieważ J = const (gdyż stan stacjonarny), to:

x

c

D

J

∂

∂

−

=

h

x

2

0

x

1

x

c

D

x

c

D

=

=

∂

∂

=

∂

∂

1

3

10

5

2

10

7

7

7

7

0

2

1

,

,

,

x

/

c

x

/

c

D

D

x

h

x

≈

⋅

⋅

=

∂

∂

∂

∂

=

−

−

=

=

Gradient stężenia na powierzchni o mniejszym stężeniu jest ok. 3,1
razy większy od gradientu na powierzchni o większym stężeniu.

Jakościowy wykres zależności
stężenia w poprzek płytki

2. Oblicz wartość strumienia dyfuzji węgla przez płytkę wiedząc, że przy zawartości węgla w stali

wynoszącej 0,8 % wagowych w 10000

o

C w 1 m

3

jest 60 kg węgla.

Zadanie 1

Ad2.

Ponieważ współczynnik dyfuzji zależy w sposób
liniowy od stężenia, to:

D = a + b·c

,

gdzie a i b można obliczyć z układu równań:

D

1

= a + b·c

1

oraz

D

2

= a + b·c

2

x

c

)

c

b

a

(

x

c

D

J

∂

∂

⋅

+

−

=

∂

∂

−

=

Gdzie

d

– stała całkowania, którą należy wyznaczyć z warunków brzegowych

2

1

2

1

1

2

c

c

c

D

c

D

a

−

−

=

2

1

2

1

C

C

D

D

b

−

−

=

dc

)

c

b

a

(

dx

J

⋅

⋅

+

−

=

⋅

∫

∫

⋅

⋅

+

−

=

⋅

dc

)

c

b

a

(

dx

J

⇓

⇓

⇓

d

2

c

b

c

a

x

J

2

+

⋅

+

⋅

=

⋅

−

I równanie Ficka

Po wymnożeniu obu stron przez

dx

Całkowanie obu stron równania

Wynik całkowania

2. Oblicz wartość strumienia dyfuzji węgla przez płytkę wiedząc, że przy zawartości węgla w stali

wynoszącej 0,8 % wagowych w 10000

o

C w 1 m

3

jest 60 kg węgla.

Zadanie 1

Ad2. cd.

D = a + b·c

,

gdzie:

2

1

2

1

C

C

D

D

b

−

−

=

d

2

c

b

c

a

x

J

2

+

⋅

+

⋅

=

⋅

−

Wartość

d

można wyznaczyć

z powyższego równania dla

x = 0

d

2

c

b

c

a

0

J

2

1

1

+

⋅

+

⋅

=

⋅

−

)

c

2

b

c

a

(

d

2

1

1

⋅

+

⋅

−

=

Wartość J można wyznaczyć z tego samego
równania dla

x = h

i wykorzystując otrzymaną zależność na

d

:

2

c

b

c

a

2

c

b

c

a

h

J

2

1

1

2

2

2

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

⋅

−

(

)

(

)

h

C

C

2

b

C

C

a

J

2

2

2

1

2

1

−

+

−

=

⇓

Wykazano poprzednio, że:

⇓

Po wstawieniu za

a

i

b

wyliczonych poprzednio wartości oraz dokonując przekształceń

otrzymuje się wartość strumienia

J:

h

C

C

2

D

D

J

2

1

2

1

−

⋅

+

=

2

1

2

1

1

2

c

c

c

D

c

D

a

−

−

=

2. Oblicz wartość strumienia dyfuzji węgla przez płytkę wiedząc, że przy zawartości węgla w stali

wynoszącej 0,8 % wagowych w 10000

o

C w 1 m

3

jest 60 kg węgla.

Zadanie 1

Ad2. cd. Wykazano, że strumień węgla dyfundujący przez płytkę wynosi:

Do tego wzoru należy wprowadzić wartości podane w zadaniu, ale najpierw należy procenty
wagowe stężenia węgla zamienić na gęstość węgla wyrażoną w kg/m

3

, korzystając z podanej

informacji, że przy 0,8 % wagowego węgla w stali jego gęstość wynosi 60 kg/m

3

.

h

C

C

2

D

D

J

2

1

2

1

−

⋅

+

=

]

m

/

kg

[

105

]

m

/

kg

[

60

]

wag

[%

8

,

0

]

wag

[%

4

,

1

]

m

/

kg

[

60

]

wag

[%

8

,

0

]

wag

[%

c

]

m

/

kg

[

c

3

3

3

1

3

1

=

⋅

=

⋅

=

]

m

/

kg

[

2

,

11

]

m

/

kg

[

60

]

wag

[%

8

,

0

]

wag

[%

15

,

0

]

m

/

kg

[

60

]

wag

[%

8

,

0

]

wag

[%

c

]

m

/

kg

[

c

3

3

3

2

3

2

=

⋅

=

⋅

=

]

s

/

m

/

kg

[

10

6

,

9

]

m

[

0005

,

0

]

m

/

kg

[

2

,

11

105

2

]

s

/

m

[

10

5

,

2

10

7

,

7

J

2

6

3

2

11

11

−

−

−

⋅

≈

−

⋅

⋅

+

⋅

=

]

s

/

m

/

mg

[

6

,

9

J

2

≈

Stal niskowęglowa o zawartości 0,1% węgla jest nawęglana w temperaturze 900

o

C w atmosferze

pozwalającej na wytworzenie na powierzchni próbki stałego stężenia węgla o wartości 1%
(tzw. potencjał węglowy atmosfery).
1. Określ głębokość nawęglonej warstwy po 30 min zakładając, że zawartość węgla w tej
warstwie stali musi zawierać przynajmniej 0,4 %. Przyjmij, że współczynnik dyfuzji węgla w stali
austenitycznej w temperaturze 900

o

C wynosi ok. 1,7·10

-7

cm

2

/s.

2. Wykreśl profil stężenia węgla w próbce po procesie nawęglania w tych warunkach.

Zadanie 2

Ad. 1:

x

0,4

– odległość od powierzchni,

gdzie stężenie węgla wynosi 0,4 % wag.

Rozwiązanie II równania Ficka dla źródła stałego:

Po wstawieniu wartości danych z zadania:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

−

Dt

2

x

erf

c

c

c

)

t

,

x

(

c

s

0

s

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⋅

⋅

=

−

−

−

1800

10

7

,

1

2

x

erf

1

1

,

0

1

4

,

0

7

4

,

0

Rysunek roboczy do zadania

Stal węglowa o zawartości 0,1% węgla jest nawęglana w temperaturze 900

o

C w atmosferze

pozwalającej na wytworzenie na powierzchni próbki stałego stężenia węgla o wartości 1% (tzw.
potencjał węglowy atmosfery).
1. Określ głębokość nawęglonej warstwy po 30 min zakładając, że zawartość węgla w tej
warstwie stali musi zawierać przynajmniej 0,4 %. Przyjmij, że współczynnik dyfuzji węgla w stali
austenitycznej wynosi ok. 1,7·10

-7

cm

2

/s.

Zadanie 2

Ad. 1, cd.:

69

0

1800

10

7

1

2

7

4

0

,

,

x

,

≈

⋅

⋅

−

(

)

69

,

0

erf

67

,

0

≈

Z tablicy wartości funkcji błędu wynika, że:

Zatem:

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⋅

⋅

=

≈

−

−

−

1800

10

7

,

1

2

x

erf

667

,

0

1

1

,

0

1

4

,

0

7

4

,

0

Głębokość warstwy nawęglonej wynosi:

m

240

mm

24

,

0

cm

024

,

0

x

4

,

0

μ

=

=

≈

Tablica wartości funkcji błędu

Stal węglowa zawierająca 0,12 % wag. węgla jest nawęglana w temperaturze 930

o

C:

1. Określ potencjał węglowy atmosfery nawęglającej, jaki jest potrzebny do tego, aby po 30 godz.

nawęglania w odległości 1,5 mm od powierzchni stężenie węgla wynosiło co najmniej 0,45%.
Przyjmij, że współczynnik dyfuzji węgla w stali austenitycznej w tej temperaturze nie zależy od
stężenia węgla i wynosi ok. 2·10

-7

cm

2

/s.

Zadanie 3

Ad 1:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

−

Dt

2

x

erf

c

c

c

)

t

,

x

(

c

s

0

s

Potencjał węglowy atmosfery powinien wynosić
co najmniej 1,22 % wag.

Tablica wartości funkcji błędu

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⋅

⋅

=

−

−

−

108000

10

2

2

15

,

0

erf

c

12

,

0

c

45

,

0

7

s

s

(

)

53

,

0

510

,

0

erf

c

12

,

0

c

45

,

0

s

s

≈

=

−

−

.

wag

%

22

,

1

c

s

≈