Wykład 7
Przyśpieszenie dowolnego punktu B pręta AB poruszającego
się ruchem płaskim, jest równe sumie geometrycznej
przyśpieszenia dowolnie obranego punktu A oraz
przyśpieszenia punktu B wynikającego z obrotu względem
punktu A.

Ruch kulisty ciała sztywnego

Ruchem kulistym ciała sztywnego nazywamy taki ruch ciała
podczas którego jeden jego punkt pozostaje nieruchomy

ξ

- ksi, ψ – psi, ζ – dzeta, φ – fi, η – eta,

ϑ

- teta

Układ nieruchomy 0xyz, wersory tego układu i

1

, j

1

, k

1

,

układ związany z ciałem 0ξηζ, wersory tego układu i

2

, j

2

, k

2

ζ z

Patrz Jan Misiak tom II

η

strona 105

M
r z
0 y

ζ

ϑ

x ξ

k

1

η

k

2

0 y

ψ

ω

x

k

3

φ

ξ

M

’

n

∆

r

∆

θ

M ψ, φ,

ϑ

- kąty Eulera

r

∆θ

Rys.54 Obrót ciała

0

46kin

Wektor wypadkowy małego obrotu ∆θ jest równy
sumie geometrycznej wektorów małych obrotów wokół
poszczególnych osi

ϑ

Δ

ϕ

Δ

ψ

Δ

Θ

Δ

3

2

1

k

k

k

G

G

G

G

+

+

=

(70)

Prędkości kątowe i liniowe w ruchu kulistym

Prędkość liniowa punktu M (rys.54)jest równa

r

r

t

lim

t

r

lim

t

r

lim

V

0

t

0

t

0

t

G

G

H

G

G

G

G

G

×

=

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

×

=

=

→

→

→

ω

Δ

Θ

Δ

Δ

Θ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

(71)

gdzie

ω

- chwilowa prędkość kątowa ciała sztywnego

t

k

k

k

lim

t

lim

3

2

1

0

t

0

t

Δ

ϑ

Δ

ϕ

Δ

ψ

Δ

Δ

Θ

Δ

ω

Δ

Δ

G

G

G

G

G

+

+

=

=

→

→

t

lim

k

t

lim

k

t

lim

k

0

t

3

0

t

2

0

t

1

Δ

ϑ

Δ

Δ

ϕ

Δ

Δ

ψ

Δ

ω

Δ

Δ

Δ

→

→

→

+

+

=

G

G

G

G

3

2

1

3

2

1

k

k

k

ω

ω

ω

ϑ

ϕ

ψ

ω

G

G

G



G



G



G

G

+

+

=

+

+

=

(72)

ω

1

–prędkość kątowa precesji, wektor

ω

1

pokrywa się z 0z

ω

2

- prędkość kątowa obrotu własnego, wektor

ω

2

pokrywa

się z osią układu ruchomego 0

ζ

ω

3

- prędkość kątowa nutacji, wektor

ω

3

leży na linii węzłów

0n (rys.54)
Składowe wektora prędkości kątowej

ω

:

ψ

ω

ψ

ϑ

ω

ω

cos

sin

sin

3

2

x

+

=

ψ

ω

ψ

ϑ

ω

ω

sin

cos

sin

3

2

y

+

−

=

(73)

ϑ

ω

ω

ω

cos

2

1

z

+

=

ϕ

ω

ϕ

ϑ

ω

ω

ξ

cos

sin

sin

3

1

+

=

ϕ

ω

ϕ

ϑ

ω

ω

η

sin

cos

sin

3

1

−

=

(74)

2

1

cos

ω

ϑ

ω

ω

ζ

+

=

47kin

47a.kin

Rysunki do wzorów (73)

ζ

z

ϑ

ω

2

cos

ϑ

ω

2

ω

1

η

ω

2

sin

ϑ

cosΨ

ω

2

sin

ϑ

0 y 0 y

ψ

ω

2

sin

ϑ

m

ω

2

sin

ϑ

sinΨ

ω

3

ϕ

ξ

Ψ

x

n

m

90

0

-Ψ

n

x
0

ω

3

sinΨ

y

ω

3

m

ω

3

cosΨ

n

x
Rys.54a

47b.kin
Rysunki do wzorów (74)
z

ζ

ω

1

η

π

ω

1

cos

ϑ

ω

2

π

1

n

1

ω

1

sin

ϑ

ω

3

ξ

ϕ

n n

jest prostopadłe do pł.

π

a więc jest prostopadłe do n

1

n

1

jest prostopadłe do

ζ

bo

leży w pł. 0

ξη

0

ω

1

sin

ϑ

cos

ϕ

η

ω

1

sin

ϑ

ϕ

ω

1

sin

ϑ

sin

ϕ

n

n

1

ξ

Rys.54b

ω

3

sin

ϕ

0

η

ω

3

ω

3

cos

ϕ

ϕ

n

ξ

Znając położenie chwilowej osi obrotu i składowe
prędkości kątowej ciała wokół tej osi, można wyznaczyć prędkość
liniową dowolnego punktu M ciała

ζ

η

ξ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ζ

η

ξ

2

2

2

z

y

x

1

1

1

k

j

i

z

y

x

k

j

i

r

V

G

G

G

G

G

G

G

G

G

=

=

×

=

(75)

Wartość liczbowa tej prędkości wynosi

h

sin

r

V

ω

α

ω

=

=

(76)

z M

V

h
l


0 y
z x
x y Rys.55

Składowe prędkości liniowej punktu M w:
nieruchomym układzie współrzędnych 0xyz są równe

y

z

V

z

y

x

ω

ω

−

=

,

z

x

V

x

z

y

ω

ω

−

=

,

x

y

V

y

x

z

ω

ω

−

=

ruchomym układzie współrzędnych

ξηζ

0

wynoszą

η

ω

ζ

ω

ζ

η

ξ

−

=

V

,

ζ

ω

ξ

ω

ξ

ζ

η

−

=

V

,

ξ

ω

η

ω

η

ξ

ζ

−

=

V

Przyśpieszenie kątowe i liniowe w ruchu kulistym

Różniczkując (72) otrzymujemy przyśpieszenie kątowe

(

)

(

)

=

+

+

=

+

+

=

=

3

3

2

2

1

1

3

2

1

k

k

k

dt

d

dt

d

dt

d

G

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ε

dt

k

d

dt

k

d

dt

k

d

k

k

k

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

G

G

G

G



G



G



ω

ω

ω

ω

ω

ω

+

+

+

+

+

=

2

3

1

3

3

2

2

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

G

G

G

G

G



G



G



×

+

×

+

+

+

=

k

k

k

(77)

gdzie

,

0

dt

k

d

1

=

G

,

k

)

(

dt

k

d

2

3

1

2

G

G

G

G

×

+

=

ω

ω

3

1

3

k

dt

k

d

G

G

G

×

=

ω

48kin

r

α

ω

Różniczkując (75) otrzymujemy wzór na
przyśpieszenie liniowe punktu M

(

)

V

r

dt

r

d

r

dt

d

r

dt

d

dt

V

d

a

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

×

+

×

=

×

+

×

=

×

=

=

ω

ε

ω

ω

ω

(78)

Chwilowe osie obrotu w układzie ruchomym tworzą pewną
powierzchnię stożkową z wierzchołkiem w punkcie 0.

Aksoida ruchoma jest to miejsce geometryczne chwilowych
osi obrotu w układzie ruchomym.

Aksoida nieruchoma jest to miejsce geometryczne
chwilowych osi obrotu w układzie nieruchomym

.

PRECESJA REGULARNA

Kąt precesji

ϑ

= const, stąd

0

dt

d

3

=

=

ϑ

ω

2

1

ω

ω

ω

G

G

G

+

=

oraz

ω

1

= const,

ω

2

= const

l

0

z

ζ


υ

ω

ω

1

η

ω

2

0 y

x ψ

ε

ϕ

ξ

n

Rys.56 Precesja regularna

49kin

Na podstawie wzoru (77) przyśpieszenie kątowe

ω

ω

ε

G

G

G

×

=

1

(79)

Biorąc pod uwagę, że

2

1

ω

ω

ω

G

G

G

+

=

otrzymamy

(

)

2

1

2

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ε

G

G

G

G

G

G

×

=

+

×

=

gdyż

0

1

1

=

×

ω

ω

G

G

Wektor przyśpieszenia kątowego

ε

o przyjętym początku

w środku ruchu kulistego 0 jest prostopadły do wektorów

ω

1

i

ω

2

, a więc jest skierowany wzdłuż linii węzłów 0n

Przyśpieszenie liniowe a jest równe sumie geometrycznej
przyśpieszenia precesyjnego a

1

(

)

r

r

a

2

1

1

G

G

G

G

G

G

×

×

=

×

=

ω

ω

ε

(80)

i przyśpieszenia doosiowego a

2

(

)

V

V

a

2

1

2

G

G

G

G

G

G

×

+

=

×

=

ω

ω

ω

(81)

2

1

a

a

a

G

G

G

+

=

(82)

Przykład 18

Stożek kołowy o kącie wierzchołkowym 2

α

= 60

0

i długości

tworzącej ściany bocznej l toczy się bez poślizgu po
poziomej płaszczyźnie. Oś stożka obraca się ze stałą
prędkością kątową precesji

ω

1

s

-1

wokół pionowej osi 0z.

Obliczyć prędkości i przyśpieszenia liniowe punktów A i B.
z A

r

A

ω

1

2

α

B

ω

y

0 r

B

ω

2

x
Rys.57

50kin

Rozwiązanie

Po przyjęciu w punkcie 0 nieruchomego układu
współrzędnych 0xyz promienie wektory punktów A i B
wynoszą:

(

)

k

3

j

l

5

.

0

r

A

G

G

G

+

=

,

(

)

k

3

5

.

0

j

5

.

1

i

l

5

.

0

r

B

G

G

G

G

+

+

=

Prędkości kątowe są równe

,

k

1

1

G

G

ω

ω

=

j

3

1

G

G

ω

ω

−

=

Z wzoru (75) określamy prędkości:
dla punktu A

i

l

5

.

1

2

l

3

3

1

0

0

1

0

k

j

i

r

V

1

1

A

A

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

−

=

−

=

×

=

l

5

.

1

V

1

A

ω

=

dla punktu

B

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

−

=

×

=

k

3

5

.

0

i

4

3

l

2

l

3

3

5

.

0

5

.

1

1

0

1

0

k

j

i

r

V

1

1

B

B

G

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

l

21

25

.

0

V

1

B

ω

=

Przyśpieszenie kątowe

ε

G

stożka wyznaczamy ze wzoru (79)

i

3

3

0

1

0

1

0

0

k

j

i

2

1

2

1

1

G

G

G

G

G

G

G

⋅

=

−

=

×

=

ω

ω

ω

ω

ε

Przyśpieszenia liniowe punktów

A i B z wzorów (80÷82)

wynoszą:

(

)

k

3

j

3

l

5

.

0

2

l

3

3

1

0

0

0

1

k

j

i

r

a

2

1

2

1

A

A

1

G

G

G

G

G

G

G

G

+

−

=

=

×

=

ω

ω

ε

51kin

k

l

3

5

.

1

l

2

3

3

0

0

1

0

1

0

k

j

i

V

a

2

1

2

1

A

A

2

G

G

G

G

G

G

−

=

−

−

=

×

=

ω

ω

(

)

k

3

j

5

.

1

l

a

a

a

2

1

A

2

A

1

A

G

G

G

G

G

+

−

=

+

=

ω

(

)

k

3

j

l

4

3

2

l

3

3

2

1

2

3

1

0

0

1

k

j

i

r

a

2

1

2

1

B

B

1

G

G

G

G

G

G

G

G

+

−

=

=

×

=

ω

ω

ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

−

−

=

×

=

k

2

3

i

l

2

3

l

3

2

3

0

4

3

0

1

0

k

j

i

V

a

2

1

2

1

B

B

2

G

G

G

G

G

G

G

G

ω

ω

ω

(

)

j

75

.

0

i

5

.

1

l

a

a

a

2

1

B

2

B

1

B

G

G

G

G

G

+

−

=

+

=

ω

a

Bx

a

B

a

By

B y

i j

x

Rys.58

52kin