ALGEBRA LINIOWA
PRZESTRZENIE EUKLIDESOWE 2
Jacek Jędrzejewski
Spis treści
1 Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne 2
2 Izomorfizmy. Endomorfizmy ortogonalne 5
3 Endomorfizm sprzężony. Endomorfizmy symetryczne 10
1
1 Bazy ortonormalne i macierze ortogonalne
Załóżmy, że w przestrzeni euklidesowej V bazy B i B są ortonormalne. Oczy-
wiście, macierz C przejścia od bazy B do bazy B jest macierzą nieosobliwą.
Co jeszcze można o takiej macierzy powiedzieć?

Niech C = cij . Jeśli B = (b1, . . . , bn) i B = (b , . . . , b ) , to
1 n
n

b = cij ·bi, gdy j " {1, . . . , n}
j
i=1
oraz

bi | bj = b | b = ´ij. (1)
i j
Z warunków tych wynika, że

n n


b | b = cli·bl ckj ·bk =

i j

l=1 k=1
n n

= cli·ckj ·(bl | bk ) =
l=1 k=1
n

= cki·ckj.
k=1
Z uwagi na (1) otrzymujemy
n

cki·ckj = ´ij. (2)
k=1
Równość ta jest równoważna następującej:
"
Ct C = E, (3)
gdzie, jak zwykle, E oznacza macierz jednostkowÄ… stopnia n.
Z powyższej równości wynika, że macierz Ct jest macierzą odwrotną do
macierzy C, zatem również
"
C Ct = E. (4)
Tak więc
n

cki·cli = ´kl. (5)
i=1
2
Definicja 1 Macierz kwadratowÄ… C, gdzie C = [cij], nazywamy macierzÄ…
ortogonalną, jeśli spełniony jest którykolwiek z równoważnych warunków (2)
(5).
Wynika stąd, że jeśli macierz C jest ortogonalna, czyli C-1 = Ct, to
(det C)-1 = det C,
więc
| det C| = 1.
Twierdzenie 2 Macierz przejścia od bazy ortonormalnej do bazy ortonor-
malnej euklidesowej przestrzeni n-wymiarowej jest macierzÄ… ortogonalnÄ….
Jeśli V jest n-wymiarową przestrzenią euklidesową i B jest bazą ortonor-
malną przestrzeni V , to każda macierz ortogonalna stopnia n jest macierzą
przejścia od bazy B do jakiejś bazy ortonormalnej tej przestrzeni.
D o w ó d. Pierwsza część twierdzenia została udowodniona w powyższych
rozważaniach.
Udowodnimy teraz drugą część twierdzenia. Niech V będzie dowolną eu-
klidesowÄ… przestrzeniÄ… n-wymiarowÄ… i B, gdzie B = (b1, . . . , bn), jej bazÄ…
ortonormalnÄ… oraz C, gdzie C = [cij], macierzÄ… ortogonalnÄ….
Ponieważ C jest macierzą odwracalną, więc wektory b , . . . , b określone
1 n
wzorami
n

b = cij ·bi, gdy j " {1, . . . , n},
j
i=1
stanowiÄ… bazÄ™ przestrzeni V .
Z zależności (2) wnioskujemy, że

b | b = ´ij,
i j
więc układ (b , . . . , b ) stanowi bazę ortonormalną, co kończy dowód.
1 n
Symbolem O(n) oznaczać będziemy zbiór wszystkich macierzy ortogonal-
nych stopnia n.
Twierdzenie 3 Zbiór O(n) z mnożeniem macierzy stanowi grupę.
3
D o w ó d. Macierze ortogonalne są nieosobliwe, więc ich zbiór jest pod-
zbiorem grupy macierzy nieosobliwych.
Najpierw zauważmy, że iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą or-
togonalną. Niech A i B będą dowolnymi macierzami ortogonalnymi stopnia
n. Wtedy
At = A-1 i Bt = B-1,
więc
" " " "
(A B)t = Bt At = B-1 A-1 = (A B)-1.
"
Tak więc A B " O(n).
Z równości A-1 = At wynika równość
-1 -1 t
A-1 = At = A-1 ,
skąd wnioskujemy, że A-1 " O(n).
Udowodniliśmy, że zbiór O(n) spełnia wszystkie warunki z kryterium na
podgrupę, co dowodzi ostatecznie, że zbiór ten jest grupą względem mnożenia
macierzy.
GrupÄ™ tÄ™ nazywamy ortogonalnÄ… grupÄ… stopnia n.
Przykład 4 Macierz C, określona wzorem

cos ¸ sin ¸
C = ,
- sin ¸ cos ¸
jest ortogonalna, gdyż

cos ¸ - sin ¸ cos ¸ sin ¸
" "
Ct C = =
sin ¸ cos ¸ - sin ¸ cos ¸

cos2 ¸ + sin2 ¸ cos ¸·sin ¸ - sin ¸·cos ¸ 1 0
= = .
sin ¸·cos ¸ - cos ¸·sin ¸ sin2 ¸ + cos2 ¸ 0 1
Przykład 5 Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 2
3 3 3
ïÅ‚
1 2
C = ðÅ‚ -2 śł .
ûÅ‚
3 3 3
2
-2 -1
3 3 3
"
A
atwo sprawdza się, że Ct C = E, czyli C " O(3).
4
2 Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. En-
domorfizmy ortogonalne
Niech V i W będą dwiema przestrzeniami euklidesowymi. W przestrzeni V
iloczyn skalarny oznaczmy standardowo, czyli symbolem (· | ·). Natomiast w
przestrzeni W iloczyn skalarny oznaczmy symbolem · | · .
Definicja 6 Izomorfizmem przestrzeni euklidesowej V na przestrzeń eukli-
desową W nazywamy wzajemnie jednoznaczne przekształcenie liniowe A : V - W ,
spełniające następujący warunek:
( A(x) | A(x ) = (x | x )) .
" "
x"V x "V
Izomorfizm przestrzeni liniowych będziemy nazywali w tym rozdziale izo-
morfizmem liniowym w odróżnieniu od zdefiniowanego przed chwilą izo-
morfizmu przestrzeni euklidesowych.
Czasami, dla skrócenia zapisu, będziemy pisali Ax zamiast A(x).
Twierdzenie 7 Dwie przestrzenie euklidesowe sÄ… izomorficzne wtedy i tylko
wtedy, gdy majÄ… ten sam wymiar.
D o w ó d. Załóżmy, że przestrzenie euklidesowe V i W są izomorficzne.
Ponieważ przestrzenie euklidesowe są skończenie wymiarowe, i izomorfizm
przestrzeni euklidesowych jest izomorfizmem liniowym, więc
dim V = dim W .
Jeśli teraz założymy, że przestrzenie euklidesowe V i W mają wymiar
równy n, to niech B będzie jakąkolwiek bazą ortonormalną przestrzeni V
natomiast D jakąkolwiek bazą ortonormalną przestrzeni W . Przyjmijmy, że
B = (b1, . . . , bn) i D = (d1, . . . , dn).
n

Dla wektora x, majÄ…cego postać x = ¾i·bi, okreÅ›lamy wartość funkcji
i=1
A następująco:
n

A(x) = ¾i·di.
i=1
5
Z własności przekształceń liniowych wiemy, że funkcja A jest izomorfizmem
liniowym przestrzeni liniowej V na przestrzeń liniową W .
n n

Ponadto, jeÅ›li a = Ä…i·bi oraz b = ²i·bi, to
i=1 i=1
n

A(a) | A(b) = Ä…i·²i = (a | b) ,
i=1
co oznacza, że A jest izomorfizmem przestrzeni euklidesowej V na przestrzeń
euklidesowÄ… W .
Definicja 8 Izomorfizm przestrzeni euklidesowej V na siebie nazywamy au-
tomorfizmem lub operatorem ortogonalnym, lub endomorfizmem ortogonal-
nym przestrzeni V .
Twierdzenie 9 Endomorfizm A przestrzeni euklidesowej V jest endomorfizmem
ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia jeden z następujących warun-
ków:


1. A(x) A(x) = x x ;
"
x"V
2. A przekształca pewną bazę ortonormalną na bazę ortonormalną;
3. macierz endomorfizmu A względem pewnej bazy ortonormalnej prze-
strzeni V jest ortogonalna;
4. A przekształca każdą bazę ortonormalną na bazę ortonormalną;
5. macierz endomorfizmu A względem dowolnej bazy ortonormalnej prze-
strzeni V jest ortonormalna.
D o w ó d. Warunek (1) wynika z definicji endomorfizmu ortogonalnego.
Załóżmy teraz, że endomorfizm A spełnia warunek (1). Wtedy dla dowol-
nych wektorów x i y z przestrzeni V spełnione są równości:


(x + y | x + y ) = A(x + y) A(x + y) =
= (A(x) | A(x)) + 2 · (A(x) | A(y)) + (A(y) | A(y)),
(x + y | x + y ) = (x | x) + 2 · (x | y ) + (y | y ),
6
skąd wynika, że (A(x) | A(y)) = (x | y ). Udowodnimy teraz, że A jest prze-
kształceniem wzajemnie jednoznacznym. Jeśli A(x) = 0, to
(x | x) = (A(x) | A(x)) = (0 | 0) = 0,
skąd wnioskujemy, że x = 0. Oznacza to, że Ker A = {0}. Z wniosku ??
wynika, że A jest izomorfizmem liniowym. Tym samym udowodniliśmy, że
endomorfizm A jest endomorfizmem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
A spełnia warunek (1).
Załóżmy, że A jest endomorfizmem ortogonalnym przestrzeni V oraz niech
B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie jakąkolwiek bazą ortonormalną przestrze-
ni V . Wtedy
(Abi | Abj ) = (bi | bj ) = ´ij,
gdzie, jak zwykle ´ij oznacza deltÄ™ Kroneckera. Dowodzi to, że wektory
Ab1, . . . , Abn stanowią bazę ortonormalną przestrzeni V . Tak więc każdy
endomorfizm ortogonalny spełnia warunek (2).
Udowodnimy teraz, że z warunku (2) wynika, iż endomorfizm A jest en-
domorfizmem ortogonalnym przestrzeni euklidesowej V .
Niech więc A będzie endomorfizmem przestrzeni V w siebie, przekształ-
cajÄ…cym bazÄ™ ortonormalnÄ… na bazÄ™ ortonormalnÄ…. Niech B, gdzie
B = (b1, . . . , bn),
będzie tą bazą ortonormalną przestrzeni V , dla której (Ab1, . . . , Abn) jest
bazą ortonormalną przestrzeni V . Udowodnimy, że endomorfizm A spełnia
n

warunek (1). Niech x, gdzie x = ¾i·bi, bÄ™dzie dowolnym wektorem prze-
i=1
strzeni V . Wtedy
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚


n n


íÅ‚ íÅ‚
(Ax | Ax) = A ¾i·bi A ¾j ·bjÅ‚Å‚ Å‚Å‚ =


i=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚

n n


íÅ‚
= ¾i·A(bi) ¾j ·A(bj)Å‚Å‚ =


i=1 j=1
n n n n n

= ¾i·¾j ·(A(bi) | A(bj)) = ¾i·¾j ·´ij = ¾i·¾i
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1
7
oraz
ëÅ‚ öÅ‚

n n


íÅ‚
(x | x) = ¾i·bi ¾j ·bjÅ‚Å‚ =


i=1 j=1
n n n n n

= ¾i·¾j ·(bi | bj ) = ¾i·¾j ·´ij = ¾i·¾i.
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1
Ostatecznie otrzymujemy równość
(A(x) | A(x)) = (x | x),
co dowodzi, że A jest endomorfizmem ortogonalnym.
Udowodnimy teraz implikacjÄ™ (2) =Ò! (3).
Niech B, gdzie B = (b1, . . . , bn), będzie bazą ortonormalną przestrzeni V

taką, że (Ab1, . . . , Abn) jest też bazą ortonormalną przestrzeni V . Niech ąij
będzie macierzą endomorfizmu A względem bazy B. Wtedy, na podstawie
definicji macierzy przekształcenia liniowego, mamy:
n

Abj = Ä…ij ·bi.
i=1
Z tych zależności wynika, że

n n


Ä…ij ·bi Ä…kl·bk = ´jl,


i=1 k=1
czyli
n

Ä…ij ·Ä…il = ´jl.
i=1

Wynika stąd, że ąij jest macierzą ortogonalną.
Na koniec udowodnimy, że z warunku (3) wynika warunek (2). Niech więc
endomorfizm A w przestrzeni V ma, względem pewnej bazy ortonormalnej,

macierz A, gdzie A = ąij , która jest ortogonalna. Przyjmijmy, że tą bazą
jest B i B = (b1, . . . , bn).
Z określenia macierzy przekształcenia liniowego wynikają równości:
n

Abj = Ä…ij ·bi
i=1
8
oraz

n n


(Abi | Abj ) = Ä…li·bl Ä…kj ·bk =


l=1 k=1
n n n n n

= Ä…li·Ä…kj ·(bl | bk ) = Ä…lj ·Ä…kj ·´lk = Ä…li·Ä…lj,
l=1 k=1 l=1 k=1 i=1
gdyż wektory bi są ortonormalne. Ponieważ macierz A jest ortogonalna, więc
ostatecznie otrzymujemy
(Abi | Abj ) = ´ij,
co dowodzi, że (Ab1, . . . , Abn) jest bazą ortonormalną.
Dowody równoważności warunków (4) i (5) przebiegają tak samo, jak do-
wód równoważności warunków (2) i (3).
Niech O(V ) będzie zbiorem wszystkich endomorfizmów ortogonalnych
przestrzeni euklidesowej V . Jeśli A i B są dwoma endomorfizmami orto-
gonalnymi przestrzeni V , to ich złożenie jest izomorfizmem liniowym oraz
((Ać%B)x | (Ać%B)x) = (A(B(x)) | A(B(x))) = (B(x) | B(x)) = (x | x),
dla dowolnego wektora x z przestrzeni V , skąd wynika, że złożenie Ać%B też
jest endomorfizmem ortogonalnym.
Twierdzenie 10 Zbiór O(V ) wszystkich endomorfizmów ortogonalnych prze-
strzeni euklidesowej V wraz ze składaniem przekształceń stanowi grupę.
Jeśli ponadto dim V = n, to grupa O(V ) jest izomorficzna z grupą O(n).
D o w ó d. Jeśli funkcja A jest dowolnym elementem ze zbioru O(V ), to
jest wzajemnie jednoznaczna; ma więc funkcję odwrotną. Jeśli x jest dowol-
nym wektorem z przestrzeni V , to
(A-1(x) | A-1(x)) = (A (A-1(x)) | A (A-1(x))) = (x | x).
Wynika stąd, że funkcja A-1 jest też endomorfizmem ortogonalnym.
Wnioskujemy, że zbiór O(V ) stanowi podgrupę grupy wszystkich prze-
kształceń wzajemnie jednoznacznych zbioru V na siebie; jest więc grupą.
A
atwo uzasadnić, że przekształcenie przypisujące każdemu endomorfizmo-
wi ortogonalnemu jego macierz względem ustalonej bazy ortonormalnej prze-
strzeni V jest izomorfizmem grupy O(V ) na grupÄ™ O(n).
GrupÄ™ O(V ) nazywamy grupÄ… ortogonalnÄ… przestrzeni euklidesowej V .
9
3 Endomorfizm sprzężony. Endomorfizmy sy-
metryczne i ich diagonalizacja
Definicja 11 Niech V będzie przestrzenią euklidesową. Endomorfizm B prze-
strzeni V nazywamy endomorfizmem sprzężonym z endomorfizmem A tej
przestrzeni, jeśli
(A(x) | y ) = (x | B(y))
dla każdych wektorów x i y z przestrzeni V .
Z przyjętej definicji nie wynika, że każdy endomorfizm ma sprzężony z nim
endomorfizm. Z dowodu poniższego twierdzenia przekonamy się o istnieniu
takiego endomorfizmu.
Twierdzenie 12 Dla każdego endomorfizmu A przestrzeni euklidesowej V
istnieje jedyny sprzężony z nim endomorfizm.
Jeśli A jest macierzą endomorfizmu A względem bazy ortonormalnej B
przestrzeni V , to At jest macierzą endomorfizmu sprzężonego względem ba-
zy B.
D o w ó d. Załóżmy, że endomorfizm B przestrzeni V jest sprzężony z en-

domorfizmem A. JeÅ›li A i B, gdzie A = Ä…ij oraz B = ²ij , oznaczajÄ…
macierze endomorfizmów A i B względem pewnej bazy ortonormalnej B,
gdzie B = (b1, . . . , bn), to
n n

A(bj) = Ä…ij ·bi i B(bj) = ²ij ·bi.
i=1 i=1
Wtedy
(A(bj) | bk ) = (bj | B(bk)),
ale
n n

(A(bj) | bk ) = Ä…ij ·(bi | bk ) = Ä…ij ·´ik = Ä…kj
i=1 i=1
oraz
n n

(bj | B(bk)) = ²ik·(bj | bi ) = ²ik·´ji = ²jk.
i=1 i=1
Wynika stąd, że macierz B jest macierzą transponowaną do macierzy A.
10
Ponieważ endomorfizm jest jednoznacznie wyznaczony przez swoją ma-
cierz względem bazy B przestrzeni V , więc dla danego endomorfizmu istnieje
co najwyżej jeden sprzężony z nim endomorfizm.
Niech A będzie dowolnym endomorfizmem przestrzeni V i B, gdzie
B = (b1, . . . , bn),

ustaloną bazą ortonormalną przestrzeni V . Jeśli A, gdzie A = ąij , jest ma-
cierzą endomorfizmu A względem bazy B, to niech B będzie endomorfizmem,
którego macierzą względem tej samej bazy jest macierz At. Niech x i y będą
dowolnymi wektorami przestrzeni V ; przyjmijmy, że
n n

x = ¾i·bi, y = ·i·bi i ²ji = Ä…ij.
i=1 i=1
Wtedy
ëÅ‚ öÅ‚


n n


íÅ‚
(Ax | y ) = A ¾i·bi ·j ·bjÅ‚Å‚ =


i=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚

n n


íÅ‚
= ¾i·A (bi) ·j ·bjÅ‚Å‚ =


i=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚

n n n


íÅ‚
= ¾i· Ä…ki·bk ·j ·bjÅ‚Å‚ =


i=1 k=1 j=1
n n n n n

= ¾i· Ä…ki· ·j ·(bk | bj ) = Ä…ji·¾i··j
i=1 k=1 j=1 i=1 j=1
oraz
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚

n n


íÅ‚ íÅ‚
(x | By ) = ¾i·bi B ·j ·bjÅ‚Å‚Å‚Å‚ =


i=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚

n n


íÅ‚
= ¾i·bi ·j ·B(bj)Å‚Å‚ =


i=1 j=1
ëÅ‚ öÅ‚

n n n


íÅ‚
= ¾i·bi ·j · ²kj ·bkÅ‚Å‚ =


i=1 j=1 k=1
n n n n n

= ¾i· ²kj ··j ·(bi | bk ) = ²ij ·¾i··j.
i=1 j=1 k=1 i=1 j=1
11
Ponieważ ²ij = Ä…ji, wiÄ™c (Ax | y ) = (x | By ), co dowodzi, że B jest endo-
morfizmem sprzężonym z endomorfizmem A.
W dalszym ciągu endomorfizm sprzężony z endomorfizmem A będziemy
oznaczali symbolem A".
Twierdzenie 13 Dla dowolnych endomorfizmów A i B przestrzeni euklide-
sowej V i dowolnej liczby rzeczywistej ł spełnione są równości:
"
(A + B)" = A" + B", (Å‚·A)" = Å‚·A", A" = A i (A ć% B)" = B" ć% A".
D o w ó d. Niech x i y będą dowolnymi wektorami z przestrzeni V . Wtedy
((A + B)x | y ) = (Ax + Bx | y ) = (Ax | y ) + (Bx | y ) =
= (x | A"y ) + (x | B"y ) = (x | A"y + B"y ) = (x | (A" + B")y ),
skąd wynika równość
(A + B)" = A" + B".
Podobnie,
((Å‚·A)x | y ) = (Å‚·Ax | y ) = Å‚·(Ax | y ) = Å‚·(x | A"y ) =
= (x | Å‚·A"y ) = (x | (Å‚·A")y ),
skąd wynika równość
(Å‚·A)" = Å‚·A".
Analogicznie,
((Ać%B)x | y ) = (A(B(x)) | y ) = (B(x) | A"(y)) =
= (x | B" (A"(y))) = (x | (B"ć%A") (y)).
Bezpośrednio z tej równości wnioskujemy, że
(A ć% B)" = B" ć% A".
Na koniec z równości (A"x | y ) = (y | A"x) = (Ay | x) = (x | Ay ), wnio-
"
skujemy, że A" = A.
A
atwo zauważamy, że endomorfizmem sprzężonym z endomorfizmem toż-
samościowym jest on sam, czyli id" = idV .
V
12
Twierdzenie 14 Endomorfizm A przestrzeni euklidesowej V jest ortogo-
nalny wtedy i tylko wtedy, gdy A" = A-1.
D o w ó d. Jeśli endomorfizm A jest ortogonalny, to dla dowolnych wekto-
rów x i y z przestrzeni V mamy:
(x | y ) = (Ax | Ay ) = (x | A"(A(y))) = (x | (A"ć%A)(y)),
skąd wynika, że
(x | (y - (A" ć% A)y)) = 0,
czyli
(x | (idV - (A" ć% A)) y ) = 0.
Podstawiając: x = (idV - (A" ć% A)) y, otrzymujemy


(idV - A" ć% A)y (idV - A" ć% A)y = 0.
Wnioskujemy stąd, że (idV -A"ć%A)y = 0, dla dowolnego wektora y, a zatem
idV - A" ć% A jest przekształceniem zerowym.
Tak więc A" ć% A = idV , czyli A" = A-1.
Załóżmy teraz, że A" = A-1. Wtedy
(Ax | Ax) = (x | A"(Ax)) = (x | A-1(Ax)) = (x | x),
a to dowodzi, że endomorfizm A jest ortogonalny.
Posługując się związkiem endomorfizmów ortogonalnych z macierzami or-
togonalnymi, można udowodnić powyższe twierdzenie w sposób następujący:

Niech A będzie macierzą endomorfizmu A względem jakiejś bazy or-
tonormalnej przestrzeni V . Z twierdzenia 9 wiemy, że endomorfizm A jest

ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest ortogonalna, czyli gdy
t -1 t -1
A = A . Ponieważ A = A" i A = A-1 , więc endomorfizm A
jest ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy A" = A-1.
Definicja 15 Endomorfizm A przestrzeni euklidesowej V nazywamy samo-
sprzężonym (lub symetrycznym), jeśli A" = A.
Twierdzenie 16 Endomorfizm A przestrzeni euklidesowej V jest symetrycz-
ny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz względem bazy ortonormalnej jest
symetryczna.
13
D o w ó d. Endomorfizm jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
równy swojemu sprzężeniu, a to ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy macierz
tego endomorfizmu względem bazy ortonormalnej przestrzeni V jest równa
macierzy transponowanej tegoż endomorfizmu, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy
macierz jest symetryczna.
Głównym celem tego podrozdziału jest twierdzenie o istnieniu bazy orto-
normalnej złożonej z wektorów własnych endomorfizmu symetrycznego. Za-
nim udowodnimy zasadnicze twierdzenie, podamy kilka definicji, twierdzeń i
lematów pomocniczych.
Definicja 17 Dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni U w przestrzeni
euklidesowej V nazywamy zbiór wszystkich wektorów ortogonalnych do pod-
Ä„"
przestrzeni U . Zbiór ten oznaczamy symbolem U .
Ä„"
Stosując powyższe oznaczenia mamy: U = {x " V : xĄ"U } .
Twierdzenie 18 Dla każdej podprzestrzeni liniowej U przestrzeni euklide-
Ä„"
sowej V zbiór U jest podprzestrzenią liniową.
Ä„"
D o w ó d. Niech x i y będą dwoma wektorami ze zbioru U i ł  dowolną
liczbą rzeczywistą. Wtedy dla każdego wektora u z podprzestrzeni U mamy:
(x + y | u) = (x | u) + (y | u) = 0 + 0 = 0,
(Å‚·x | u) = Å‚·(x | u) = Å‚·0 = 0.
Ä„"
Warunki te dowodzą, że U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V .
Ä„"
Ä„"Ä„" Ä„"
W dalszym ciągu będziemy stosowali oznaczenie U w miejsce U .
Twierdzenie 19 Jeśli U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni euklideso-
wej V , to
Ä„" Ä„"Ä„"
V = U •" U i U = U .
D o w ó d. Niech (u1, . . . , um) będzie bazą ortonormalną podprzestrzeni
U . Z twierdzenia Bessela wynika, że jeśli v jest dowolnym wektorem z prze-
strzeni V i
m

w = v - (v | ui )·ui,
i=1
14
Ä„"
to wĄ"U . Ponieważ v = u + w, gdzie u " U oraz w " U , więc
Ä„"
V = U + U .
Ä„"
Załóżmy teraz, że jakiś wektor a należy do podprzestrzeni U )" U . Z re-
Ä„"
lacji a " U wynika, że aĄ"U , a ponieważ a " U , więc (a | a) = 0, czyli
a = 0. W ten sposób udowodniliśmy, że
Ä„"
V = U •" U .
Niech u będzie dowolnym wektorem z podprzestrzeni U . Jeśli x jest ja-
Ä„"
kimkolwiek wektorem z podprzestrzeni U , to (u | x) = 0. Wynika stąd, że
wektor u jest prostopadły (ortogonalny) do każdego wektora z podprzestrzeni
Ä„" Ä„"
Ä„" Ä„" Ä„"
U , wiÄ™c u " U . Tak wiÄ™c U ‚" U .
Ä„"
Ä„"
Niech teraz u będzie dowolnym wektorem z podprzestrzeni U . Jeśli x
Ä„"
jest jakimkolwiek wektorem z podprzestrzeni U , to (u | x) = 0. Z pierwszej
części twierdzenia wynika, że wektor u można przedstawić w postaci v + w,
Ä„"
gdzie v " U i w " U . Mamy zatem: (v | w ) = 0 oraz
(w | w ) = (w | w ) + 0 = (w | w ) + (v | w ) = (w + v | w ) = (u | w ) = 0,
czyli (w | w ) = 0. Wynika stąd, że w = 0, zatem u = v, a to dowodzi, że
u " U .
Ä„"Ä„"
Ostatecznie U = U .
Twierdzenie 20 Jeśli V jest przestrzenią euklidesową, A symetrycznym
endomorfizmem przestrzeni V i U jest podprzestrzeniÄ… niezmienniczÄ… en-
Ä„"
domorfizmu A, to podprzestrzeń U jest też podprzestrzenią niezmienniczą
endomorfizmu A.
D o w ó d. Niech y będzie dowolnym wektorem z podprzestrzeni UĄ". Wte-
dy dla każdego wektora x z podprzestrzeni U mamy (y | x) = 0. Wynika
stąd (z symetryczności endomorfizmu A), że
(A(y) | x) = (y | A(x)) = 0,
Ä„"
gdyż A(x) " U . Z tej równości wnioskujemy, że A(y) " U , co dowodzi, że
Ä„"
U jest podprzestrzeniÄ… niezmienniczÄ… endomorfizmu A.
15