STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE PRZYPADKI

ZGINANIA BELEK

Jednokrotnie statycznie niewyznaczalny przykład zginania belki

Rozpatrzmy belkę utwierdzoną w jednym końcu i swobodnie podpartą na drugim, obciążoną w środku siłą P. W odróżnieniu od analizowanych dotychczas statycznie wyznaczalnych przypadków zginania, do wyznaczenia mamy tu cztery reakcje więzów, a dysponujemy tylko trzema równaniami statyki. Zadanie jest więc jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Oprócz równań statyki będziemy więc musieli wykorzystać warunek wynikający z odkształceń. Zastosujemy metodę superpozycji. Gdyby lewy koniec belki nie był utwierdzony, lecz swobodnie podparty (M_A = 0), wówczas kąt ugięcia θ_A na podporze wynosiłby
=-Pl²/(16EJ). Gdyby działał tylko moment M_A , wówczas
= M_Al/(3EJ). Ponieważ na podporze A belka jest utwierdzona, sumaryczny kąt ugięcia musi być równy zeru, zatem

Statycznie niewyznaczalne przypadki zginania belek

Z rysunku c i d widać, że reakcje podporowe wynoszą:

Wykres momentów gnących otrzymujemy jako różnicę dodatniego wykresu momentów gnących od siły P (a więc trójkąta o wysokości
Pl) oraz ujemnego wykresu od momentu M_A (trójkąt o wysokości M_A =
Pl, narysowany również do góry, przez co ułatwione jest odejmowanie odpowiednich pól).

Przykład powyższy można również rozwiązać innym sposobem. Gdyby nie było podpory B, wówczas ugięcie w środku belki wynosiłoby f₁= P(
l)³ /(3EJ),a kąt nachylenia θ = P(
l)²/(2EJ). Ugięcie swobodnego końca B belki utwierdzonej na końcu A i obciążonej w środku siłą P wynosiłoby

Ugięcie to jest likwidowane przez reakcję R_B, która działając na koniec belki wspornikowej daje strzałkę ugięcia f_B= —R_Bl³/(3EJ) (ugięcie do góry), zatem

Stąd R_b =
P.

Moment utwierdzenia wynosiłby

M_A=
Pl-R_Bl=
Pl-
Pl=
Pl.

Ten sposób rozwiązania przy użyciu gotowych wzorów i wykorzystaniu metody superpozycji zastosujemy do belki o przekroju zmiennym, przedstawionej na rys. Gdyby nie działała reakcja R_B, swobodny wówczas koniec B belki obciążonej siłą P obniżyłby się o strzałkę f_B1 będącą sumą przemieszczenia f_C1 punktu C oraz dodatkowego przemieszczenia końca B wynikają­cego z faktu, że w przekroju C kąt obrotu belki wynosi θ_C1; to dodatkowe przemieszczenie wynosi więc bθ_C1.

Jednokrotnie statycznie niewyznaczalny przypadek zginania belki o przekroju zmiennym

Korzystając ze podanych wzorów , piszemy

zatem

W układzie zasadniczym, przedstawionym na rys. strzałka ugięcia w punkcie B jest równa zeru, zatem wartość liczbowa reakcji R_B musi być tak duża, aby strzałka ugięcia f_B2 wywołana działaniem reakcji R_B (na belkę nie obciążoną siłą P) była równa f_B1. Zgodnie z oznaczeniami podanymi na rys. ugięcie belki w punkcie C wynosi

a kąt obrotu przekroju C

zatem

Z porównania wzorów (a) i (b) znajdujemy

Dwukrotnie statycznie niewyznaczalny przykład zginania belki

Belka utwierdzona w obu końcach, przedstawiona na rysunku jest przykładem ustroju dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego, gdyż do wyznaczenia mamy pięć reakcji więzów a dysponujemy jedynie trzema równaniami statyki. Zadanie można rozwiązać korzystając z wzorów, stosując metodę superpozycji. Układ zasadniczy przedstawiony na rys. jest superpozycją trzech stanów przedstawionych na rys. d i e. Dla układów tych piszemy kolejno:

Dwukrotnie statycznie niewyznaczalny przykład zginania belki

Dwukrotnie statycznie niewyznaczalny przypadek zginania belki

Ponieważ końce belki rzeczywistej nie mogą się obracać, sumaryczne kąty odchylenia tych końców muszą być równe zeru, zatem:

Stąd znajdujemy

Możemy teraz sporządzić wykres momentów gnących a następnie (lub uprzednio) wyznaczyć reakcje podporowe:

wykonać wykres sił tnących

Obliczanie ram

Stosowane w technice ustroje prętowe dzielimy na mechanizmy i konstrukcje, a te z kolei na ramy i kratownice. Pod działaniem sił zewnętrznych mechanizmy wykonują określone ruchy i w tym celu pręty łączone są ze sobą przegubami, wykonywanymi możliwie starannie, w celu zmniejszenia oporów tarcia.

Klasyfikacja ustrojów prętowych: a) mechanizm, b) rama, c) kratownica

Konstrukcje mają za zadanie pozostawać w spoczynku pod działaniem sił (czyli przenosić obciążenia). Konstrukcje prętowe dzielimy —jak wspomniano na — ramy
i kratownice. Te dwa typy konstrukcji zewnętrznie mogą się niczym nie różnić, w obu przypadkach węzły mogą być identyczne, na przykład spawane z zastosowaniem blach węzłowych. Jeżeli (w myśli) zastąpimy węzły przegubami i układ prętowy mimo to pozostanie konstrukcją (tzn. nie stanie się mechanizmem), to taki ustrój nazywamy kratownicą. Gdybyśmy w danej konstrukcji węzły zastąpili (w myśli) przegubami i otrzymalibyśmy wówczas mechanizm, to taką konstrukcję prętową nazywamy ramą. O sztywności ramy decyduje więc sztywność węzłów. W konstrukcjach ramowych obciążenia powodują głównie zginanie prętów, w kratownicach — głównie rozciąganie lub ściskanie. Można nadmienić, że zgodnie z zasadami omawianymi w kursie statyki, kratownice mogą być obciążane wyłącznie siłami działającymi na węzły kratownicy, natomiast w ramach obciążenia mogą być przykładane również i na długości prętów.

Rozpatrzmy ramę składającą się z dwóch prętów o jednakowej sztywności na zginanie EJ, połączonych sztywno w węźle C. Pod obciążeniem siłą P pręt AC się wygina, a węzeł C obraca się o kąt θ, przy czym styczne do osi prętów w węźle C tworzą nadal kąt prosty.

Przykład obliczania ramy

Reakcje podporowe w przegubach A i B rozkładamy na dwie składowe. Z równania rzutów na oś poziomą sił działających na ramę wynika, że składowe poziome tych reakcji są sobie równe i oznaczamy je H. Mamy więc trzy niewiadome:

H, R_A i R_B, a do dyspozycji pozostały nam tylko dwa równania równowagi, na przykład suma rzutów na oś pionową suma momentów względem punktu A, z których otrzymujemy

Rama pokazana na rysunku jest więc układem jednokrotnie zewnętrznie statycznie niewyznaczalnym' i brakujące równanie otrzymać możemy z warunków (z rozpat­rzenia, z porównania) odkształceń.

W przypadku rozpatrywanej ramy warunek odkształceń wynika z faktu, że węzeł C jest sztywny, a więc prawy koniec rygla (pręta) AC obraca się o kąt θ, równy kątowi obrotu górnego końca słupa (pręta) BC. Aby wyznaczyć wartości liczbowe tych kątów, rozcinamy (w myśli) ramę w węźle C i oddziaływanie jednej części na drugą zastępujemy reakcją o dwóch składowych R_c i H oraz parą sił o momencie M_c ; z równania rzutów dla rygla AC składowa pozioma reakcji w węźle C jest równa H).

Dla rygla AC kąt ugięcia θ, zgodnie z wzorami, wynosi

natomiast dla słupa BC

Z porównania obu powyższych wzorów znajdujemy

Z równania momentów względem punktu C dla słupa BC otrzymujemy

a następnie z równań (a) możemy wyznaczyć pozostałe reakcje: R_A i R_B, co umożliwia sporządzenie dla prętów ramy wykresów sił wewnętrznych, tj. sił normalnych N, sił tnących T i momentów gnących M_g. Wykres momentów gnących pokazano na rysunku. Na wykresie tym momenty gnące powodujące ściskanie zewnętrznych włókien ramy oznaczono jako dodatnie.

W statyce ram i kratownic mogą się zdarzyć układy zewnętrznie statycznie niewyznaczalne i wewnętrz­nie statycznie niewyznaczalne. Tak więc rama pokazana na rysunku jest układem jednokrotnie zewnętrznie statycznie niewyznaczalnym, natomiast — dla przykładu — rama pokazana jest układem zewnętrznie statycznie wyznaczalnym oraz wewnętrznie jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym.

Omówiona wyżej metoda obliczania ram opiera się na wykorzystaniu linii ugięcia belek i zastosowaniu metody superpozycji. Obliczanie ram bardziej złożonych, jak również składających się z prętów zakrzywionych, przeprowadza się na ogół za pomocą metod energetycznych.

Belki na trzech podporach

Belka spoczywająca na trzech podporach, przedstawiona na rys. jest układem jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym. Z uwagi na symetrię układu reakcje R_t na podporach skrajnych są jednakowe, z równań statyki mamy więc tylko jeden warunek: 2R₁ + R_B = 2qa. Za wielkość statycznie niewyznaczalną przyjmujemy reakcję R_B. Do wyznaczenia reakcji wykorzystamy warunek, że ugięcie belki na podporze B jest równe zeru. Zastosujemy metodę superpozycji. Gdyby nie było reakcji R_B, wówczas ugięcie w środku belki wynosiłoby f'_B= -5q(2a)⁴-/(384EJ) . Gdyby z kolei na belkę działała jedynie reakcja R_B, wówczas strzałka ugięcia wynosiłaby f_B = R_B(2a)³/(48EJ). Reakcja R_B musi być tak duża, aby ugięcie belki na podporze B było nadal równe zeru, zatem

stąd

Obliczanie belki na trzech podporach metodą superpozycji

Po wyznaczeniu reakcji podporowych należy wyznaczyć moment gnący w prze­kroju belki określonym współrzędną x, mierzoną np. od punktu A:

M_x = R₁x —
qx² =
qax —
qx².

W przekroju nad podporą B, tj. dla x = a, otrzymujemy

M_B=
qa²-
qa²=-
qa².

Zadanie powyższe możemy również rozwiązać inną metodą, a mianowicie możemy przeciąć (w myśli) belkę AC nad podporą B i oddziaływanie jednej części belki na drugą — z uwagi na symetrię układu — zastąpić jedynie momentem M_B. Ze względu na symetrię kąt nachylenia obu połówek belki na podporze B jest równy zeru, zatem zgodnie ze wzorami podanymi dla belki podpartej na końcach i obciążonej momentem i obciążeniem q piszemy

Stąd otrzymujemy wartość M_B taką jak w wyrażeniu (b).

Stosując metodę superpozycji możemy sporządzić wykres momentów gnących. Gdyby na jedną połowę belki działało tylko obciążenie ciągłe q, wówczas wykres momentów gnących byłby parabolą o maksymalnym momencie

Od momentu M_B= —
qa² wykres momentów gnących ma kształt trójkąta, który rysujemy nad osią odniesienia, gdyż wówczas łatwiej jest odjąć od siebie oba pola. W wyniku otrzymujemy wykres momentów gnących przedstawiony polami zakres-kowanymi na rys. Niewątpliwie wykres ten zgodny jest z otrzymanym poprzednio wzorem .

Omówioną wyżej metodę przecięć zastosujemy do belki na trzech podporach, przedstawionej na rys. Mamy za zadanie sporządzić dla tej belki wykres momentów gnących. Rozcinamy belkę w przekroju podporowym, przykładając moment M_B. Kąt ugięcia θ prawego końca lewej połowy belki wynosi θ= —M_Ba/(3EJ), lewego zaś końca prawej połowy belki θ = — Pa²/(l6EJ) + M_Ba/(3EJ). Z porównania tych kątów (warunek ciągłości) otrzy­mujemy zależność:

stąd

Z równań statyki zastosowanych do każdego z osobna przęsła przedstawionego na rys. znajdujemy

Wykres momentów gnących.

Obliczanie belki na trzech podporach metodą przecięć (na podporze B)

Belki wielopodporowe

Omówiona w poprzednim punkcie metoda wyznaczania momentu podporowego w belce spoczywającej na trzech podporach pozwala w najprostszy sposób roz­wiązywać belki wielopodporowe. Metoda ta polega na wykorzystaniu warunku ciągłości belki, a więc faktu, że na każdej podporze końce linii ugięcia obu sąsiadujących ze sobą przęseł mają wspólną styczną. Z wyjątkiem podpór skrajnych, dla każdej podpory możemy zastosować ten warunek ciągłości i otrzymać tyle równań, ile jest wielkości statycznie niewyznaczalnych, to jest w danym przypadku momentów podporowych. W tym celu belkę wielopodporową rozcinamy (w myśli) na poszczególne przęsła i dla kolejnej podpory oznaczonej numerem n wykorzystujemy warunek, że kąt θ_n, o jaki obróci się prawy koniec lewego

Oznaczenia przyjęte dla belek wieloprzęsłowych

przęsła o długości l_n jest równy kątowi θ_n, o jaki obróci się lewy koniec sąsiedniego prawego przęsła o długości l_n+1 Oba przęsła sąsiadujące z podporą numer n przed­stawiono (po rozcięciu belki) na rysunku. Moment podporowy na podporze n oznaczamy M_n, momenty zaś podporowe na sąsiednich podporach odpowiednio M_n-1 i oraz M_n+1. Równanie wynikające z omówionego wyżej warunku ciągłości belki wyprowadzimy w następnym punkcie.

Równanie trzech momentów

Rozpatrzmy dwa sąsiadujące ze sobą przęsła zawierające podporę numer n belki wieloprzęsłowej. Po rozcięciu (w myśli) każdego przekroju podporowego układ obciążeń działających na rozpatrywane oba kolejne przęsła belki przedstawiony jest na rysunku i powtórzony (przęsło lewe o długości l_n) oraz (przęsło prawe o długości l_n+1). Moment gnący występujący w belce w przekroju nad podporą n oznaczamy M_n.

Z warunku ciągłości belki wynika, że kąt θ_n ugięcia belki na podporze n dla prawego końca przęsła numer n (o długości l_n) jest taki sam, jak kąt θ'_n dla lewego końca przęsła numer n+1 (o długości l_n+1). Zapisując ten warunek w postaci algebraicznej otrzymamy tzw. równanie trzech momentów.

Ponieważ na każdej podporze przecięliśmy (w myśli) belkę i wprowadziliśmy momenty podporowe, przeto każde przęsło możemy traktować jako samodzielną belkę swobodnie podpartą na końcach, obciążoną działającym na dane przęsło obciążeniem rzeczywistym oraz momentami podporowymi przyłożonymi do końców tego przęsła. Tak więc przęsło o długości l_n obciążone jest siłą P, obciążeniem ciągłym q oraz momentami podporowymi M_n-1 oraz M_n. Kąt ugięcia θ_n prawego końca tego przęsła wyznaczymy metodą superpozycji, obliczając najpierw kąt θ_n1 wynikający z działania obciążeń (sił zewnętrznych) przyłożonych bezpośrednio do danego przęsła, a następnie kąt θ_n2, wynikający z działania momentów podporowych:

Wyprowadzenie równania trzech momentów

θ_n =θ_n1 +θ_n2

Kąt θ_n1 obliczymy metodą wykreślno-analityczną znaną z punktu. W myśl tej metody kąt ugięcia θ na podporze jest równy ilorazowi fikcyjnej siły tnącej T_f przez sztywność EJ belki

przy czym fikcyjna siła tnąca T_f jest równa reakcji podporowej powstałej od obciążeń wtórnych, to jest od wykresu momentów gnących traktowanego jako obciążenie wtórne (fikcyjne). Dla przęsła o długości l_n sporządzamy więc wykres momentów gnących od obciążeń rzeczywistych działających bezpośrednio na dane przęsło.

Wartość wypadkowej (równej polu tego wykresu) oznaczamy Ω_n, odległości zaś środka ciężkości pola wykresu od lewej i prawej podpory — odpowiednio a_n oraz b_n. Z warunku równowagi układu przedstawionego na rysunku wyznaczamy reakcję fikcyjną R'_f na prawej podporze przęsła:

Zgodnie z umową dotyczącą znaków sił tnących, siła tnąca T_f przy prawym końcu rozpatrywanego przęsła jest ujemna i wynosi

T_f=-R'_f.

Po podstawieniu zależności otrzymujemy następującą wartość kąta θ_n1 ugięcia prawego końca przęsła:

Kąt ugięcia θ_n2 tegoż końca przęsła, spowodowany działaniem momentów podporo­wych M_nl_n oraz M_n-1l_n wyznaczymy bezpośrednio ze znanych wzorów:

Całkowity kąt ugięcia prawego końca rozpatrywanego przęsła — zgodnie z zależnoś­cią— jest równy sumie obu obliczonych wyżej wartości

Podobne rozważania przeprowadzimy dla prawego przęsła o długości l_n+1, pokazane­go na rys. wyznaczając wypadkową Ω_n+1 pola wykresu momentów gnących od obciążeń rzeczywistych działających na dane przęsło (przy założeniu, że końce przęsła są swobodnie podparte), a następnie reakcję fikcyjną R"_f na lewej podporze tego przęsła:

gdzie b_n+1 jest odległością wypadkowej Ω_n+l od prawej podpory przęsła.

Kąt ugięcia θ'_n1 lewego końca przęsła o długości l_n+1, wynikający z działania obciążeń działających bezpośrednio na dane przęsło, wynosi więc

Końce rozpatrywanego przęsła obciążone są ponadto momentami podporowymi M_n oraz M_n+1 zatem spowodowany tym kąt ugięcia θ'_n2 lewego końca przęsła ma wartość

Całkowity kąt ugięcia θ'_n lewego końca przęsła przedstawionego na rysunkujest sumą wyrażeń i wynosi

Z warunku ciągłości belki na podporze wynika, że θ_n = θ'_n z porównania wzorów mamy więc

Stąd otrzymujemy wspomniany we wstępie związek zwany równaniem trzech

momentów:

W powyższym równaniu Ω_n oznacza pole wykresu momentów gnących od obciążeń działających na dane przęsło przy założeniu, że przęsło to jest wycięte z danej belki i swobodnie podparte na obu końcach, natomiast a_n oraz b_n oznaczają odległości środka ciężkości pola tegoż wykresu momentów gnących odpowiednio od lewego i prawego końca przęsła.

Obliczanie belek za pomocą równania trzech momentów

Tok postępowania przy obliczaniu belek statycznie niewyznaczalnych za pomocą równania trzech momentów pokażemy na dwóch przykładach.

Przecinamy belkę na podporze B i każde przęsło rysujemy oddzielnie, zaznaczając wektory sił czynnych (obciążeń) i reakcji. Dla sił czynnych działających na każde przęsło sporządzamy wykresy momentów gnących (siłą czynną jest tu tylko siła P). Dla przęsła BC swobodnie podpartego na obu końcach wykres momentów gnących ma kształt trójkąta o wysokości
Pb, a zatem pole wykresów momentów gnących dla tego przęsła wynosi

₂ =
Pb
2b

=
Pb².

Na przęsło AB nie działa żadna siła czynna, a więc Q₁ = 0. Do równania trzech momentów podstawiamy więc następujące wartości:

Ilustracja do przykładu pierwszego

a_n=0 b_n+1=b

i otrzymujemy

Stąd

Z warunków równowagi przęsła AB i BC znajdujemy

Dla a =
b otrzymujemy M₂=-
Pb; R_A=-
P, R_B =
P; R_c =
P. Dla tych wartości wykresy T i M_g pokazano na rysunku.

Wykonamy teraz wykres sił tnących i momentów gnących dla belki pokazanej na rys.

Aby rozwiązać to zadanie za pomocą równania trzech momentów, zastąpimy utwierdzenie dodatkowym nieobciążonym przęsłem o długości l₂ = 0, przez co spełniony będzie warunek wyrażony wzorem , że kąt θ'_n na lewym końcu dodatkowego przęsła jest równy zeru. Dla przęsła lewego pole wykresu momentów gnących wynosi

Zastępowanie utwierdzenia dodatkowym przęsłem przy stosowaniu równania trzech momentów - przykład drugi.

równania trzech momentów podstawiamy dane:

i otrzymujemy

Stąd

Wykres momentów gnących przedstawiono na rysunku. Reakcje podporowe wynoszą

---