MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

1

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

Z2/11.1. Zadanie 11

Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-

bowego przedstawionego na rysunku Z2/11.1.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

Rys. Z2/11.1. Układ trójprzegubowy

Z2/11.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego

Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).

Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony

warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.

Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z2/11.1 spełnia warunek konieczny i

dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie
wyznaczalnym.

Z2/11.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego

W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej

musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
przedstawia rysunek Z2/11.2.

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym A najwygodniej możemy wyznaczyć z równania

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu C. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w
przegubie rzeczywistym A ma więc wartość

 M

C

=V

A

⋅9,0−12,0⋅7,0−8,0⋅3,0−16,0⋅2,0−6,0⋅4,0=0

V

A

=18,22 kN

(Z2/11.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

2

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

V

A

H

A

H

C

V

C

[m]

X

Y

I

II

Rys. Z2/11.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

V

A

H

A

[m]

X

Y

V

B

(I)

H

B

(I)

I

Rys. Z2/11.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I

Pionową składową reakcji w przegubie rzeczywistym C najwygodniej możemy wyznaczyć z równania

sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem punktu A. Dodatni
moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pionowa składowa reakcji w
przegubie rzeczywistym C ma więc wartość

 M

A

=−V

C

⋅9,012,0⋅2,0−8,0⋅3,016,0⋅7,0−6,0⋅4,0=0

V

C

=9,778 kN

(Z2/11.2)

Obie pionowe składowe reakcji w przegubach A i C mają więc zwroty zgodne z przyjętymi na

początku obliczeń. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na cały układ trójprzegubowy na oś pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze
zwrotem osi Y. Równanie to ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

3

 Y

=

V

A



V

C

−

12,0

−

16,0

=

18,22



9,778

−

28,0

=−

0,002

≈

0

.

(Z2/11.3)

Równanie równowagi (Z2/11.3) zostało spełnione możemy więc stwierdzić, że pionowe składowe reakcji w
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/11.3 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na

tarczę sztywną numer I. Poziomą składową reakcji w przegubie A wyznaczymy z równania sumy momentów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu B. Dodatni moment będzie jak
wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym
A ma więc wartość

 M

B



I



=−H

A

⋅5,0V

A

⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

−H

A

⋅5,018,22⋅4,08,0⋅2,0−12,0⋅2,0=0

H

A

=12,98 kN

.

(Z2/11.4)

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

H

C

V

C

[m]

X

Y

II

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/11.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II

B

V

B

(I)

H

B

(I)

V

B

(II)

H

B

(II)

Rys. Z2/11.5. Założone zwroty reakcji w przegubie rzeczywistym B

Rysunek Z2/11.4 przedstawia założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na

tarczę sztywną numer II. Zwroty składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B wynikają z założonych
reakcji działających w przegubie rzeczywistym B przedstawionych na rysunku Z2/11.5.

Poziomą składową reakcji w przegubie C wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na tarczę sztywną numer II względem punktu B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił
zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Pozioma składowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma więc
wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

4

 M

B



II



=H

C

⋅5,0−V

C

⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

⋅5,0−9,778⋅5,016,0⋅3,06,0⋅1,0=0

H

C

=−1,022 kN

.

(Z2/11.5)

Pozioma składowa reakcji w przegubie A ma zwrot zgodny z założonym natomiast pozioma składowa

reakcji w przegubie C ma zwrot przeciwny do założonego. W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy rów-
nanie sumy rzutów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy na oś poziomą X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Równanie to, zgodnie z rysunkiem Z2/11.2, ma postać

 X =H

A

−H

C

−8,0−6,0=12,98−



−1,022



−14,0=0,002≈0

.

(Z2/11.6)

Równanie równowagi (Z2/11.6) zostało spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome składowe reakcji w
przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/11.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach

rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na obie tarcze sztywne znajdują się
w równowadze.

A

B

C

2,0

2,0

3,0

2,0

1,

0

4,

0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

16,0 kN

6,0 kN

[m]

I

II

18,22 kN

9,778 kN

12,98 kN

1,022 kN

Rys. Z2/11.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C

Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/11.3 składowa ta ma wartość

 X

I 

=−

H

B

I 



H

A

−

8,0

=

0

−

H

B

I 



12,98

−

8,0

=

0

H

B

I 

=

4,98 kN

.

(Z2/11.7)

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I

zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/11.3 składowa ta ma wartość

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

5

 Y



I



=V

B



I



V

A

−12,0=0

V

B



I



18,22−12,0=0

V

B



I



=−6,22kN

.

(Z2/11.8)

Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa

reakcji w przegubie B ma zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z2/11.7 przedstawia prawidłowe zwroty
składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer I.

A

B

2,0

2,0

2,

0

3,

0

8,0 kN

12,0 kN

I

18,22 kN

12,98 kN

4,98 kN

6,22 kN

B

C

3,0

2,0

1,

0

4,

0

16,0 kN

6,0 kN

[m]

II

9,778 kN

1,022 kN

6,22 kN

4,98 kN

Rys. Z2/11.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C

Składowe reakcji w przegubie B działające na tarczę sztywną numer II mają takie same wartości ale

przeciwne zwroty jak te same składowe działające na tarczę sztywną numer I. Wynika to bezpośrednio z
równowagi założonych zwrotów składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B przedstawionych na
rysunku Z2/11.5. Możemy więc napisać, że

H

B

II 

=

H

B

I 

=

4,98 kN

,

(Z2/11.9)

V

B



II



=V

B



I



=−6,22 kN

.

(Z2/11.10)

W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów

wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/11.4 równanie sumy rzutów na
oś X ma postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z2/11. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 11

6

 X



II



=H

B



II



−H

C

−6,0=4,98−



−1,022



−6,0=0,002≈0

.

(Z2/11.11)

Zgodnie z rysunkiem Z2/11.4 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać

 Y



II



=−V

B



II



V

C

−16,0=−



−6,22



9,778−16,0=−0,002≈0

.

(Z2/11.12)

Równania równowagi (Z2/11.11) i (Z2/11.12) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.

Rysunek Z2/11.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach

rzeczywistych A, B i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na każdą z tarcz sztywnych
znajdują się w równowadze.

Rysunek Z2/11.8 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji działających w

przegubie rzeczywistym B.

B

6,22 kN

4,98 kN

6,22 kN

4,98 kN

Rys. Z2/11.8. Składowe reakcji działających w przegubie rzeczywistym B

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni