Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
1
Logika
Zakład Kognitywistyki
Instytut Psychologii
Smugowa 10/12, pok.314
poniedziałki, godz. 16
30
-17
30
i 19
00
-20
00
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
1
Logika
Zakład Kognitywistyki
Instytut Psychologii
Smugowa 10/12, pok.314
poniedziałki, godz. 16
30
-17
30
i 19
00
-20
00
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
2
WYKŁAD 5: nazwa (c.d.), funktor, operator
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
3
Funktor
Funktor jest wyrażeniem wiążącym wyrażenia. Umożliwia więc tworzenie wyrażeń
złożonych z wyrażeń prostszych.
Funktory mogą służyć do tworzenia nazw, zdań oraz innych funktorów. Mamy
wówczas, odpowiednio, funktory nazwotwórcze, zdaniotwórcze i funktorotwórcze.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
4
Funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych (spójniki) dzielimy na
ekstensjonalne i intensjonalne.
Spójnik jest ekstensjonalny (prawdziwościowy), gdy wartość logiczna zdania
złożonego, którego jest on głównym funktorem, zależy wyłącznie od wartości
logicznych zdań będących argumentami tego spójnika.
Spójnik intensjonalny (nieprawdziwościowy) jest to spójnik, który nie jest
ekstensjonalny.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
5
I.a. Spójniki ekstensjonalne
(interpretacja dwuwartościowa)
Asercją nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest „prawdą jest, że...” (A).
Asercja Ap ma tę samą wartość logiczną co zdanie p.
Negacją nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest „nieprawda, że...” ( ).
Negacja p jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe. Stwierdzenie
to jest równoważne następującemu: negacja p jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy
zdanie p jest prawdziwe.
Koniunkcją (negacją dysjunkcji) nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest
„...i...” ( ).
Koniunkcja p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p i q są prawdziwe.
Stwierdzenie to jest równoważne następującemu: koniunkcja p q jest fałszywa wtedy i
tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe.
Alternatywą (negacją binegacji) nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest
„...lub...” ( ).
Alternatywa p q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p i q są fałszywe.
Stwierdzenie to jest równoważne następującemu: alternatywa p q jest prawdziwa wtedy
i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
6
Alternatywą rozłączną (negacją równoważności) nazywamy zdanie złożone, którego głównym
funktorem jest „albo,...albo...” ( ).
Alternatywa rozłączna p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p i q mają
różne wartości logiczne. Stwierdzenie to jest równoważne następującemu: alternatywa
rozłączna p q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p i q mają tę samą wartość
logiczną.
Dysjunkcją (negacją koniunkcji) nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest
„co najwyżej... lub...” (/).
Dysjunkcja p / q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p i q są prawdziwe.
Stwierdzenie to jest równoważne następującemu: dysjunkcja p / q jest prawdziwa wtedy i
tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań p i q jest fałszywe.
Binegacją (negacją alternatywy) nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest
„ani,... ani...” ( ).
Binegacja p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p i q są fałszywe.
Stwierdzenie to jest równoważne następującemu: binegacja p q jest fałszywa wtedy i
tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań p i q jest prawdziwe.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
7
Implikacją nazywamy zdanie złożone, którego głównym funktorem jest „jeżeli..., to...” ( ).
Implikacja p
q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik p jest zdaniem
prawdziwym a jej następnik q jest zdaniem fałszywym. Stwierdzenie to jest równoważne
następującemu: implikacja p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik
p jest zdaniem fałszywym lub jej następnik q jest zdaniem prawdziwym.
Równoważnością (negacją alternatywy rozłącznej) nazywamy zdanie złożone, którego głównym
funktorem jest „...wtedy i tylko wtedy, gdy...” ( ).
Równoważność p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p i q mają tę samą
wartość logiczną. Stwierdzenie to jest równoważne następującemu: równoważność p q
jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p i q mają różne wartości logiczne.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
8
Symbolicznie:
p
q
Ap
p
p q
p q
p q
p / q
p q
p
q p
q
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
as
e
rc
ja
negac
ja
koni
un
kc
ja
alte
rnaty
wa
alte
rnaty
wa
rozłąc
zna
dys
ju
nkc
ja
bi
negac
ja
impl
ika
cja
równ
ow
ażn
ość
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
9
I.b. Spójniki ekstensjonalne
(interpretacja trójwartościowa)
S.C. Kleene (1938)
u - nieznana wartość logiczna (unknown)
p
q
p
p q
p q
p
q p
q
1
1
0
1
1
1
1
1
u
0
u
1
u
u
1
0
0
0
1
0
0
u
1
u
u
1
1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
0
u
0
u
u
u
0
1
1
0
1
1
0
0
u
1
0
u
1
u
0
0
1
0
0
1
1
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
10
D.A. Bochwar (1938)
n - bezsens (nonsense)
p
q
p
p q
p q
p
q p
q
1
1
0
1
1
1
1
1
n
0
n
n
n
n
1
0
0
0
1
0
0
n
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
n
n
n
n
n
0
1
1
0
1
1
0
0
n
1
n
n
n
n
0
0
1
0
0
1
1
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
11
II. Spójniki intensjonalne
Wartość logiczna zdań złożonych, których głównym funktorem jest spójnik intensjonalny nie
zależy wyłącznie od wartości logicznych zdań będących argumentami tego funktora, ale również
od czynników dodatkowych. Czynniki te interpretując rzeczywistość, wnoszą pewną
pozalogiczną treść (intensio = treść).
Przykłady
„jest możliwe, że ...”
„jest konieczne, że ...”
„jest sprawiedliwe, aby...”
„... dlatego, że ...”
„... wie, że ...”
„... wierzy, że ...”
„... podczas, gdy ...”
„powinnością... jest,...”
„... jest zobowiązany, aby ...”
„jest zakazane, aby ...”