Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
1
Logika
WYKŁAD 7: wynikanie, wynikanie logiczne
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
1
Logika
WYKŁAD 7: wynikanie, wynikanie logiczne
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
2
Definicja wynikania logicznego
1. Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja
Z
W
jest prawdą logiczną. Symbolicznie
Z
|
W
.
Z to przesłanka (założenie), zaś W to wniosek.
2. Zdanie W wynika logicznie ze zdań Z
1
,...,Z
n
(ze zbioru zdań {Z
1
,...,Z
n
}) wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z
1
... Z
n
)
W
jest prawdą logiczną. Symbolicznie
{Z
1
,...,Z
n
}
|
W
.
Z
1
,...,Z
n
to przesłanki (założenia), zaś W to wniosek.
3.
Zbiór zdań {W
1
,...,W
k
} wynika logicznie ze zbioru zdań {Z
1
,...,Z
n
} wtedy i tylko
wtedy, gdy implikacja
(Z
1
... Z
n
)
(W
1
... W
k
)
jest prawdą logiczną. Symbolicznie
{Z
1
,...,Z
n
}
|
{W
1
,...,W
k
}
.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
3
Wnioskowanie dedukcyjne (dedukcja) to wnioskowanie, w którym wniosek wynika
logicznie z przesłanek.
Wnioskowanie niezawodne to takie, które od prawdziwych przesłanek zawsze
prowadzi do prawdziwych wniosków. Dedukcja jest wnioskowaniem niezawodnym.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
4
Zadanie 1. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Deszcz pada”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy p
q jest tautologią?
p
q
0
- założenie dowodu nie wprost
1 0
Schemat ten nie jest tautologią, gdyż istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym:
p/ 1, q/0
(deszcz pada a mimo to ulice nie są mokre,
np. z powodu ich zadaszenia - konstrukcja możliwego świata)
Zatem zdanie q nie wynika ze zdania p (oczywiście!).
Uwaga: W świecie, w którym żadna ulica nie jest zadaszona, zdanie „Ulice są mokre” wynika ze
zdania „Deszcz pada”. Nie jest to jednak wynikanie logiczne, lecz wynikanie przyczynowo-
skutkowe, ustalone na mocy wiedzy o świecie.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
5
Zadanie 2. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Jeśli deszcz pada, to ulice
są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p
q)
q jest tautologią?
(p
q)
q
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
0
- przepisujemy wartość q
4
0
Schemat (p
q)
q nie jest tautologią, gdyż istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/0, q/0. Zatem, zdanie q nie wynika logicznie ze zdania p q
(oczywiście!). Zdanie „Ulice są mokre” nie wynika logicznie ze zdania wyrażającego jedynie
zależność tego, że ulice są mokre od tego, że deszcz pada. Sam związek nie wystarcza, bo w
świecie bez zadaszonych ulic związek ten jest prawdziwy zawsze, a więc i wtedy, gdy deszcz
nie pada.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
6
Zadanie 3. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdań „Deszcz pada” oraz „Jeśli
deszcz pada, to ulice są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy (p (p
q))
q jest tautologią?
(p (p
q))
q
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
1
4
1
0
- przepisujemy wartości p i q
5
0
- sprzeczność
Schemat (p (p
q))
q jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p q}.
Symbolicznie:
{p, p
q} | q.
Jest to reguła odrywania (Modus Ponens).
p, p
q
(inny zapis)
q
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
7
Zadanie 4. Czy zdanie „Nieprawda, że deszcz pada” wynika logicznie ze zdań „Nieprawda, że
ulice są mokre” oraz „Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre”?
p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre
Zatem, czy ( q (p
q))
p jest tautologią?
( q (p
q))
p
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
1
1
4
0
5
1
0
- przepisujemy wartości p i q
6
0
- sprzeczność
Schemat ( q (p
q))
p jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań { q, p q}. Symbolicznie:
{ q, p
q} | p.
Jest to reguła Modus Tollens.
q, p
q
(inny zapis)
p
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
8
Zadanie 5. Czy zdanie „Jestem w czytelni” wynika logicznie ze zdań „Jestem w czytelni lub w
katalogach” oraz „Nieprawda, że jestem w katalogach”?
p - Jestem w czytelni
q - Jestem w katalogach
Zatem, czy ((p q) q)
p jest tautologią?
((p q) q)
p
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
1
4
0
5
0 0
- przepisujemy wartości p i q
6
0
- sprzeczność
Schemat ((p q) q)
p jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p q, q}. Symbolicznie:
{(p q), q} | p.
Jest to reguła odłączania alternatywy.
p q, q
(inny zapis)
p q, p
(także)
p
q
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
9
Zadanie 6. Czy zdanie „Jan ma tysiąc dolarów lub Jan ma tysiąc złotych” wynika logicznie ze
zdania „Jan ma tysiąc dolarów”?
p - Jan ma tysiąc dolarów
q - Jan ma tysiąc złotych
Zatem, czy p
(p q) jest tautologią?
p
(p q)
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
- przepisujemy wartość p
4
1
- sprzeczność
Schemat p
(p q) jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {(p q), q}.
Symbolicznie:
{p} | p q (p | p q).
Jest to reguła dołączania alternatywy.
p
(inny zapis)
q
(także)
p
q
p
q
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
10
Zadanie 7. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdania „Jan jest
złodziejem”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy p
(p q) jest tautologią?
p
(p q)
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
1
- przepisujemy wartość p
4
0
Schemat p
(p q) nie jest tautologią, gdyż istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym: p/1, q/0 (świat, w którym Jan jest złodziejem i nie jest mordercą). Zatem,
zdanie p q nie wynika logicznie ze zdania p.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
11
Zadanie 8. Czy zdanie „Jan jest złodziejem” wynika logicznie ze zdania „Jan jest złodziejem i
mordercą”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy (p q)
p jest tautologią?
( p q) p
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
0
3
0
- przepisujemy wartość p
4
0
- sprzeczność
Schemat (p q)
p jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on
zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zdania p q:
reguła odłączania koniunkcji:
{p q} | p (p q | p).
p q
(inny zapis)
p q
(także)
p
q
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
12
Zadanie 9. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdań „Jan jest
złodziejem” i „Jan jest mordercą”?
p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą
Zatem, czy (p q)
p q jest tautologią? Oczywiście, że TAK.
Zatem, zdanie p q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, q}:
reguła dołączania koniunkcji:
{p, q} | p q.
p, q
(inny zapis)
p
q
Fakt ten można dowodzić w oparciu o sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny:
p
(q
(p q)).
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
13
Zadanie 10. Niżej przypomniany dowcip z PRL-u jest dowodem na to, że posługujemy się
logiką (rozumiemy logikę), bez względu na to, czy logikę lubimy, czy nie
Student kupił książkę do logiki i przed księgarnią spotkał kolegę ze szkoły podstawowej, który obecnie jest milicjantem.
M(ilicjant): Co to za książka?
S(tudent): Do logiki.
M: Co to jest logika?
S: To nauka o poprawnym myśleniu.
M: Jakie myślenie jest poprawne?
S: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M: Tak.
S: Skoro masz akwarium, to lubisz rybki.
M: Tak!
S: Skoro lubisz rybki, to lubisz wypić.
M: Tak!
S: Skoro lubisz wypić, to lubisz dziewczyny.
M: Zgadza się! Fantastyczna jest ta logika! Też kupię tę książkę!
Gdy milicjant wrócił na komendę z książką do logiki, kolega milicjant pyta go
M2: Co to za książka?
M: Do logiki.
M2: Co to jest logika?
M: To nauka o poprawnym myśleniu.
M2: Jakie myślenie jest poprawne?
M: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?
M2: Nie.
M: To ty jesteś gejem!
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
14
Analiza logiczna dowcipu:
p - M ma akwarium; q - M lubi rybki; s - M lubi wypić; r - M lubi dziewczyny
A. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p
q, q
s, s
r}? TAK, bo:
(p
(p
q)
(q
s)
(s
r))
r
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
1
1
1
0 - patrz przypis
3
1
0
- przepisujemy wartości p i r
4
1
5
1
- przepisujemy wartość q
6
1
7
1
- przepisujemy wartość s
8
0
- sprzeczność
B. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań { p, p
q, q
s, s
r}? NIE, bo:
( p
(p
q)
(q
s)
(s
r))
r
1
0
- założenie dowodu nie wprost
2
1
1
1
1
0 - patrz przypis
3
0
1
4
0
1
- przepisujemy wartości p i r
5
0
0
0
0
- przypisujemy wartość fałszu zdaniom q i s
Podstawienie obalające: p/0, q/0, s/0, r/1.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
15
Niezbędny komentarz do powyższej analizy.
Oczywiście, to tylko dowcip, więc nie każde ze zdań p q, q s, s r musi być
uznane za prawdziwe!
Ponadto, ma tu miejsce błąd ekwiwokacji:
zamiast jednego zdania q, powinny być dwa różne zdania q
1
oraz q
2
- w innym
znaczeniu lubi się rybki, hodując je w akwarium, w innym zaś, gdy się je traktuje jako
zakąskę.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
16
tautologie KRZ
r
eguły KRZ
p p
| p p
prawdy logiczne zawsze można
dodać do przesłanek*
(p p)
| (p p)
p
p
p | |
p
p
p
((p
q) (q
p))
(p
q)
{p
q, q
p} | p
q
p
q, q
p
p
q
(p
q)
((p
q) (q
p))
{p
q} | (p
q) (q
p)
p
q
(p
q) (q
p)
(p
q)
(q p)
p
q | | q p
p
q
q p
(p
q)
( q
p)
p
q | | q
p
p
q
q
p
p
( p
q)
{p, p} | q
p, p
q
(p q)
( p q)
(p q) | | p q
(p q)
p q
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
17
(p q)
( p q)
(p q) | | p q
(p q)
p q
(p
q)
(p q)
(p
q) | | p q
(p
q)
p q
((p
q) (q
s) p)
s
{p
q, q
s, p} | s
p
q, q
s, p
s
((p
q) (q
s))
( s
p)
{p
q, q
s, s} | p
p
q, q
s, s
p
W powyższej tabeli podwójna kreska w ułamku wyrażającym regułę oznacza, że ułamek ten wyraża dwie
reguły: w jednej licznik jest przesłanką, a mianownik wnioskiem, w drugiej mianownik jest przesłanką, a
licznik wnioskiem.
*Wniosek
Zatem, w szczególności, jeśli jakieś zdanie wynika ze zbioru pustego, to wynika z
każdego zbioru przesłanek, bo zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze przesłanek.
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
18
Elementy Klasycznej Logiki Kwantyfikatorów
x, y, z - zmienne nazwowe
- kwantyfikator ogólny „dla każdego...”
- kwantyfikator szczegółowy „dla pewnego...”, „istnieje... takie, że...”
P(x), Q(y) - formuły jednej zmiennej (wyrażają własności)
P(x,y), Q(y,z) - formuły dwóch zmiennych (wyrażają relacje, związki)
P(x,y,x), Q(y,z,x) - formuły trzech zmiennych (wyrażają relacje, związki)
„ x P(x)” czytamy „dla każdego x, P(x)”
„ x P(x)” czytamy „dla pewnego x, P(x)” lub „istnieje x takie, że P(x)”
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
19
Negacja zdań skwantyfikowanych:
x P(x)
x P(x)
x P(x)
x P(x)
Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki
20
Zadanie: Jak brzmi zaprzeczenie zdania:
1. Każdy psycholog kiedyś pomoże jakiemuś pacjentowi.
2. Żaden pedagog nigdy nie zrezygnuje z zawodu.
3. Pewien nauczyciel wystawił kiedyś [jakąś] niesprawiedliwą ocenę.
1. x Ps y T z Pc Pom(x,y,z)
x Ps y T z Pc Pom(x,y,z)
x Ps y T z Pc Pom(x,y,z)
Odp: Pewien psycholog nigdy nie pomoże żadnego pacjentowi.
2. x Ped y T z Zaw Z(x,y,z)
x Ped y T z Zaw Z(x,y,z)
x Pedr y T z Zaw Z(x,y,z)
Odp: Pewien pedagog kiedyś zrezygnuje z zawodu.
3. x N y T z NO Wys(x,y,z)
x N y T z NO Wys(x,y,z)
x N y T z NO Wys(x,y,z)
Odp: Żaden nauczyciel nigdy nie wystawił [żadnej] niesprawiedliwej oceny.