Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

1

Logika

WYKŁAD 7: wynikanie, wynikanie logiczne

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

2

Definicja wynikania logicznego

1. Zdanie W wynika logicznie ze zdania Z, wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja

Z

W

jest prawdą logiczną. Symbolicznie

Z

|

W

.

Z to przesłanka (założenie), zaś W to wniosek.

2. Zdanie W wynika logicznie ze zdań Z

1

,...,Z

n

(ze zbioru zdań {Z

1

,...,Z

n

}) wtedy i tylko

wtedy, gdy implikacja

(Z

1

... Z

n

)

W

jest prawdą logiczną. Symbolicznie

{Z

1

,...,Z

n

}

|

W

.

Z

1

,...,Z

n

to przesłanki (założenia), zaś W to wniosek.

3.

Zbiór zdań {W

1

,...,W

k

} wynika logicznie ze zbioru zdań {Z

1

,...,Z

n

} wtedy i tylko

wtedy, gdy implikacja

(Z

1

... Z

n

)

(W

1

... W

k

)

jest prawdą logiczną. Symbolicznie

{Z

1

,...,Z

n

}

|

{W

1

,...,W

k

}

.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

3

Wnioskowanie dedukcyjne (dedukcja) to wnioskowanie, w którym wniosek wynika
logicznie z przesłanek.

Wnioskowanie niezawodne to takie, które od prawdziwych przesłanek zawsze
prowadzi do prawdziwych wniosków. Dedukcja jest wnioskowaniem niezawodnym.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

4

Zadanie 1. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Deszcz pada”?

p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre

Zatem, czy p

q jest tautologią?

p

q

0

- założenie dowodu nie wprost

1 0

Schemat ten nie jest tautologią, gdyż istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem
fałszywym:

p/ 1, q/0

(deszcz pada a mimo to ulice nie są mokre,

np. z powodu ich zadaszenia - konstrukcja możliwego świata)

Zatem zdanie q nie wynika ze zdania p (oczywiście!).

Uwaga: W świecie, w którym żadna ulica nie jest zadaszona, zdanie „Ulice są mokre” wynika ze
zdania „Deszcz pada”. Nie jest to jednak wynikanie logiczne, lecz wynikanie przyczynowo-
skutkowe, ustalone na mocy wiedzy o świecie.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

5

Zadanie 2. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdania „Jeśli deszcz pada, to ulice
są mokre”?

p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre

Zatem, czy (p

q)

q jest tautologią?

(p

q)

q

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

0

- przepisujemy wartość q

4

0

Schemat (p

q)

q nie jest tautologią, gdyż istnieje podstawienie przy którym staje się on

zdaniem fałszywym: p/0, q/0. Zatem, zdanie q nie wynika logicznie ze zdania p q
(oczywiście!). Zdanie „Ulice są mokre” nie wynika logicznie ze zdania wyrażającego jedynie
zależność tego, że ulice są mokre od tego, że deszcz pada. Sam związek nie wystarcza, bo w
świecie bez zadaszonych ulic związek ten jest prawdziwy zawsze, a więc i wtedy, gdy deszcz
nie pada.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

6

Zadanie 3. Czy zdanie „Ulice są mokre” wynika logicznie ze zdań „Deszcz pada” oraz „Jeśli
deszcz pada, to ulice są mokre”?

p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre

Zatem, czy (p (p

q))

q jest tautologią?

(p (p

q))

q

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

1

1

4

1

0

- przepisujemy wartości p i q

5

0

- sprzeczność

Schemat (p (p

q))

q jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem

fałszywym. Zatem, zdanie q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p q}.
Symbolicznie:

{p, p

q} | q.

Jest to reguła odrywania (Modus Ponens).

p, p

q

(inny zapis)

q

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

7

Zadanie 4. Czy zdanie „Nieprawda, że deszcz pada” wynika logicznie ze zdań „Nieprawda, że
ulice są mokre” oraz „Jeśli deszcz pada, to ulice są mokre”?

p - Deszcz pada
q - Ulice są mokre

Zatem, czy ( q (p

q))

p jest tautologią?

( q (p

q))

p

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

1

1

1

4

0

5

1

0

- przepisujemy wartości p i q

6

0

- sprzeczność

Schemat ( q (p

q))

p jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on

zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań { q, p q}. Symbolicznie:

{ q, p

q} | p.

Jest to reguła Modus Tollens.

q, p

q

(inny zapis)

p

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

8

Zadanie 5. Czy zdanie „Jestem w czytelni” wynika logicznie ze zdań „Jestem w czytelni lub w
katalogach” oraz „Nieprawda, że jestem w katalogach”?

p - Jestem w czytelni
q - Jestem w katalogach

Zatem, czy ((p q) q)

p jest tautologią?

((p q) q)

p

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

1

1

4

0

5

0 0

- przepisujemy wartości p i q

6

0

- sprzeczność

Schemat ((p q) q)

p jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on zdaniem

fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p q, q}. Symbolicznie:

{(p q), q} | p.

Jest to reguła odłączania alternatywy.

p q, q

(inny zapis)

p q, p

(także)

p

q

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

9

Zadanie 6. Czy zdanie „Jan ma tysiąc dolarów lub Jan ma tysiąc złotych” wynika logicznie ze
zdania „Jan ma tysiąc dolarów”?

p - Jan ma tysiąc dolarów
q - Jan ma tysiąc złotych

Zatem, czy p

(p q) jest tautologią?

p

(p q)

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

1

- przepisujemy wartość p

4

1

- sprzeczność

Schemat p

(p q) jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on

zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {(p q), q}.
Symbolicznie:

{p} | p q (p | p q).

Jest to reguła dołączania alternatywy.

p

(inny zapis)

q

(także)

p

q

p

q

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

10

Zadanie 7. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdania „Jan jest
złodziejem”?

p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą

Zatem, czy p

(p q) jest tautologią?

p

(p q)

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

1

- przepisujemy wartość p

4

0

Schemat p

(p q) nie jest tautologią, gdyż istnieje podstawienie przy którym staje się on

zdaniem fałszywym: p/1, q/0 (świat, w którym Jan jest złodziejem i nie jest mordercą). Zatem,
zdanie p q nie wynika logicznie ze zdania p.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

11

Zadanie 8. Czy zdanie „Jan jest złodziejem” wynika logicznie ze zdania „Jan jest złodziejem i
mordercą”?

p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą

Zatem, czy (p q)

p jest tautologią?

( p q) p

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

0

3

0

- przepisujemy wartość p

4

0

- sprzeczność

Schemat (p q)

p jest tautologią, gdyż nie istnieje podstawienie przy którym staje się on

zdaniem fałszywym. Zatem, zdanie p wynika logicznie ze zdania p q:

reguła odłączania koniunkcji:

{p q} | p (p q | p).

p q

(inny zapis)

p q

(także)

p

q

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

12

Zadanie 9. Czy zdanie „Jan jest złodziejem i mordercą” wynika logicznie ze zdań „Jan jest
złodziejem” i „Jan jest mordercą”?

p - Jan jest złodziejem
q - Jan jest mordercą

Zatem, czy (p q)

p q jest tautologią? Oczywiście, że TAK.

Zatem, zdanie p q wynika logicznie ze zbioru zdań {p, q}:

reguła dołączania koniunkcji:

{p, q} | p q.

p, q

(inny zapis)

p

q

Fakt ten można dowodzić w oparciu o sylogizm hipotetyczny bezkoniunkcyjny:

p

(q

(p q)).

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

13

Zadanie 10. Niżej przypomniany dowcip z PRL-u jest dowodem na to, że posługujemy się
logiką (rozumiemy logikę), bez względu na to, czy logikę lubimy, czy nie 

Student kupił książkę do logiki i przed księgarnią spotkał kolegę ze szkoły podstawowej, który obecnie jest milicjantem.

M(ilicjant): Co to za książka?

S(tudent): Do logiki.

M: Co to jest logika?

S: To nauka o poprawnym myśleniu.

M: Jakie myślenie jest poprawne?

S: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?

M: Tak.

S: Skoro masz akwarium, to lubisz rybki.

M: Tak!

S: Skoro lubisz rybki, to lubisz wypić.

M: Tak!

S: Skoro lubisz wypić, to lubisz dziewczyny.

M: Zgadza się! Fantastyczna jest ta logika! Też kupię tę książkę!

Gdy milicjant wrócił na komendę z książką do logiki, kolega milicjant pyta go

M2: Co to za książka?

M: Do logiki.

M2: Co to jest logika?

M: To nauka o poprawnym myśleniu.

M2: Jakie myślenie jest poprawne?

M: Wyjaśnię ci na przykładzie. Masz akwarium?

M2: Nie.

M: To ty jesteś gejem!

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

14

Analiza logiczna dowcipu:

p - M ma akwarium; q - M lubi rybki; s - M lubi wypić; r - M lubi dziewczyny

A. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań {p, p

q, q

s, s

r}? TAK, bo:

(p

(p

q)

(q

s)

(s

r))

r

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

1

1

1

0 - patrz przypis

3

1

0

- przepisujemy wartości p i r

4

1

5

1

- przepisujemy wartość q

6

1

7

1

- przepisujemy wartość s

8

0

- sprzeczność

B. Czy zdanie r wynika logicznie ze zbioru zdań { p, p

q, q

s, s

r}? NIE, bo:

( p

(p

q)

(q

s)

(s

r))

r

1

0

- założenie dowodu nie wprost

2

1

1

1

1

0 - patrz przypis

3

0

1

4

0

1

- przepisujemy wartości p i r

5

0

0

0

0

- przypisujemy wartość fałszu zdaniom q i s

Podstawienie obalające: p/0, q/0, s/0, r/1.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

15

Niezbędny komentarz do powyższej analizy.

Oczywiście, to tylko dowcip, więc nie każde ze zdań p q, q s, s r musi być
uznane za prawdziwe!

Ponadto, ma tu miejsce błąd ekwiwokacji:
zamiast jednego zdania q, powinny być dwa różne zdania q

1

oraz q

2

- w innym

znaczeniu lubi się rybki, hodując je w akwarium, w innym zaś, gdy się je traktuje jako
zakąskę.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

16

tautologie KRZ

r

eguły KRZ

p p

| p p

prawdy logiczne zawsze można

dodać do przesłanek*

(p p)

| (p p)

p

p

p | |

p

p

p

((p

q) (q

p))

(p

q)

{p

q, q

p} | p

q

p

q, q

p

p

q

(p

q)

((p

q) (q

p))

{p

q} | (p

q) (q

p)

p

q

(p

q) (q

p)

(p

q)

(q p)

p

q | | q p

p

q

q p

(p

q)

( q

p)

p

q | | q

p

p

q

q

p

p

( p

q)

{p, p} | q

p, p

q

(p q)

( p q)

(p q) | | p q

(p q)

p q

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

17

(p q)

( p q)

(p q) | | p q

(p q)

p q

(p

q)

(p q)

(p

q) | | p q

(p

q)

p q

((p

q) (q

s) p)

s

{p

q, q

s, p} | s

p

q, q

s, p

s

((p

q) (q

s))

( s

p)

{p

q, q

s, s} | p

p

q, q

s, s

p

W powyższej tabeli podwójna kreska w ułamku wyrażającym regułę oznacza, że ułamek ten wyraża dwie
reguły: w jednej licznik jest przesłanką, a mianownik wnioskiem, w drugiej mianownik jest przesłanką, a
licznik wnioskiem.

*Wniosek
Zatem, w szczególności, jeśli jakieś zdanie wynika ze zbioru pustego, to wynika z
każdego zbioru przesłanek, bo zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze przesłanek.

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

18

Elementy Klasycznej Logiki Kwantyfikatorów

x, y, z - zmienne nazwowe

- kwantyfikator ogólny „dla każdego...”

- kwantyfikator szczegółowy „dla pewnego...”, „istnieje... takie, że...”

P(x), Q(y) - formuły jednej zmiennej (wyrażają własności)
P(x,y), Q(y,z) - formuły dwóch zmiennych (wyrażają relacje, związki)
P(x,y,x), Q(y,z,x) - formuły trzech zmiennych (wyrażają relacje, związki)

„ x P(x)” czytamy „dla każdego x, P(x)”
„ x P(x)” czytamy „dla pewnego x, P(x)” lub „istnieje x takie, że P(x)”

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

19

Negacja zdań skwantyfikowanych:

x P(x)

x P(x)

x P(x)

x P(x)

Piotr Łukowski, Wykład dla studentów pedagogiki

20

Zadanie: Jak brzmi zaprzeczenie zdania:

1. Każdy psycholog kiedyś pomoże jakiemuś pacjentowi.

2. Żaden pedagog nigdy nie zrezygnuje z zawodu.

3. Pewien nauczyciel wystawił kiedyś [jakąś] niesprawiedliwą ocenę.

1. x Ps y T z Pc Pom(x,y,z)

x Ps y T z Pc Pom(x,y,z)

x Ps y T z Pc Pom(x,y,z)

Odp: Pewien psycholog nigdy nie pomoże żadnego pacjentowi.

2. x Ped y T z Zaw Z(x,y,z)

x Ped y T z Zaw Z(x,y,z)

x Pedr y T z Zaw Z(x,y,z)

Odp: Pewien pedagog kiedyś zrezygnuje z zawodu.

3. x N y T z NO Wys(x,y,z)

x N y T z NO Wys(x,y,z)

x N y T z NO Wys(x,y,z)

Odp: Żaden nauczyciel nigdy nie wystawił [żadnej] niesprawiedliwej oceny.