Łukasz Czech

14 stycznia 2013 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 15

Zadanie 1 Sprawdź czy podane endomorfizmy są diagonalizowalne:

a) f : R

2

−→ R

2

, f (x, y) = (2x + 4y, 5x + 3y);

b) f : R

2

−→ R

2

, f (x, y) = (x + 2y, 2x − 2y);

c) f : R

3

−→ R

3

, f (x, y, z) = (x + 4z, 2y, x + z);

d) f : R

3

−→ R

3

, f (x, y, z) = (5x + 6y − 3z, z − x, x + 2y − z);

Jeśli tak, to podaj macierz diagonalną D oraz macierze nieosobliwe P i P

−1

takie, że

D = P

−1

AP .

Zadanie 2 Sprawdź czy podane macierze są diagonalizowalne:

a)








0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

−1 0

1

0

1

1








,

b)








1

−2 0 −2

0

0

0

−1

1

0

1

0

0

1

0

2








,

c)








5

1

3

2

2

3

1

3

4

2

4

6

3

1

3

4








,

d)








1

1

1

1

1

1

−1 −1

1

−1

1

−1

1

−1 −1

1








.

Jeśli tak, to podaj macierz diagonalną D oraz macierze nieosobliwe P i P

−1

takie, że

D = P

−1

AP .

Zadanie 3 Udowodnić, że dla dowolnych endomorfizmów ϕ, ψ skończenie wymiarowej
przestrzeni zachodzi równość tr(ϕ ◦ ψ) = tr(ψ ◦ ϕ).

Zadanie 4 Niech ϕ i ψ będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni V .
Udowodnić, że wielomiany charakterystyczne endomorfizmów ϕ ◦ ψ oraz ψ ◦ ϕ są równe.

Zadanie 5 Wiedząc, że

∆

A

(λ) = −λ

5

+

2

9

λ

4

+ 2λ

3

−

4

9

λ

2

− λ +

2

9

jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, wyznacz:

a) wymiar macierzy A,

b) det(A),

c) tr(A).

Zadanie 6 Dla macierzy A =








1 −2 3

−1

1 1

2

2 0








oblicz λ

1

λ

2

λ

3

oraz λ

2

1

+ λ

2

2

+ λ

2

3

, gdzie λ

1

,

λ

2

, λ

3

to wartości własne macierzy A.