XII. Układy równań liniowych.
1. Podstawowe pojęcia i oznaczenia.
Definicja 1.1.
Układem m równań liniowych o n niewiadomych x
1
, x
2
, ..., x
n
nazywamy układ
(1)
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
= b
2
...
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ... + a
mn
x
n
= b
m
,
gdzie a
ij
∈ R, b
i
∈ R - dane liczby, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Układ (1) można zapisać w postaci macierzowej
(2)
A X = B,
gdzie
A =
a
11
a
12
...
a
1j
... a
1n
a
21
a
22
...
a
2j
... a
2n
...
...
...
...
a
i1
a
i2
...
a
ij
... a
in
...
...
...
...
a
m1
a
m2
... a
mj
... a
mn
m×n
,
B =
b
1
b
2
...
b
m
m×1
,
X =
x
1
x
2
...
x
n
n×1
,
A = [a
ij
]
m×n
- macierz główna układu (2),
B = [b
i
]
m×1
- macierz (kolumna) wyrazów wolnych układu (2),
X = [x
i
]
n×1
- macierz (kolumna) niewiadomych układu (2).
1
Definicja 1.2.
Jeżeli B = [0]
m×1
, to układ (2) nazywamy jednorodnym, w przeciwnym
przypadku niejednorodnym.
Definicja 1.3.
Rozwiązaniem układu (1) nazywamy dowolny układ n liczb x
1
, x
2
, ..., x
n
spełniających
wszystkie równania tego układu.
Definicja 1.4.
Układ (1) nazywamy
• sprzecznym, jeśli nie ma żadnego rozwiązania,
• oznaczonym, jeśli ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• nieoznaczonym, jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Uwaga.
Jednym z rozwiązań układu jednorodnego, tj. AX = 0,
jest zawsze rozwiązanie
zerowe, tj. X =
0
0
...
0
n×1
.
Definicja 1.5.
Macierz
A = [A|B] =
a
11
a
12
...
a
1j
... a
1n
b
1
a
21
a
22
...
a
2j
... a
2n
b
2
...
...
...
...
a
i1
a
i2
...
a
ij
... a
in
b
i
...
...
...
...
a
m1
a
m2
... a
mj
... a
mn
b
m
m×n
będziemy nazywać macierzą rozszerzoną układu (2).
2
2. Układy Cramera.
Definicja 2.1.
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
(3)
AX = B,
w którym A jest macierzą kwadratową nieosobliwą, tj. detA 6= 0.
Twierdzenie 2.2.
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, które zadane jest wzorem:
(4) X =
x
1
x
2
...
x
n
n×1
, gdzie x
i
=
det A
i
det A
, i = 1, 2, . . . , n,
gdzie A
i
oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej
kolumny kolumną wyrazów wolnych.
Będziemy oznaczać W = det A, W
i
= det A
i
.
Przykład.
Rozwiążemy układ równań
(a)
x − y + 3z = 2
2x + y − z = 1
4x − 2y + 3z = 6.
Twierdzenie 2.3. (metoda macierzy odwrotnej)
Rozwiązanie układu Cramera (3) określone jest wzorem
(5)
X = A
−1
B.
Przykład.
Rozwiążemy układ równań
(b)
x − 7y = 2
2x + 3y = 5.
3
3. Twierdzenie Kroneckera-Cappelliego.
Rozważamy dowolny układ m równań z n niewiadomymi
(6)
AX = B,
gdzie A = [a
ij
]
m×n
.
Twierdzenie 3.1. (Kroneckera-Cappelliego)
Niech r(A) oznacza rząd macierzy głównej A układu (6), zaś r(A) rząd
macierzy rozszerzonej. Wtedy
(i) układ (6) jest sprzeczny (tj. nie ma rozwiązań), jeśli r(A) 6= r(A).
(ii) układ (6) jest oznaczony (tj. ma dokładnie jedno rozwiązanie), jeśli r(A) =
r(A) = n.
(iii) układ (6) jest nieoznaczony (tj. ma nieskończenie wiele rozwiązań), jeśli
r(A) = r(A) < n. Rozwiązania zależą wtedy od k parametrów, gdzie
k = n − r(A).
Przykład.
Zbadamy ilość rozwiązań układu równań
(c)
x − y + 2z − t = 1
2x − 3y − z + t = −1
x + 7y − t = 4.
4
4. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą eliminacji
Gaussa.
Definicja 4.1.
Dwa układy równań liniowych nazywamy układami równoważnymi, jeżeli
mają one takie same rozwiązania.
Fakt 4.2.
Poniższe operacje wykonywane na wierszach macierzy rozszerzonej
A = [A|B]
układu równań liniowych A X = B przekształcają go na układ równoważny:
(o1) w
i
←→ w
j
- zamiana między sobą i-tego oraz j-tego wiersza;
(o2) cw
i
- pomnożenie elementów i-tego wiersza przez liczbę c 6= 0,
(o3) w
i
+ cw
j
- dodanie do elementów i-tego wiersza odpowiadających im
elementów j-tego wiersza pomnożonych przez liczbę c 6= 0,
(o4) w
i
& - skreślenie i-tego wiersza złożonego z samych zer,
(o5) w
i
&∼ w
j
- skreślenie jednego z dwóch identycznych lub proporcjonalnych
wierszy.
Układ równoważny otrzymamy także, jeśli w macierzy A zamienimy miejscami
dwie kolumny przy jednoczesnej zamianie niewiadomych.
Metoda eliminacji Gaussa.
Rozważamy układ równań liniowych
(7)
A X = B,
A = [a
ij
]
m×n
.
5
Krok 1. Tworzymy macierz rozszerzoną układu (7), czyli
A = [A|B] =
a
11
a
12
...
a
1j
... a
1n
b
1
a
21
a
22
...
a
2j
... a
2n
b
2
...
...
...
...
a
i1
a
i2
...
a
ij
... a
in
b
i
...
...
...
...
a
m1
a
m2
... a
mj
... a
mn
b
m
m×n
.
Krok 2. Na macierzy rozszerzonej dokonujemy operacji typu (o1)-(o5)
sprowadzających nasz układ do równoważnej postaci
[A
0
|B
0
] =
1 0 ...
0 s
1 r+1
... s
1n
z
1
0 1 ...
0 s
2 r+1
... s
2n
z
2
... ...
...
...
0 0 ...
1 s
r r+1
... s
rn
z
r
0 0 ...
0
0 ... 0 z
r+1
,
przy czym ostatni wiersz może nie pojawić się albo wystąpić ze współczynnikiem
z
r+1
6= 0.
Wówczas:
(i) Jeżeli z
r+1
6= 0, to układ (7) jest sprzeczny.
(ii) Jeżeli ostatni wiersz macierzy [A
0
|B
0
] nie pojawi się oraz n = r, to układ
(7) ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci
x
1
= z
1
, x
2
= z
2
, x
3
= z
3
, x
n
= z
n
.
(iii) Jeżeli ostatni wiersz macierzy [A
0
|B
0
] nie pojawi się oraz n > r, to układ
(7) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależących od n − r parametrów,
tj. r spośród niewiadomych zależy od n − r pozostałych niewiadomych
następująco
x
1
x
2
...
x
r
=
z
1
z
2
...
z
r
−
s
1 r+1
s
1 r+2
... s
1n
s
2 r+1
s
2 r+2
... s
2n
...
s
r r+1
s
r r+2
... s
r n
x
r+1
x
r+2
...
x
n
.
Liczba r jest rzędem macierzy A.
6
Przykład.
Rozwiążemy układ równań
(d)
x
1
+ x
2
− 2x
3
= 3
2x
1
+ 5x
2
+ 6x
3
= 7.
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wyklad V Ukl moczowy
Wykład ukł cholinergiczny1
Wyklad V Zasady opodatkowania liniowym Polska 2008
Wykład ukł adrenegiczny2
Wykład ukł adrenergiczny1
Wykład ukł cholinergiczny2
zad ukl row
Wykład 7 Korelacja i regresja liniowa
Wykład ukł st wyzn
Wyklad 7 ukl.nerwowy, Dietetyka, Anatomia i fizjologia człowieka, Fizjologia wykłady
wykład ukł moczowy
Wyklad V Ukl moczowy
WYKLAD 06 STABILIACJA LINIOWA
m warunkowa, row liniowe, poch, pola fig bryl
120123 IK wykład 4 WO SŻ kształt ukł geomet
Patofizjologia ukł. krążenia cz. 1, Farmacja UMB, Patofizjologia, Wykłady w formie elektronicznej
więcej podobnych podstron