MO
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
1
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
Z2/13.1. Zadanie 13
Wyznaczyć analitycznie reakcje we wszystkich przegubach rzeczywistych A, B i C układu trójprzegu-
bowego przedstawionego na rysunku Z2/13.1.
A
B
C
2,0
2,0
3,0
2,0
1,
0
2,
0
2,
0
3,
0
8,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
24,0 kN
[m]
I
II
Rys. Z2/13.1. Układ trójprzegubowy
Z2/13.2. Analiza kinematyczna układu trójprzegubowego
Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz sztywnych mających razem sześć stopni swobody.
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C odbierają razem także sześć stopni swobody. Został więc
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (1.4).
Wszystkie trzy przeguby rzeczywiste A, B i C nie leżą na jednej prostej. Został tym samym spełniony
warunek dostateczny geometrycznej niezmienności.
Ponieważ układ trójprzegubowy przedstawiony na rysunku Z2/13.1 spełnia warunek konieczny i
dostateczny geometrycznej niezmienności jest więc on układem geometrycznie niezmiennym i statycznie
wyznaczalnym.
Z2/13.3. Analiza statyczna układu trójprzegubowego
W przegubie rzeczywistym jak wiadomo działa jedna reakcja. Wiemy o niej tylko to, że kierunek jej
musi przejść przez przegub rzeczywisty. W takim przypadku rozkładamy reakcję w przegubie rzeczywistym
na dwie składowe: poziomą i pionową. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
przedstawia rysunek Z2/13.2. Rysunek Z2/13.3 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę
sztywną numer I. Rysunek Z2/13.4 przedstawia założone zwroty reakcji działających na tarczę sztywną
numer II. Rysunek Z2/13.5 przedstawia założone zwroty reakcji działających w przegubie rzeczywistym B.
Pierwszym równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A
będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem
punktu C. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z
rysunkiem Z2/13.2 równanie to będzie miało postać
M
C
=V
A
⋅9,0−H
A
⋅2,0−16,0⋅1,0−24,0⋅7,0−12,0⋅2,0−8,0⋅2,0=0
V
A
⋅9,0−H
A
⋅2,0=224,0
.
(Z2/13.1)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
2
A
B
C
2,0
2,0
3,0
2,0
1,
0
2,
0
2,
0
3,
0
8,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
24,0 kN
[m]
I
II
V
A
H
A
V
C
H
C
2,
0
1,
0
X
Y
Rys. Z2/13.2. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i C
A
B
2,0
2,0
2,
0
3,
0
16,0 kN
24,0 kN
[m]
I
V
A
H
A
V
B
(I)
H
B
(I)
X
Y
Rys. Z2/13.3. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach A i B działające na tarczę sztywną numer I
Drugim równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym A
będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer I względem punktu
B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem
Z2/11.3 równanie to będzie miało postać
M
B
I
=V
A
⋅4,0−H
A
⋅5,016,0⋅2,0−24,0⋅2,0=0
V
A
⋅4,0−H
A
⋅5,0=16,0
.
(Z2/13.2)
Równania równowagi (Z2/13.1) i (Z2/13.2) będą tworzyły układ dwóch równań z dwiema
niewiadomymi, którymi będą składowe reakcji w przegubie rzeczywistym A, w postaci
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
3
B
C
3,0
2,0
1,
0
2,
0
8,0 kN
12,0 kN
[m]
II
V
C
H
C
V
B
(II)
H
B
(II)
X
Y
Rys. Z2/13.4. Założone zwroty składowych reakcji w przegubach B i C działające na tarczę sztywną numer II
B
V
B
(I)
H
B
(I)
V
B
(II)
H
B
(II)
Rys. Z2/13.5. Założone zwroty reakcji w przegubie rzeczywistym B
{
V
A
⋅
9,0
−
H
A
⋅
2,0
=
224,0
V
A
⋅
4,0
−
H
A
⋅
5,0
=
16,0
.
(Z2/13.3)
Rozwiązaniem układu są składowe reakcji w przegubie rzeczywistym A o wartościach
V
A
=
29,41 kN
,
(Z2/13.4)
H
A
=20,32 kN
,
(Z2/13.5)
Obie składowe mają więc zwroty zgodne z przyjętymi na początku obliczeń.
Pierwszym równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym C
będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na cały układ trójprzegubowy względem
punktu A. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z
rysunkiem Z2/13.2 równanie to będzie miało postać
M
A
=−V
C
⋅9,0−H
C
⋅2,0−16,0⋅3,024,0⋅2,012,0⋅7,0−8,0⋅4,0=0
V
C
⋅9,0H
C
⋅2,0=52,0
.
(Z2/13.6)
Drugim równaniem służącym do wyznaczenia składowych reakcji w przegubie rzeczywistym C
będzie równanie sumy momentów wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II względem punktu
B. Dodatni moment będzie jak wiadomo kręcił zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z rysunkiem
Z2/11.4 równanie to będzie miało postać
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
4
M
B
II
=−V
C
⋅5,0H
C
⋅3,012,0⋅3,08,0⋅1,0=0
V
C
⋅5,0−H
C
⋅3,0=44,0
.
(Z2/13.7)
Równania równowagi (Z2/13.6) i (Z2/13.7) będą tworzyły układ dwóch równań z dwiema
niewiadomymi, którymi będą składowe reakcji w przegubie rzeczywistym C w postaci
{
V
C
⋅
9,0
H
C
⋅
2,0
=
52,0
V
C
⋅
5,0
−
H
C
⋅
3,0
=
44,0
.
(Z2/13.8)
Rozwiązaniem układu są składowe reakcji w przegubie rzeczywistym C o wartościach
V
C
=6,595 kN
,
(Z2/13.9)
H
C
=−3,675 kN
,
(Z2/13.10)
Składowa pionowa reakcji w przegubie rzeczywistym C ma zwrot zgodny z przyjętym na początku obliczeń
natomiast składowa pozioma reakcji ma zwrot przeciwny do przyjętego.
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równania sumy rzutów wszystkich sił działających na cały
układ trójprzegubowy na osie poziomą X i pionową Y. Jako dodatni przyjmiemy kierunek zgodny ze
zwrotem osi X lub Y. Równania te, zgodnie z rysunkiem Z2/13.2, mają postać
X =H
A
−H
C
−16,0−8,0=20,32−
−3,675
−24,0=−0,005≈0
,
(Z2/13.11)
Y =V
A
V
C
−24,0−12,0=29,416,595−36,0=0,005≈0
.
(Z2/13.12)
Równania równowagi (Z2/13.11) i (Z2/13.12) zostały spełnione możemy więc stwierdzić, że składowe
reakcji w przegubach A i C zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z2/13.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach
rzeczywistych A i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na obie tarcze sztywne znajdują się
w równowadze.
Aby wyznaczyć poziomą składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I
zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś X. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi X. Zgodnie z rysunkiem Z2/13.3 składowa ta ma wartość
X
I
=−H
B
I
H
A
−16,0=0
−H
B
I
20,32−16,0=0
H
B
I
=4,32kN
.
(Z2/13.13)
Aby wyznaczyć pionową składową reakcji w przegubie B działającą na tarczę sztywną numer I
zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na tę tarczę na oś Y. Jako dodatni
przyjmiemy kierunek zgodny ze zwrotem osi Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/13.3 składowa ta ma wartość
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
5
A
B
C
2,0
2,0
3,0
2,0
1,
0
2,
0
2,
0
3,
0
8,0 kN
12,0 kN
16,0 kN
24,0 kN
[m]
I
II
2,
0
1,
0
29,41 kN
20,32 kN
6,595 kN
3,675 kN
Rys. Z2/13.6. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A i C
A
B
2,0
2,0
2,
0
3,
0
16,0 kN
24,0 kN
I
29,41 kN
20,32 kN
5,41 kN
4,32 kN
B
C
3,0
2,0
1,
0
2,
0
8,0 kN
12,0 kN
[m]
II
6,595 kN
3,675 kN
5,41 kN
4,32 kN
Rys. Z2/13.7. Prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach rzeczywistych A, B i C
Y
I
=V
B
I
V
A
−24,0=0
V
B
I
29,41−24,0=0
V
B
I
=−5,41 kN
.
(Z2/13.14)
Pozioma składowa reakcji w przegubie B ma zwrot zgodny z założonym natomiast pionowa składowa
reakcji w przegubie B ma zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z2/13.7 przedstawia prawidłowe zwroty
składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B działające na tarczę sztywną numer I.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
MO
Z2/13. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE – ZADANIE 13
6
Składowe reakcji w przegubie B działające na tarczę sztywną numer II mają takie same wartości ale
przeciwne zwroty jak te same składowe działające na tarczę sztywną numer I. Wynika to bezpośrednio z
równowagi założonych zwrotów składowych reakcji w przegubie rzeczywistym B przedstawionych na
rysunku Z2/13.5. Możemy więc napisać, że
H
B
II
=H
B
I
=4,32 kN
,
(Z2/13.15)
V
B
II
=V
B
I
=−5,41 kN
.
(Z2/13.16)
W celu sprawdzenia obliczeń składowych reakcji w przegubie B zastosujemy równania sumy rzutów
wszystkich sił działających na tarczę sztywną numer II na osie: poziomą X i pionową Y. Jako dodatnie
przyjmiemy kierunki zgodne ze zwrotami osi X i Y. Zgodnie z rysunkiem Z2/13.4 równanie sumy rzutów na
oś X ma postać
X
II
=H
B
II
−H
C
−8,0=4,32−
−3,675
−8,0=−0,005≈0
.
(Z2/13.17)
Zgodnie z rysunkiem Z2/13.4 równanie sumy rzutów na oś Y ma postać
Y
II
=−V
B
II
V
C
−12,0=−
−5,41
6,595−12,0=0,005≈0
.
(Z2/13.18)
Równania równowagi (Z2/13.17) i (Z2/13.18) zostały spełnione, możemy więc stwierdzić, że poziome i
pionowe składowe reakcji w przegubie B zostały wyznaczone poprawnie.
Rysunek Z2/13.7 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji w przegubach
rzeczywistych A, B i C. Składowe tych reakcji oraz siły czynne działające na każdą z tarcz sztywnych
znajdują się w równowadze.
Rysunek Z2/13.8 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty składowych reakcji działających w
przegubie rzeczywistym B.
B
5,41 kN
4,32 kN
5,41 kN
4,32 kN
Rys. Z2/13.8. Składowe reakcji działających w przegubie rzeczywistym B
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni