Strona

1 z 7

Marian Mazur, 1966,

ħle z matematyki.

Argumenty, nr 36 (430), rok X, 4 wrzeĞnia,

Warszawa, s. 5 i 10. W artykule brak informacji o cyklu „O szkole cybernetycznie”.

Przepisał: Mirosław Rusek (

[e-mail]), wytłuszczenia w tek

Ğcie od Autora.

Gdyby zaproponowa

ü, Īeby programy nauczania matematyki były opracowywane

przez nauczycieli humanistów, np. historyków, polonistów itp., to najprawdopodobniej

sprzeciwiliby si

Ċ temu sami humaniĞci, w przeĞwiadczeniu, Īe opracowane przez nich

programy byłyby do niczego. Niew

ątpliwie sprzeciwiliby siĊ temu równieĪ nauczyciele

matematyki, zreszt

ą z tego samego powodu. MoĪna bez Īadnego ryzyka wyraziü

przypuszczenie,

Īe gdyby nauczyciele humaniĞci mieli opracowaü program nauczania

matematyki w oparciu o ich własn

ą wiedzĊ w tej dziedzinie, to wątpliwe jest, czy program ten

wykraczałby poza tabliczk

Ċ mnoĪenia i cztery działania arytmetyczne.

I tu dotykamy kapitalnej sprawy. Okazuje si

Ċ, Īe moĪna byü dobrym nauczycielem

historii, j

Ċzyka polskiego, jĊzyków obcych i wielu innych przedmiotów, nie mając pojĊcia

o pierwiastkach

równa

Ĕ, tangensach, logarytmach i róĪnych innych zmorach

matematycznych. To samo mo

Īna by powiedzieü o wielu innych zawodach, np. literatach

1)

,

muzykach, malarzach, dziennikarzach, prawnikach. Skoro tak, to mo

Īna by zapytaü, po co

naucza si

Ċ w szkole matematyki.

Na to pytanie otrzymuje si

Ċ zwykle odpowiedĨ, Īe matematyka uczy metod

rozumowania. To prawda, ale chyba nie ta matematyka, której si

Ċ naucza w szkole. Ani

sposób, ani zakres jej nauczania na pewno do tego nie prowadz

ą. Gdyby zaĪądaü od

dowolnego maturzysty,

Īeby wymienił metody rozumowania, których go nauczono na

lekcjach matematyki, to obawiam si

Ċ, Īe jedyną jego reakcją byłoby przeraĪenie. I nic

dziwnego, poniewa

Ī metody matematyczne w szkole, to mitologia. W rzeczywistoĞci szkolne

zadania matematyczne s

ą w przewaĪającym stopniu zagadkami. Aby je rozwiązaü, trzeba

wpa

Ğü na pomysł. Na przykład, przy wyprowadzaniu wzoru na bok dziesiĊciokąta foremnego

trzeba wykorzysta

ü okolicznoĞü, Īe kąt przy wierzchołku elementarnego trójkąta wynosi 36

0

,

a wi

Ċc kąty przy podstawie wynoszą po 72 stopnie. JeĞli siĊ przeprowadzi dwusieczną

jednego z nich, to powstan

ą dwa trójkąty podobne, z której to okolicznoĞci wynika wzór na

bok dziesi

Ċciokąta. Gdyby jednak uczeĔ chciał zastosowaü podobny sposób do

dziewi

Ċciokąta lub jedenastokąta, lub teĪ do jakiegokolwiek innego wielokąta foremnego, to

do niczego nie dojdzie. Gdzie

Ī wiĊc tu metoda?

1)

W oryginalnym tekĞcie jest błĊdnie podany wyraz „literach” – uwaga M. R.

Strona

2 z 7

Je

Ğli uznaü, Īe szukanie pomysłów jest kształcące, to równie (a moĪe bardziej)

kształc

ące jest rozwiązywanie szarad i rebusów w dziale rozrywek umysłowych w róĪnych

czasopismach, nie mówi

ąc juĪ o grze w szachy lub brydĪa.

No dobrze, powie kto

Ğ, ale przecieĪ wĞród uczniów są równieĪ tacy, którzy zechcą

pój

Ğü na studia matematyczne lub fizyczne czy teĪ na politechnikĊ. Ci chyba powinni umieü

sporo z algebry, geometrii czy trygonometrii. Gdzie

Ī mieli by siĊ tego nauczyü?

To bardzo prosta sprawa. Trzeba dla nich po uko

Ĕczeniu szkoły Ğredniej

zorganizowa

ü wstĊpny rok studiów na wyĪszych uczelniach. Rozwiązanie takie miałoby

mnóstwo zalet.

Po pierwsze, odpadłaby potrzeba urz

ądzania egzaminów konkursowych z ich

przypadkowo

Ğciami i niesprawiedliwoĞciami, jako Īe o wiele lepszym sprawdzianem

przydatno

Ğci kandydatów byłyby oceny uzyskane przez nich na owym wstĊpnym roku

studiów.

Po drugie, mo

Īna by skróciü czas nauczania w szkole Ğredniej dziĊki redukcji

programu nauczania matematyki, a jak wiadomo jest to przedmiot najcz

ĊĞciej hamujący

przechodzenie z klasy do klasy.

Po trzecie, wst

Ċpny rok studiów mógłby obejmowaü tak obszerny program, na jaki

w szkole ogólnokształc

ącej trzeba przeznaczaü kilka lat. Byłoby to moĪliwe dziĊki temu, Īe

na wst

Ċpny rok studiów zgłosiliby siĊ maturzyĞci mający zamiłowanie i zdolnoĞci do

matematyki, podczas gdy w szkole

Ğredniej tempo nauczania matematyki musi byü

dostosowane do uczniów o przeci

Ċtnych zdolnoĞciach do tego przedmiotu. Nie bez

znaczenia jest te

Ī okolicznoĞü, Īe na wstĊpnym roku studiów znalazłaby siĊ młodzieĪ

starsza, a wi

Ċc powaĪniej traktująca sprawy zdobywania tej trudnej wiedzy. Na dowód tego

mo

Īna przytoczyü, Īe student politechniki w ciągu jednego roku opanowuje rachunek

ró

Īniczkowy i całkowy.

Tylko patrze

ü, jak przeciw takiemu rozwiązaniu zostanie wysuniĊty ulubiony argument

pseudoekonomistów: „nie sta

ü nas na to”. Co wart jest ten argument, łatwo siĊ przekonaü

stosuj

ąc elementarne obliczenie. W klasie maturalnej, liczącej przeciĊtnie 30 uczniów, na

studia matematyczne lub techniczne wybiera si

Ċ zwykle jeden lub dwóch uczniów – no

powiedzmy, trzech (to dla tych trzech zam

Ċcza siĊ matematyką pozostałych dwudziestu

siedmiu!), czyli co najwy

Īej 10 proc. Aby na wstĊpnym roku studiów utworzyü klasĊ złoĪoną

z 30 uczniów, trzeba by wybra

ü po 3 chĊtnych z 10 szkół

2)

, to za

Ğ oznacza, Īe na wstĊpnym

roku studiów jeden nauczyciel matematyki zrobiłby to, co obecnie robi 10 nauczycieli (w 10

szkołach). Je

Ğli przy tym wziąü pod uwagĊ, Īe nauczanie matematyki na wstĊpnym roku

2)

Autor w tych i dalszych rozwaĪaniach zastosował łącznie dwa błĊdne załoĪenia: 1) w jednej szkole jest zawsze

tylko jedna klasa z danego rocznika, 2) jeden nauczyciel matematyki uczy tylko klasy (ĞciĞlej klasĊ) z jednego
rocznika, - uwaga M. R.

Strona

3 z 7

studiów mogłoby obejmowa

ü program ostatnich trzech lat obecnej szkoły ogólnokształcącej

(dzi

Ċki okolicznoĞciom omówionym powyĪej), to w proponowanym rozwiązaniu jeden

nauczyciel zast

ąpiłby trzydziestu. Czy rzeczywiĞcie nie staü nas na zmniejszenie kosztów ze

100 proc. do 3 proc? W przemy

Ğle takie zmniejszenie kosztów jest niedoĞcigłym marzeniem,

a dla zaoszcz

Ċdzenia choüby paru procent tworzy siĊ instytuty naukowo-badawcze i

wyposa

Īa w kosztowne laboratoria.

Dodajmy te

Ī, Īe korzyĞci nie ograniczyłyby siĊ do oszczĊdnoĞci na kosztach

nauczania. Odczuwamy przecie

Ī deficyt nauczycieli matematyki, gdyĪ dyscyplina ta

odstrasza swoj

ą trudnoĞcią wielu kandydatów, a przy tym zdolniejsi matematycy wolą po

uko

Ĕczeniu studiów pracowaü (i lepiej zarabiaü) w przemyĞle, gdzie rozwój zastosowaĔ

maszyn matematycznych otworzył im nie znane dawniej mo

ĪliwoĞci, niĪ uczyü matematyki

w szkole. Nie mówi

ąc juĪ o tym, Īe nauczyciel matematyki na wstĊpnym roku studiów

mógłby mie

ü juĪ status asystenta wyĪszej uczelni, doktoryzowaü siĊ itp., a to jest bardziej

atrakcyjne ni

Ī etat nauczyciela w szkole Ğredniej. Dochodzi wiĊc dodatkowa korzyĞü

polegaj

ąca na tym, Īe na wstĊpnym roku studiów matematyka byłaby nauczana przez

zdolniejszych nauczycieli, a wi

Ċc skuteczniej.

Nie zmierzam bynajmniej do zubo

Īenia treĞci nauczania matematyki w szkole.

Przeciwnie, chodzi mi o jej wzbogacenie informacjami u

Īytecznymi dla wszystkich,

z jednoczesn

ą redukcją szumu informacyjnego oraz przeniesieniem gdzie indziej informacji

mog

ących mieü uĪytecznoĞü tylko dla nielicznych.

Na przykład mo

Īna by z powodzeniem usunąü ze szkoły Ğredniej zadania na

logarytmowanie (ograniczaj

ąc siĊ tylko do objaĞnienia jego zasad). Na zdobywanie wprawy

w logarytmowaniu zu

Īywa siĊ w szkole mnóstwo czasu, a przecieĪ dla 90 proc. uczniów jest

to umiej

ĊtnoĞü najzupełniej bezuĪyteczna. Zresztą i pozostałym 10 proc., wybierającym siĊ

na studia techniczne, jest ona mało przydatna, gdy

Ī wszelkie obliczenia wykonuje siĊ tam za

pomoc

ą suwaka rachunkowego zwanego wprawdzie „logarytmicznym”, ale do posługiwania

si

Ċ nim nawet elementarna wiedza o logarytmach nie jest potrzebna, podobnie jak do

kr

Ċcenia gałkami telewizora nie trzeba byü radiotechnikiem.

Wiele czasu marnuje si

Ċ teĪ na przekształcenia formalne, zwłaszcza na

sprowadzanie wyra

ĪeĔ trygonometrycznych do postaci logarytmicznej, tym bardziej, Īe

znaczn

ą rolĊ odgrywa w nich czynnik zgadywania, a juĪ zupełnie niepojĊte jest, dlaczego

wymaga si

Ċ od uczniów pamiĊtania wzorów na przekształcanie funkcji trygonometrycznych.

Wszelkie zakazy korzystania z tablic, podr

Ċczników, słowników, atlasów itp. w zadaniach

klasowych, to istna obsesja nauczycielska.

Głównym bł

Ċdem nauczania matematyki w szkole Ğredniej jest to, Īe jest ono oparte

na indukcji, zamiast na dedukcji, na przechodzeniu od szczegółów do uogólnie

Ĕ, podczas

gdy powinno by

ü przeciwnie. Nauczyciel matematyki przez lata całe ładuje w ucznia

Strona

4 z 7

mnóstwo szczegółów dotycz

ących równaĔ pierwszego i drugiego stopnia, aby mu daü jakie

takie wyobra

Īenie o funkcjach zamiast mu w ciągu piĊciu minut objaĞniü pojĊcie funkcji w

zapisie ogólnym y = f(x) i potraktowa

ü wszystko inne jako szczególne przypadki. W rezultacie

maturzysta wychodzi ze szkoły obładowany szczegółami, które wkrótce zapomni (je

Īeli nie

nale

Īy do tych 10 proc. studiujących matematykĊ lub technikĊ) i niezdolny do myĞlenia

kategoriami ogólnymi. Z całej szkolnej matematyki pozostaj

ą mu tylko koszmarne

wspomnienia.

Jest to wynik fałszywego systemu, opartego na historycznej doktrynie nauczania.

Zamiast o rzeczach najwa

Īniejszych, uczeĔ dowiaduje siĊ najpierw o rzeczach

najwcze

Ğniejszych w rozwoju danej dziedziny wiedzy. Z historii – o Asyrii i Babilonie, z fizyki

– o pocieraniu bursztynu suknem, kamieniach rzucanych przez Galileusza z pochyłej wie

Īy

w Pizie i

Īabich udkach z doĞwiadczeĔ Volty, z matematyki – o równaniach pierwszego

stopnia.

ĩądanie, Īeby kilkunastoletnim dzieciom objaĞniaü pojĊcia róĪniczki i całki,

wywołałoby pewnie popłoch w

Ğród nauczycieli matematyki. Nawet na studiach

matematycznych lub technicznych student dopiero po dłu

Īszym czasie zaczyna siĊ

orientowa

ü (humanista nie dochodzi do tego nigdy), Īe są to pojĊcia tak banalne, iĪ

z powodzeniem mógłby si

Ċ z nimi zapoznaü na wiele lat przed maturą. PrzecieĪ w zasadzie

ró

Īniczkowaniem jest wyznaczanie tempa wzrostu (produkcji, budownictwa, ludnoĞci itp.),

a całkowaniem - sumowanie przyrostów. A s

ą to sprawy poruszane w gazetach niemal

w ka

Īdym artykule na tematy ekonomiczne, socjologiczne itp.

Aby dzi

Ċki matematyce uczeĔ mógł wynieĞü ze szkoły lepszą umiejĊtnoĞü myĞlenia,

nauczanie matematyki powinno by

ü oparte przede wszystkim na wykresach. W szkole

korzysta si

Ċ z wykresów tylko dla interpretacji równaĔ, zapominając, Īe wykresy są

narz

Ċdziem samodzielnym, ogólniejszym niĪ równania i dającym siĊ zastosowaü nawet tam,

gdzie si

Ċ nie rozporządza Īadnymi równaniami, a nawet nie wiadomo, jaką mogłyby mieü

one posta

ü. Z tak skąpych danych, jak na przykład, Īe coĞ wzrasta coraz wolniej,

niepodobna uło

Īyü równania, ale wykres moĪna sporządziü i to nawet nie korzystając z

Īadnych liczb. Co wiĊcej, zrozumienie samej sprawy przedstawionej wykreĞlnie pozwala

nieraz wskaza

ü, w którym punkcie krzywa na wykresie musi siĊ zacząü, stwierdziü, Īe

przechodzi ona przez maksimum lub minimum albo

Īe dąĪy do jakiejĞ granicy. Na takich

podstawach opiera si

Ċ analiza jakoĞciowa zjawisk, umoĪliwiająca ogólne przewidywania, do

których równania lub pomiary dostarczaj

ą juĪ tylko bliĪszych szczegółów.

Tego rodzaju podej

Ğcie jest przecieĪ potrzebne ekonomistom, psychologom,

fizjologom, socjologom itp. Nawet zwykły czytelnik gazet dostaje cz

Ċsto informacje w postaci

wykresów, np. dotycz

ących rozwoju przemysłu i handlu, przemian demograficznych, rozwoju

czytelnictwa, wykrywalno

Ğci przestĊpstw, wydatków na budowĊ szpitali, fluktuacji spoĪycia

Strona

5 z 7

oraz wszelkich zale

ĪnoĞci w czasie i przestrzeni, bez Īadnego oparcia o wzory

matematyczne.

O ile równania mog

ą byü proste lub zawiłe, to wykresy zawsze są proste i łatwo

dost

Ċpne dla wyobraĨni kaĪdego. Bez trudnoĞci moĪna za ich pomocą przedstawiaü zakresy

i obszary zmienno

Ğci, znajdowaü pierwiastki równaĔ bez ich rozwiązywania (a wiĊc nawet

równa

Ĕ uwikłanych), podawaü nie tylko przebiegi zaleĪne od jednej zmiennej, lecz i od wielu

zmiennych (za pomoc

ą rodzin krzywych) itp. Dlatego teĪ podstawową umiejĊtnoĞcią, jaką

z zakresu matematyki ucze

Ĕ powinien wynieĞü ze szkoły i zachowaü na całe Īycie, powinna

by

ü umiejĊtnoĞü sporządzania i interpretowania wykresów. Tą teĪ drogą naleĪy wpoiü

uczniom ogólne poj

Ċcie funkcji, a nie, jak to siĊ dzieje dotychczas, przez otumaniającą

„dyskusj

Ċ” trójmianu kwadratowego.

Matematyka nauczana w szkole jest wiedz

ą absolutnie zdehumanizowaną, nie

maj

ącą związku ze zwykłym Īyciem. Jest to swoista „sztuka dla sztuki”. Zamiast

posługiwania si

Ċ matematyką jako narzĊdziem do rozwiązywania zagadnieĔ istotnych dla

ka

Īdego, traktuje siĊ operacje matematyczne jako cel sam dla siebie i dobiera do nich

fikcyjne zagadnienia. Co komu przyjdzie z tych wszystkich kół opisanych na trapezach, kul

wpisanych w sto

Īki ĞciĊte, ostrosłupów przeciĊtych płaszczyznami itp.?

A

tymczasem

jest

mnóstwo

Īyciowych

spraw,

wymagaj

ących

uj

Ċcia

matematycznego, których jednak na pró

Īno byłoby szukaü w szkolnych programach, jak na

przykład zagadnienia

organizacji. Ucze

Ĕ powinien wynieĞü ze szkoły rozumienie takich

poj

Ċü jak harmonogram, programowanie, algorytm, metoda grafów itp. PrzecieĪ to brak

zrozumienia tych spraw powoduje,

Īe ogromna wiĊkszoĞü przeprowadzanych u nas akcji ma

charakter czystej improwizacji. A nie s

ą to bynajmniej metody nadające siĊ do zastosowania

tylko w technice. Znajomo

Ğü ich bardzo by siĊ przydała kaĪdemu, kto ma do czynienia

z organizacj

ą jakichkolwiek przedsiĊwziĊü: reĪyserom filmowym, dyrektorom teatrów,

redaktorom czasopism, organizatorom zjazdów, wystaw, imprez sportowych, wyjazdów

turystycznych, konkursów itp., nie mówi

ąc juĪ o codziennej pracy kaĪdej instytucji.

Ani słowem nie wspomina si

Ċ w szkole o zagadnieniu tak doniosłym dla kaĪdego

człowieka, jak

optymalizacja, czyli to, co si

Ċ potocznie nazywa problemem „za krótkiej

kołdry”. Nie dysponujemy nieograniczonymi zasobami energii, czasu, pieni

Ċdzy itp.

Zu

Īywając je do jakiegokolwiek celu, tracimy moĪnoĞü zuĪycia ich do innego celu i wskutek

tego zawsze staje przed nami pytanie, co wybra

ü, czemu daü pierwszeĔstwo.

Gdyby ci, co decydowali odbudow

Ċ Teatru Wielkiego w Warszawie, mieli zrozumienie

dla zagadnie

Ĕ optymalizacji, to zamiast opery dla dwóch tysiĊcy widzów (deficytowej nawet

przy zapełnionej widowni) zbudowaliby lini

Ċ kolei podziemnej (zwłaszcza wtedy, gdy moĪna

j

ą było tanio zbudowaü po prostu w postaci rowu do póĨniejszego przykrycia) dla stu tysiĊcy

pasa

Īerów dziennie (i bez deficytu). Wydatki na nią juĪ by siĊ zamortyzowały i mogłyby byü

Strona

6 z 7

nast

Ċpnie przeznaczone na odbudowĊ Teatru Wielkiego (jeĪeli juĪ koniecznie musimy mieü

„najwi

Ċkszy budynek operowy w Europie”). W wyniku optymalizacji mielibyĞmy w Warszawie

i metro, i oper

Ċ.

Nie buduje si

Ċ u nas pomników monumentalnych, bo nas „nie staü”. A spróbujmy

sobie uzmysłowi

ü, Īe jeĞli sprawĊ potraktowaü z punktu widzenia optymalizacji, to nawet

pomniki mog

ą byü interesem bardzo dochodowym. Takie obiekty, jak Łuk Triumfalny i wieĪa

Eiffla w Pary

Īu, pomnik Bitwy Narodów w Lipsku, Atomium w Brukseli i wiele innych, to istne

kopalnie złota. Same pocztówki i bilety wst

Ċpu (tak, to są pomniki, do których siĊ wchodzi,

gdy

Ī w ich wnĊtrzu jest coĞ do obejrzenia) przyniosły milionowe zyski, nie mówiąc juĪ o

dewizach, przywo

Īonych przez turystów przybywających, aby te pomniki choü raz w Īyciu

zobaczy

ü. Z pomnika na pobojowisku pod Waterloo Īyje całe miasteczko.

Rzecz jasna, optymalizacja jest zagadnieniem numer jeden w przemy

Ğle, handlu,

transporcie itp., ale o tym wiedz

ą tylko specjaliĞci od badaĔ operacyjnych i programowania

maszyn matematycznych. Zwykły obywatel wynosi ze szkoły wyobra

Īenie o matematyce

jako nauce słu

Īącej do rozwiązywania zadaĔ w rodzaju: „ze stacji A wyruszył pociąg...”.

Fikcyjno

Ğü zadaĔ matematycznych sprawia, Īe uwaga ucznia jest skierowana

wył

ącznie na operacje matematyczne. Stąd pochodzi nader rozpowszechnione mniemanie,

Īe matematyka jest nauką dostarczającą najprawdziwszych informacji o rzeczywistoĞci. Nic

obł

Ċdniejszego! Matematyka jest nauką mającą nam najmniej do powiedzenia

o rzeczywisto

Ğci. W istocie bowiem kaĪde rozumowanie matematyczne jest zdaniem

warunkowym: je

Ğli dane wejĞciowe są zgodne z rzeczywistoĞcią, a operacje matematyczne

zostały wykonane w sposób poprawny, to dane wyj

Ğciowe są równieĪ zgodne

z rzeczywisto

Ğcią. Ale kto stwierdza, Īe dane wejĞciowe są zgodne z rzeczywistoĞcią?

W

Īadnym razie nie stwierdzają tego matematycy; trud ten pozostawiają oni tym

specjalistom, których zadaniem jest wła

Ğciwe badanie rzeczywistoĞci, a wiĊc fizykom,

chemikom, technikom, ekonomistom itp., i na ich odpowiedzialno

Ğü. Nie jest to zarzut pod

adresem matematyków – oni s

ą najzupełniej w porządku. Nie trzeba tylko nigdy zapominaü,

Īe nawet najbardziej wymyĞlne i bezbłĊdne operacje matematyczne mogą dawaü wyniki

bezwarto

Ğciowe, jeĪeli dane wejĞciowe były bezwartoĞciowe.

Jak to kiedy

Ğ dowcipnie zauwaĪył pewien felietonista, istnieją dwa rodzaje kłamstwa:

1) kłamstwo zwykłe, 2) statystyka.

Kłamstwo zwykłe jest na ogół łatwe do wykrycia, tote

Ī aby nadaü mu pozory

prawdziwo

Ğci, „uszlachetnia siĊ” je za pomocą matematyki. Polega ono wówczas na tym, Īe

fałszywe dane wyj

Ğciowe otrzymuje siĊ z fałszywych danych wejĞciowych za pomocą

poprawnych operacji matematycznych. Im wi

Ċcej jest tych operacji, tym bardziej uwaga

odbiorcy jest skierowana na sprawdzanie ich poprawno

Ğci, zamiast na sprawdzanie

prawdziwo

Ğci danych wejĞciowych. UrzĊdnik ksiĊgowoĞci, odczuwający wątpliwoĞci czy

Strona

7 z 7

akceptowa

ü rachunek na 4000 zł za pracĊ zleconą, bĊdzie skłonny to zrobiü, gdy rachunek

opiewa na 196 godzin po 21 zł za godzin

Ċ, czyli 4116 zł, tj. kwotĊ wynikającą z dokładnie

sprawdzonego przecie

Ī mnoĪenia.

Jakkolwiek kłamstwo zwykłe staje si

Ċ elegantsze, gdy jest oparte na matematyce, to

jednak mimo wszystko ma ono t

Ċ słabą stronĊ, Īe daje siĊ zdemaskowaü przez sprawdzenie

danych wej

Ğciowych. Wiedząc o tym, inteligentny wystawca rachunku z przytoczonego

powy

Īej przykładu podaje 196 godzin, a nie np. na rzucającą siĊ okrągłą liczbĊ 200 godzin,

aby tym wywoła

ü wraĪenie, Īe i dane wejĞciowe wynikają z jakiegoĞ szczegółowego

obliczenia, a wi

Ċc i w tym wzglĊdzie odwołuje siĊ on do rozpowszechnionego

prze

Ğwiadczenia, Īe matematyka gwarantuje zgodnoĞü z rzeczywistoĞcią.

Znacznie subtelniejszym

Ğrodkiem kłamstwa jest operowanie danymi wejĞciowymi

prawdziwymi, ale niepełnymi, czyli statystyk

ą. Kłamstwo statystyczne trudno wykryü, skoro

bowiem dane wej

Ğciowe są prawdziwe, a wykonane na nich operacje matematyczne są

poprawne, to niejeden dałby sobie głow

Ċ uciąü, Īe i dane wyjĞciowe bĊdą prawdziwe.

Kłamstwem statystycznym jest na przykład fakt,

Īe spoĞród miast francuskich

najwi

Ċkszą ĞmiertelnoĞü wykazują Wersal i Nicea (przynajmniej tak było przed wojną),

z czego mo

Īna by wnosiü, Īe mają one najbardziej niezdrowy klimat. A tymczasem

w statystyce zgonów pomini

Ċto pewien drobiazg: Īe to emeryci na staroĞü przenoszą siĊ

z Pary

Īa do Wersalu, a z południowej Francji do Nicei, podnosząc tam wskaĨnik

ĞmiertelnoĞci.

A oto przykład bardziej matematyczny. W Alanii produkcja czego

Ğ tam wzrosła z 20

000 do 21 000 ton, co oznacza przyrost 1 000 ton, czyli 5 proc. W tym samym czasie

w Belanii produkcja tego samego rodzaju wzrosła z 200 do 300 ton, co oznacza przyrost 100

ton, czyli 50 proc. Co o tym s

ądzą w Celanii? JeĪeli Alania jest dla Celanii krajem

sympatycznym, a Belania nie, to si

Ċ z powyĪszych liczb przytacza, Īe w Alanii produkcja

wzrosła o 1 000 ton, a w Belanii zaledwie o 100 ton. Je

Īeli zaĞ z sympatiami dla tych krajów

jest przeciwnie, to si

Ċ mówi, Īe w Alanii produkcja wzrosła tylko o 5 proc., a w Belanii aĪ o 50

proc. W obu przypadkach informacje s

ą prawdziwe, ale sprzeczne, bo niepełne, i na tym

polega ich kłamliwo

Ğü. UĪycie Ğrodków matematycznych ma stworzyü pozory wiarygodnoĞci.

Do nauczania matematyki w szkole nale

Īy wprowadziü podstawy rachunku

statystycznego, chocia

Īby z tego wzglĊdu, Īe dla wielu uczniów czytanie danych

statystycznych b

Ċdzie w przyszłoĞci jedyną sprawą mającą związek z matematyką. Rzecz

jasna, szkoła powinna przy tym uczy

ü nie tylko samych operacji matematycznych, lecz takĪe

krytycyzmu do danych i do ich interpretacji.

Najwy

Īszy czas zaniechaü takiego nauczania matematyki, jak gdyby była ona

młynkiem do kawy, w którym wa

Īne jest tylko mielenie, z zupełnym brakiem

zainteresowania, co si

Ċ do tego młynka wsypuje.