Ruch obrotowy bryły sztywnej
Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym odległoS
ci
pomiędzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniają się,
niezależnie od działających sił. Jeżeli bryła sztywna wiruje wokół
osi obrotu, to prędkoS
ć kątowa i przyspieszenie kątowe
wszystkich jej elementów są jednakowe.
R
rodek masy bryły sztywnej
M
N
mi
M mi
N
1
i =1
r mi r
s i
M
i=1
rs ri
O
Przykład wyznaczania S
rodka masy:
X
a) pręt (belka), b) obręcz c) walec; d) kula
H
e) stożek
N
1
x mi x
s i
M
i =1
dx
r
x
2
R 1
2
mi (H xi )2 xi M V R H
2
3
H
O R
R
rodek masy układu ciał
Ruch postępowy bryły sztywnej
B
Druga zasada dynamiki A
B
AB || A B
dla ruchu postępowego
A
.
F M a
z s
k
Ruch obrotowy bryły sztywnej
v
r
v r
P
v r
O
Ruch dowolny bryły sztywnej
k
v v r
s
Chwilowa oS
obrotu
 złożenie prędkoS
ci v i prędkoS
ci ruchu obrotowego r (o wartoS
ci r )
s
 prędkoS
ć ruchu czysto obrotowego r' (o wartoS
ci r' )
v r'
r
v
s
P P
v v r
s
O
r'
A
Moment bezwładnoS
ci ciała względem danej osi
Moment bezwładnoS
ci punktu materialnego
r
m
I mr2
Moment bezwładnoS
ci układu punktów materialnych
N
I mi ri2
i 1
ri
mi
N
2 m2
I m1r12 m2r22 ... miri2 ... mNrN miri2
r2
i 1
r1
m1
Momenty bezwładnoS
ci niektórych brył
Moment bezwładnoS
ci pręta Moment bezwładnoS
ci cienkiej obręczy
względem osi symetrii względem osi symetrii przechodzącej
prostopadłej do pręta przez jej S
rodek
2
2
1
Io =M R
Ip = M l
12
R
O
l
M - masa obręczy
M - masa pręta
Moment bezwładnoS
ci walca Moment bezwładnoS
ci kuli
względem jego osi symetrii względem dowolnej osi symetrii
2
2
2
1
Ik = M R
Iw = M R
R
5
2
R
M - masa kuli
M - masa walca
k  
k
Twierdzenie Steinera
M
(twierdzenie o osiach równoległych)
S
2
I I0 Md
d
k
k 
k
Energia kinetyczna bryły sztywnej
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym wokół ustalonej osi
2 2
m1v2 mi v2 mN v2 I
2
1 i N
Ek,obr ... ... ( m1r12 ... mi ri2 ... mNrN )
2 2 2 2 2
I
k
2
I
Ek
2
Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej
m v2 IO 2
s
E
kC
2 2
Energia kinetyczna toczącego się ciała
v
s
R
O
I
m v2
2
R
E
k, c
2
walca
obręczy
I
2
m v I
2
2
m v
R
2
E
R
k
E
2 k
2
m
2
2
m v
(m m)v
2
2 3 mv
2
mv
2
2 4
Moment siły
Moment siły względem danego punktu
M
F
r
M r F sin r F
M r F
r
O
F
F
r
O
F
l
M=r F sin =l F
l ramię działania siły
Wypadkowy moment sił
M M1 M ... M
2 N
Wypadkowy moment sił działajcych wzdłuż danej osi
M M1 M2 ... MN
M|| l F
Moment siły względem danej osi
Moment pary sił
F
l
M r F r ( F ) r r F l F
1 2 1 2
r2
F
r1
O
M l F
R
rodek ciężkoS
ci
C
M r P r r
c c s
P mg
r
c
O
Rodzaje równowagi
równowaga trwała
równowaga obojętna
równowaga chwiejna
C
C C
punkt zawieszenia
S
rodek ciężkoS
ci
ciała
C C
C
Moment pędu
Moment pędu punktu
L r p r m v
Moment pędu punktu w ruchu po okręgu
L
v
r v L rmv v r
m
r
2
L m r
Moment pędu dwóch punktów przeciwległych
L
v1
m
r
m
O
2
L 2m r
v2
k
L
v1
L 2 r m v1 2m r v2
1 2
r
m
L
r1
O
L
L 0 L|| 2m r 2
r2
m
v2
k
Moment pędu bryły sztywnej
k
Moment pędu ciała w ruchu obrotowym względem osi swobodnej
L
L I
k
Moment pędu ciała w ruchu obrotowym
względem nieruchomej osi wymuszonej
L
L
L I
||
wymuszona oS
brotu
Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym bryły sztywnej
Punkt materialny o masie m
p
F p t, ( p m v) M r F r
dt
L ( r p) ( r r ) ( p p) r p 1 p p
p r p p r r
t t t t t m t t
L
p p 0 M
t
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
L
M
L I
bryły sztywnej o momencie bezwładnoS
ci I
t
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego bryły względem osi swobodnej
L (I )
M I I
t t t
L I
L M t
L I
M I
Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym wokół wymuszonej osi nieruchomej
L|| I
L||
(I )
L
M I I
||
t t t
M|| I
M
M
Druga zasada dynamiki przy toczeniu się ciał  przykłady
złożenie ruchu postępowego
vO
i obrotowego
F
F T mas
r
Fr TR IO
O
ruch obrotowy
R
T
F(R r ) I
Żyroskop
Żyroskop ciało o symetrii cylindrycznej obracające się z dużą prędkoS
cią kątową względem
osi symetrii
M r m g
FN= -mg
r
mg
FN mg
Precesja żyroskopu
M
mg l t
L M t
L I I
L=M t
L=I
mgl
l | r |
I
t
Nutacja
L
I
Ruch żyroskopu jest złożeniem:
 ruchu obrotowego wokół osi symetrii,
 ruchu precesyjnego, podczas którego wektor momentu pędu porusza
C
się po okręgu,
 ruchu osi symetrii żyroskopu poruszającej się
I
po pobocznicy stożka wokół wektora L.
Ten ostatni rodzaj ruchu nazywa się nutacją.
Zasada zachowania momentu pędu ciała
M 0 L const.
Dla obrotu dookoła stałej osi L I const
Zasada zachowania momentu pędu układu ciał
N N
Dla obrotu dookoła stałej osi Li Ii const
i
i 1 i 1
N M
Ii I
i j j
i 1 j 1
Przykłady:
I2 I1
I1
>
2 1
1
Człowiek trzyma odważniki
Po zbliżeniu odważników do tułowia
możliwie jak najdalej od tułowia
1
2
= I1 1
Lprzed = I2 2
L
po
I1 I2
1 2
>
Porównanie wzorów opisujących ruch postępowy prostoliniowy i obrotowy ciała
Ruch obrotowy
Ruch postępowy wokół ustalonej osi
obrotu
s
v , t 0 , t 0
prędkoS
ć
t t
v
a , t 0 , t 0
przyspieszenie
t t
v const const
ruch jednostajny
s v t
t
a const const
v v0 a t t
0
ruch jednostajnie przyspieszony
2 2
a t t
s v0 t t
0
2 2
aop const const
op
v v0 aop t t
0 op
ruch jednostajnie opóx
niony
2 2
aop t t
op
s v0 t t
0
2 2
masa / moment bezwładnoS
ci m I
siła / moment siły F M
F ma M I
II zasada dynamiki Newtona
p mv K I
pęd / moment pędu ciała
mv2 I 2
energia kinetyczna E E
k k, obr
2 2
 Statyka
Warunki równowagi ciała
Wypadkowa wszystkich sił działających na ciało jest równa zeru
F1 F2 ... FN 0
Suma algebraiczna momentów wszystkich sił
względem dowolnie wybranej osi jest równa zeru
M1 M ... M 0
2 N
M M1 M ... M
2 N
Przykład równowagi ciała
NL FL
NL
NP NL FP
P Q FL FP
FL
FP
x
l
P
Q
l
x 1 x 1
P x Q FP l FL P Q i FP 1 P Q
2 l 2 l 2
 WłasnoS
ci sprężyste ciał stałych
Prawo Hooke a dla wydłużeń
l
F l
E
E
S l
l
F
0-A 
E
A-B  prawa Hooke'a nie można stosować
C D
B  granica sprężystoS
ci
B
A
C-D  obszar plastycznoS
ci
E  granica wytrzymałoS
ci
0
Prawo Hooke a dla odkształceń postaciowych
l
S
F
l
tan
l
l
F
F
F l
G
S l
G
Prawo Hooke a dla cieczy i gazów
V<0
V
p K
V