Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
u z u p e ł n i e n i e
mechanika
bryły sztywnej
Bryła sztywna. Ruch postępowy i obrotowy 1
W paragrafie 1.2 dokonaliSmy podziału ruchów na postępowe i obrotowe.
Wszystkie punkty ciała poruszającego się ruchem postępowym zakreSlają tory
o identycznym kształcie i jednakowej długoSci. Ruch postępowy ciała można więc
opisywać jako ruch punktu materialnego, czyli obiektu o pomijalnie małych roz-
miarach i objętoSci, a masie równej masie ciała.
Do opisu ruchu obrotowego wprowadza się w fizyce pojęcie bryły sztywnej
ciała, w którym odległoSci między poszczególnymi jego elementami nie zmieniają
się, pomimo sił działających na ciało podczas ruchu. Zarówno punkt materialny,
jak i bryła sztywna to modele, za pomocą których przedstawiamy ciała rze-
czywiste.
Na rysunku 1. przedstawiono ruch postępowy łodzi podwodnej. Zauważ, że od-
cinek łączący dwa dowolnie wybrane punkty (np. P1 i P2), w dowolnej chwili ruchu,
P1
P3 P2
P1
P1
P3 P2
P3
P2
Rys. 1
1
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
jest równoległy do odcinka, który łączył te punkty w poprzednich chwilach ruchu,
czyli odcinek ten przemieszcza się równolegle.
Podczas ruchu obrotowego bryły sztywnej wokół prostej, zwanej osią obrotu,
wszystkie punkty bryły nie należące do osi zakreSlają okręgi (lub łuki okręgów)
w płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu. (Punkty nale-
żące do osi pozostają nieruchome.)
P1
Na rysunku 2. zaznaczono tory trzech punktów wirnika, ob-
racającego się wokół osi obrotu przechodzącej przez punkt O
O
i prostopadłej do płaszczyzny rysunku.
P3
P2
W życiu codziennym mamy często do czynienia z ruchami
złożonymi. Opis takich, czasem doSć skomplikowanych ru-
chów ułatwia możliwoSć rozłożenia ich na ruch postępowy
rys. 2
i obrotowy, względem odpowiednio wybranego układu odnie-
sienia. Przykładem ruchów złożonych może być ruch koła
jadącego pojazdu lub toczącej się po podłodze piłki.
Nasze rozważania ograniczymy tylko do obrotów wokół ustalonej osi (czyli ta-
kiej, która nie zmienia swego położenia względem ciała, ani orientacji w układzie
odniesienia, w którym rozważamy ruch) i tylko o takich obrotach będziemy mówić
w następnych paragrafach.
Z dotychczasowej nauki wiesz, że niedłączną cechą ruchu jest jego względnoSć.
Z tego faktu wynika możliwoSć składania (bądx rozkładania) ruchów poprzez za-
stosowanie do opisu odpowiednio dobranych układów odniesienia. W przypadku
złożonych ruchów bryły sztywnej szczególnie użyteczna jest możliwoSć rozkładania
ich na składowe, łatwiejsze do opisu i analizy. Jako przykład rozpatrzmy staczanie
się walca z równi pochyłej (rys. 3).
z'
x'
y'
z
x
y
rys. 3
Jego ruch w układzie odniesienia xyz, związanym z równią, nie jest ani ruchem
postępowym, ani obrotowym wokół stałej osi. Możemy jednak wybrać układ odnie-
sienia x y z , który przesuwa się równolegle do równi z prędkoScią liniową równą
prędkoSci Srodka walca. Układ odniesienia x y z wykonuje ruch postępowy
względem układu xyz. Natomiast walec wykonuje ruch obrotowy wokół usta-
lonej osi w układzie odniesienia x y z . W tym sensie ruch walca w układzie xyz
traktować można jako założenie ruchu postępowego i obrotowego wokół usta-
lonej osi.
2
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
2
WielkoSci kinematyczne w ruchu obrotowym
Analizując ruch punktu materialnego po okręgu wprowadziliSmy pojęcie szyb-
koSci kątowej. Zwróćmy uwagę, że w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej
kąty zakreSlone w tym samym czasie przez promienie wodzące różnych punktów
bryły są takie same, natomiast drogi tzn. długoSci
odpowiednich łuków są różne dla punktów znaj-
dujących się w różnych odległoSciach od osi obro-
tu (rys. 4).
rB rA
Położenie ciała obracającego się wokół stałej
B B'
osi obrotu jest więc całkowicie okreSlone przez
A
A'
podanie kąta zakreSlonego przez promień wo-
dzący dowolnego punktu bryły a więc jednego kąta
wspólnego dla całej bryły. Kąt ten nazywamy
kątem obrotu bryły. Kąt ten wyrażamy w mierze
łukowej (patrz Aneks 1.2).
rys. 4
SzybkoSci kątowe różnych punktów bryły sztyw-
nej w jej ruchu obrotowym wokół stałej osi
są sobie równe, natomiast szybkoSci liniowe nie. Będziemy zatem mó-
t
wić o szybkoSci kątowej całej bryły (jednakowej dla wszystkich jej punktów w danej
chwili). SzybkoSć kątowa to, jak się domySlasz, wartoSć wielkoSci wektorowej zwa-
nej prędkoScią kątową.
Rrednia prędkoSć kątowa bryły sztywnej jest to wektor Sr, którego:
a) wartoSć równa się stosunkowi kąta zakreSlonego w pewnym czasie
Sr
t przez obracające się ciało do tego czasu:
radian 1
, [ ] (1)
Sr
t s s
b) kierunek pokrywa się z kierunkiem osi obrotu,
c) zwrot jest zgodny z regułą Sruby prawo-
skrętnej, która mówi, że: jeSli Srubę usta-
wimy wzdłuż osi, to podczas jej obrotu
zgodnego z obrotem bryły zwrot prędkoSci
w ruchu
postępowym Sruby wskazuje zwrot
wektora (rys. 5).
Wektor chwilowej prędkoSci kątowej nazywa się
krótko prędkoScią kątową i oznacza przez .
Okres obrotu T ciała wokół nieruchomej osi jest
to czas, w którym ciało obraca się o kąt pełny (2 ra-
dianów). Jeżeli prędkoSć kątowa tego ruchu jest
stała, to oczywiScie stały jest okres T:
rys. 5
2
T . (2)
Taki ruch nazywamy ruchem obrotowym jednostajnym.
3
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
Do opisu niejednostajnych ruchów obrotowych wprowadza się wektor przy-
spieszenia kątowego.
przy t 0 . (3)
t
Przyspieszenie kątowe jest to stosunek przyrostu wektora prędkoSci kątowej
do czasu t, w którym ten przyrost nastąpił.
W przypadku ruchu obrotowego niejednostajnego wokół stałej osi kierunek
wektora pozostaje stały i w związku z tym wektor ma również stały
kierunek (też
równoległy do osi). Zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem wektora w przypadku
ruchu obrotowego przyspieszonego, a przeciwny w przypadku ruchu obrotowego
opóxnionego. W ruchu obrotowym przyspieszonym względem ustalonej osi
radian 1
, [ ] .
t s2 s2
Musisz jednak wiedzieć, że nie zawsze tak jest na ogół (gdy oS obrotu nie jest
stała tzn. kierunek wektora zmienia się) przySpieszenie kątowe ma inny kierunek
niż prędkoSć kątowa.
3
Energia kinetyczna bryły sztywnej
Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej rozumianej jako układ (zbiór) n
sztywno ze sobą połączonych punktów materialnych równa się sumie energii kine-
tycznych tych punktów materialnych:
n
i i
Ek , (4)
m 2
2
i 1
gdzie mi , i oznaczają odpowiednio masę i szybkoSć liniową i-tego punktu mate-
rialnego bryły (i 1, 2, ... n).
W ruchu postępowym bryły szybkoSci liniowe wszystkich jej punktów są takie
same, zatem w ruchu postępowym:
2 n m 2
Ek m1 , (5)
22
i
gdzie m mi jest masą całej bryły.
i
W ruchu obrotowym wokół stałej osi wartoSci prędkoSci liniowych i różnych
punktów bryły są różne ale można je łatwo powiązać z szybkoScią kątową bryły
(wzór (6)):
i ri , (6)
gdzie ri jest odległoScią i-tego punktu od osi obrotu. Po podstawieniu (6) do (4)
otrzymujemy:
2 n
Ek m1r12 . (7)
2
i 1
4
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
Suma, która występuje w tym wzorze charakteryzuje bryłę jest miarą bez-
władnoSci ciała w jego ruchu obrotowym wokół stałej osi (spełnia taką rolę w ruchu
obrotowym jak masa w ruchu postępowym). Oznaczamy ją literą I i nazywamy mo-
mentem bezwładnoSci bryły względem danej osi:
n
I miri2 . (8)
i
Wprowadzając to oznaczenie otrzymujemy wzór na energię kinetyczną ruchu
obrotowego o postaci analogicznej do znanej dla ruchu postępowego:
I 2
Ek . (9)
2
Nie jest to jednak pełna analogia. Zdefiniowany przez nas moment bezwład-
noSci bryły nie jest wielkoScią tak uniwersalną jak masa zależy on w istotny
sposób od tego wokół jakiej osi obraca się bryła.
Jeżeli w jakimS układzie odniesienia ruch bryły można traktować jako złożenie
ruchu postępowego i obrotowego wokół istalonej osi, to w tym układzie odnie-
sienia całkowita energia kinetyczna bryły równa się sumie energii kinetycznych obu
rodzajów ruchu.
Momenty bezwładnoSci niektórych brył 4
Poniżej podajemy momenty bezwładnoSci prostych brył (jednorodnych) wzglę-
dem osi przechodzących przez Srodek masy tych brył i będących ich osiami
symetrii (m oznacza zawsze masę ciała). Momenty bezwładnoSci wymienione
w punktach a) i b) potrafisz obliczyć samodzielnie, korzystając z diefinicji (8) po-
zostałe podajemy jako użyteczną informację.
R
O
a) Cienka pętla kołowa o promieniu r; oS obrotu prosto-
padła do powierzchni pętli:
2
I mr . (10)
R
b) CienkoScienna rura o promieniu r; oS obrotu wzdłuż osi
geometrycznej rury:
2
I mr . (11)
c) Prostoliniowy cienki pręt o długoSci l; oS obrotu prosto-
oS
padła do pręta:
1
1
1
I ml2. (12)
l
l
2
12 2
5
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
oS
d) Walec pełny o promieniu r, oS obrotu wzdłuż osi geo-
R
metrycznej walca:
1
2
I mr . (13)
2
oS
e) Kula pełna o promieniu r:
R
O
2
2
I mr . (14)
5
Z definicji momentu bezwładnoSci bryły (i definicji Srodka masy) wynika jeszcze
jedno bardzo użyteczne twierdzenie (wzór Steinera): moment bezwładnoSci I
ciała względem dowolnej osi równa się sumie momentu bezwładnoSci I0 tego
ciała względem osi równoległej do poprzedniej i przechodzącej przez Srodek
masy ciała oraz iloczynu masy m ciała i kwadratu odległoSci d pomiędzy tymi
osiami:
2
I I0 md . (17)
Wynika stąd, że moment bezwładnoSci ciała względem jakiejS osi przecho-
dzącej przez Srodek masy ciała jest zawsze mniejszy od momentu bezwładnoSci
tego ciała względem dowolnej innej równoległej osi.
ZADANIE
Korzystając z twierdzenia Steinera, oblicz:
a) moment bezwładnoSci pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego koniec,
b) moment bezwładnoSci walca względem jego tworzącej,
c) moment bezwładnoSci kuli względem osi stycznej do jej powierzchni.
Przyczyny zmian ruchu obrotowego. Moment siły
5
Jak wiesz, przyczyną zmiany stanu ruchu postępowego ciała jest zawsze
działanie niezerowej wypadkowej siły. Zastanówmy się, czy działanie siły jest też
warunkiem wystarczającym dla wprawienia bryły w ruch obrotowy lub, ogólniej,
zmiany jej prędkoSci kątowej.
6
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
Na rys. 6 przedstawiono drzwi wahadłowe osadzone na zawiasach. Działająca
na nie siła (np. F1) o kierunku zawartym w płaszczyxnie drzwi, nie spowoduje żad-
nego ruchu, bo zostanie zrównoważona przez siłę działającą na drzwi ze strony
zawiasów. jednak zadziałamy siłą o kierunku prostopadłym do płaszczyzny
JeSli
drzwi (np. F2), to nastąpi obrót drzwi wokół osi przechodzącej przez zawiasy. Zatem
działanie siły na bryłę jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym dla spo-
wodowania obrotu.
oS
z
oS obrotu
F2
F1
O
r
P
F
Rys. 6 Rys. 7
Wyobraxmy sobie, że bryła przedstawiona na rys. 7 może się obracać wokół osi
przechodzącej przez punkt O. Punkt O jest punktem przecięcia z osią obrotu
płaszczyzny zawierającej wektor siły F i prostopadłej do osi.
Oznaczmy literą P punkt zaczepienia siły F. Wektor o początku w
punkcie O
i końcu w punkcie P oznaczmy przez r . Iloczyn wektorowy wektorów r i F nazywamy
momentem siły F względem osi z i oznaczamy M.
WartoSć momentu siły dana jest wzorem:
M r F sin ,
gdzie jest kątem między wektorami r i F.
Aby zmienić stan ruchu obrotowego bryły, działająca na nią siła musi mieć nie-
zerowy moment względem osi obrotu, a więc kąt musi być różny od zera i od180 .
Dla danej wartoSci siły i danego r moment siły ma wartoSć największą, gdy siła
działa prostopadle do wektora r . Wówczas sin sin( 2) 1 i M rF.
Kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny utworzonej
przez wektory r i F, a jego zwrot zgodny z regułą Sruby prawoskrętnej. Moment siły
ma więc kierunek osi, wokół której obraca się bryła, a zwrot zgodny ze zwrotem
przySpieszenia kątowego (rys. 8).
Praca W momentu siły przy obrocie ciała o kąt :
W M (18)
jest wykonana w pewnym czasie t. Zatem dzieląc obie strony wzoru (18) przed t
możemy obliczyć szybkoSć wykonywania tej pracy, czyli moc Srednią PSr:
W
PSr M M Sr (19)
t t
7
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
z
M
O
r
P
F
Rys. 8
Moc Srednia w ruchu obrotowym wokół stałej osi równa się iloczynowi wartoSci
wypadkowego momentu sił względem osi i Sredniej szybkoSci kątowej bryły.
6
Moment pędu bryły i prawa dynamiki ruchu obrotowego
Rozważmy ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony pewnej bryły i obliczmy
przyrost Ek jej energii kinetycznej w czasie t, w którym wartoSć prędkoSci kąto-
wej bryły roSnie od wartoSci 1 do 2:
I 2 I 2
I
2 1
Ek ( 2 1)( 2 1) (20)
2 2 2
Ponieważ ruch jest jednostajnie przyspieszony, więc Srednia szybkoSć kątowa
1 2
Sr .
2
Ek I ( 2 1) Sr . (21)
Z drugiej strony, zmiana energii kinetycznej bryły równa się pracy wykonanej
przez wypadkowy moment sił:
Ek M Sr t , (22)
skąd:
M t I 2 I 1 . (23)
Widzimy, że iloczyn wartoSci momentu siły i czasu jego działania równa się
zmianie wielkoSci fizycznej L I . Ta wielkoSć charakteryzuje bryłę w ruchu
obrotowym i nazywa się wartoScią momentu pędu bryły. Moment pędu L bryły ma
taki sam kierunek i zwrot jak wektor prędkoSci kątowej:
L I . (24)
Dzieląc obie strony równoSci (31) przez t otrzymujemy (w zapisie wekto-
rowym):
L
M , (25)
t
gdzie L jest przyrostem wektora momentu pędu.
8
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
Uzyskane prawo zawiera bardzo istotną informację. Wynika z niego, że wypad-
kowy moment sił działających na bryłę sztywną jest równy szybkoSci zmian mo-
mentu pędu tej bryły. JeSli więc wypadkowy moment sił jest równy zeru, to moment
pędu bryły nie ulega zmianie. Wniosek ten nazywamy prawem zachowania mo-
mentu pędu. Dla układu obracających się ciał zmiana momentu pędu może oczy-
wiScie nastąpić tylko w wyniku działania sił (o niezerowych momentach względem
osi obrotu) pochodzących spoza tego układu.
Wzór (25) jest zupełnie ogólny tzn. słuszny bez zastrzeżenia o stałoSci osi
obrotu, jednak jego powszechnie używane przekształcenie (nazywane II zasadą
dynamiki ruchu obrotowego) już nie:
I
M ,
t
M I . (26)
Zapamiętaj, że powyższy związek jest słuszny tylko w przypadku, gdy oS obrotu
pokrywa się z osią symetrii bryły jednorodnej.
PRZYKŁAD 1
Na krążku o masie M i promieniu R (rys. 9)
zawieszono na nierozciągliwej, cienkiej,
nieważkiej lince dwa obciążniki o masach m1 i
R
m2(m2 m1)i puszczono je. Współczynnik tarcia
M
statycznego linki o krążek jest tak duży, że
linka nie Slizga się po krążku, lecz powoduje
jego obrót.
a) Obliczymy wartoSć przyspieszenia ukła-
du tych obciążników, nie uwzględniając bez-
władnoSci krążka. Wypadkowa sił zewnętrznych
F1 i F2 powoduje ruch postępowy układu ciał, m1 m2
nadając mu przyspieszenie
m1g
F
wyp
m2g
a .
m1 m2
Rys. 9
|F | m2g m1g (m2 m1)g,
wyp
więc
m2 m1
a g.
m2 m1
b) Uwzględnimy teraz bezwładnoSć krążka. Zastosujemy drugą
zasadę dynamiki dla ruchu postępowego obciążników i dla ruchu ob-
rotowego krążka. Otrzymamy w ten sposób układ trzech równań.
9
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
Zwróć uwagę, że krążek obraca się zgodnie
x
ze wskazówkami zegara ruchem obrotowym przy-
spieszonym na skutek tego, że siły napięcia
linki po obu stronach mają różne wartoSci,
zatem wypadkowy moment sił działających na
M
krążek jest różny od zera. Wyznacz zwroty
R
y
momentów tych sił i sprawdx, że moment siły N2
jest zwrócony pod rysunek, a moment siły N1
N1
do nas.
N2
Obieramy związany z laboratorium układ
współrzędnych xy o początku w Srodku krążka
N'
1
i o osiach zwróconych tak, jak pokazuje ry-
N'
2
sunek 10 (oS y jest prostopadła do płaszczyz-
m1
ny rysunku i zwrócona pod rysunek).
Oto równania ruchu:
m2
m1g
dla obciążnika o masie m1:
N1 m1g m1a,
m2g
dla obciążnika o masie m2:
=
N' N
1 1
=
N2 m2g m2a, N' N2
2
dla krążka o masie M i promieniu R:
Rys. 10
N2R N1R J .
a
Jednak N1 N1, N2 N2 i , bo a jest wartoScią przyspie-
R
szenia stycznego punktu na obwodzie krążka. Zatem
N1 m1g m1a, N2 m2g m2a,
a
(N2 N1)R J .
R
Obliczając z dwóch pierwszych równań N1 i N2 i podstawiając te
wyrażenia do trzeciego, otrzymujemy wartoSć przyspieszenia układu
(m2 m1)g (m2 m1)g
MR2
a lub, wstawiając J , a .
J M
2
m1 m2 m1 m2
R2 2
Otrzymane wyrażenie wskazuje, że gdy M m1 m2 wynik jest
taki sam, jak poprzednio.
10
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
O analogiach między ruchem postępowym i obrotowym 7
Można powiedzieć, że analogie między wielkoSciami i ich wzajemnymi związ-
kami w opisie ruchu postępowego i obrotowego są bardzo łatwe do zauważenia.
Poniżej podano w tabeli zestawienie wybranych analogonów. Zestawienie to może
być użyteczne dla zapamiętania np. postaci praw. Jednak z wszelkimi wnioskami
czy ogólnieniami trzeba tu być nader ostrożnym! Rozumowanie przez analogię
może być zawodne!
Ruch postępowy Ruch obrotowy
droga s droga kąta
prędkoSć liniowa prędkoSć kątowa
masa m moment bezwładnoSci I
pęd p
moment pędu L
siła F moment siły M
p
L
uogólniona postać II zasady dynamiki F
M
t
t
m 2 I 2
energia kinetyczna
2 2
moc P F Sr P M Sr
Złożenie ruchu postępowego i obrotowego toczenie 8
WspominaliSmy już, że toczenie się kuli, walca albo obręczy możemy rozpatry-
wać jako złożenie ruchu postępowego względem podłoża i obrotowego wokół osi
symetrii. Będziemy rozważać toczenie się bez poSlizgu. W takim przypadku punkt
bryły, stykającej się w danej chwili z podłożem ma w tej chwili prędkoSć względem
podłoża równą zeru. Co wynika z tego faktu? Każdy punkt bryły w ruchu złożonym
ma prędkoSć równą sumie dwóch prędkoSci ruchu postępowego i obrotowego
(tylko punkty leżące na osi nie poruszają się po okręgu).
Skoro wypadkowa prędkoSć punktu A (rys. 11) jest równa zeru, oznacza to, że
prędkoSć liniowa tego punktu (i wszystkich leżących w odległoSci R od osi obrotu)
post =
O
obr R post
A
Rys. 11
11
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
w ruchu obrotowym ma taką samą wartoSć, jak prędkoSć w ruchu postępowym
bryły, czyli jak prędkoSć, z którą przesuwa się jej oS:
obr , ale obr R , zatem R .
Taki jest związek między szybkoScią przesuwania się bryły a szybkoScią
kątową jej obrotu . (Zastanów się, która wielkoSć byłaby większa: , czy R,
gdyby bryła toczyła się z poSlizgiem).
Jaką prędkoSć wypadkową mają inne punk-
2
D
ty bryły, np. te, które leżą na pionowej Srednicy,
zaznaczonej na rysunku 12? Na przykład punkt
1,5
C C ma prędkoSć wypadkową złożoną z dwóch
prędkoSci o zgodnych zwrotach i wartoSciach
O
równych: w ruchu postępowym i w ruchu
0,5
R
B
obrotowym obr C , zatem
2
A
R
C 15 .
,
Rys. 12
2 2
Zwróć uwagę, że prędkoSć obr B jest zwrócona w lewo, ma wartoSć równą
R
, więc prędkoSć wypadkowa punktu B jest zwrócona w prawo i ma war-
2 2
toSć 05 . WyjaSnij, dlaczego wypadkowa prędkoSć punktu D wynosi 2 .
,
Bryła w danej chwili zachowuje się tak, jakby wykonywała tylko obrót wzglę-
dem tzw. chwilowej osi obrotu A, równoległej do osi O (rys. 13). Ruch toczącej
się bez poSlizgu bryły jest równoważny takiemu obrotowi.
A
Rys. 13
PRZYKŁAD 2
Z równi pochyłej o wysokoSci h stacza się bez poSlizgu walec
o masie m i promieniu poprzecznego przekroju R. Obliczmy wartoSć
prędkoSci ruchu postępowego walca u podstawy równi (rys. 14)
Zadanie rozwiążemy dwoma sposobami.
Sposób I
Potraktujmy ruch staczającego się walca jako złożenie dwóch
ruchów: obrotowego względem osi symetrii i postępowego z pręd-
koScią równą prędkoSci Srodka masy.
12
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
R
h
Rys. 14
Stosujemy drugą zasadę dynamiki dla obu ruchów i na jej pod-
stawie piszemy równania ruchu. Z równią wiążemy układ xy (oS y
zwrócona jest pod rysunek). przySpieszenie kątowe w tym układzie
nadaje walcowi moment siły tarcia, bo momenty pozostałych sił (mg
i Fs) lub też F , która je zastępuje, są równe zeru linie
zsuw
działania tych sił przecinają obrotu (rys. 15). Moment siły
oS
tarcia ma wartoSć TR, bo T R i jest zwrócony tak jak oS y
(sprawdx to !).
TR J0 . (27)
Fs
y
O
T
Fzsuw
R
h
mg
x
Rys. 15
Ruch postępowy walca odbywa się wzdłuż osi x. Wypadkowa sił
działających na walec ma na tej osi współrzędne: mgsin T.
mgsin T ma, (28)
gdzie a jest współrzędną przySpieszenia ruchu postępowego walca.
a
ZałożyliSmy, że ruch odbywa się bez poSlizgu, więc .
R
Z układu równań (27) i (28), o dwóch niewiadomych a i T:
a
TR J0 ,
R
mgsin T ma
po przeprowadzeniu obliczeń otrzymujemy wyniki:
13
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
mgsin mgJ0 sin
a . (29)
J0 , T
mR2 J0
m
R2
Zauważ, że wyniki te są doSć ogólne, stosują się dla dowolnej
bryły obrotowej, która może się staczać. Po wstawieniu momentu
J0 mR2
,
bezwładnoSci walca otrzymujemy
2
2 1
a gsin , T mgsin .
3 3
Przyjrzyj się tym wynikom i wyciągnij samodzielnie wnioski. Są
one bardzo pouczające, w szczególnoSci te, które dotyczą war-
toSci siły tarcia.
Ruch postępowy bryły odbywa się z przySpieszeniem o wartoSci a,
at2 h
zatem s , gdzie t , zatem 2as; s , więc osta-
2 a sin
tecznie szybkoSć końcowa Srodka dowolnej bryły obrotowej wyniesie
2mgh 4
J0, a walca gh.
3
m
R2
Sposób II
Potraktujmy teraz ruch staczającego się bez poSlizgu walca
jako ruch obrotowy wokół chwilowej osi obrotu A (rys. 16). Teraz
do obliczenia wartoSci przySpieszenia bryły wystarczy jedno
równanie. Różny od zera moment siły względem punktu A ma tylko
Fs
y
T
R
A
h
mg
x
Rys. 16
siła ciężkoSci. Moment tej siły nadaje bryle w tym ruchu
przySpieszenie kątowe .
OS y jak poprzednio jest prostopadła do rysunku i zwrócona pod
rysunek. Sprawdx, że moment siły mg jest zwrócony zgodnie z tą
osią. Jego wartoSć wynosi
mgRsin mgRsin(180 ) mgRsin .
14
Mechanika bryły sztywnej Uzupełnienie
Druga zasada dynamiki przyjmuje więc postać:
mgRsin J ,
a
gdzie , bo ruch odbywa się bez poSlizgu. W tym przypadku mo-
R
ment bezwładnoSci bryły J musimy obliczyć z twierdzenia Steinera:
a
J J0 mR2. mgRsin (J0 mR2) .
R
Obliczona z tego wzoru wartoSć przySpieszenia bryły wynosi:
mgsin
a (30)
J0 ,
m
R2
i jest oczywiScie taka sama, jak w sposobie I. SzybkoSć końcową
obliczamy tak, jak poprzednio.
Traktując ruch bryły jako czysty ruch obrotowy, nie obliczy-
my wartoSci siły tarcia, siła ta bowiem nie występuje w równaniu
ruchu jest zaczepiona na osi obrotu.
Do wzoru (30) wstaw odpowiednie momenty bezwładnoSci dla kuli
i obręczy i oblicz wartoSć przySpieszenia, z jakim staczają się
te bryły z równi.
Sposób III
SzybkoSć końcową walca możemy także obliczyć, korzystając
z zasady zachowania energii mechanicznej.
Walec rozpoczynający ruch na szczycie równi ma (względem
podstawy równi) energię potencjalną ciężkoSci Ep mgh. Podczas
ruchu następuje przemiana tej energii w energię kinetyczną ruchu
postępowego i obrotowego:
E Ek,postępowego Ek,obrotowego,
p
m 2 J0 2
mgh .
2 2
( szybkoSć ruchu postępowego, a szybkoSć ruchu obrotowego
u podstawy równi)
Ponieważ w ruchu bez poSlizgu w każdej chwili R, to:
m 2 J0 2 2 J0 2mgh
m
mgh , skąd:
J0.
2 2R2 2 R2
m
R2
1
Po wstawieniu J0 mR2 otrzymamy:
2
4
gh.
3
15
Uzupełnienie Mechanika bryły sztywnej
Zwróć uwagę, że przeprowadzone rozumowania i uzyskany wynik
w postaci:
2mgh
J0
m
R2
będą takie same dla każdej bryły obrotowej o promieniu R. Wsta-
wiając do tego wzoru odpowiednie momenty bezwładnoSci J0, otrzy-
mamy szybkoSci końcowe kuli walca i obręczy.
Znając szybkoSć końcową i kąt nachylenia równi, można obliczyć
wartoSci przySpieszeń, z którymi staczają się te bryły bez
poSlizgu.
ZADANIA
1. WyjaSnij, dlaczego jajko ugotowane na twardo można odróżnić od surowego, wprawiając je w ruch
obrotowy na stole.
2. Oblicz moment bezwładnoSci kwadratowej ramki o boku a, wykonanej z cienkiego drutu o masie m,
obracającej się:
a) wokół osi przechodzącej przez Srodki przeciwległych boków,
b) wokół jednego z boków.
3. Na jednorodny krążek o masie M 0,5 kg i promieniu R 005 m R
,
nawinięto cienką, nierozciągliwą i nieważką linkę, która nie Slizga się
po krążku (rys. 17). Krążek może obracać się bez oporów wokół
M
osi przechodzącej przez jego Srodek prostopadle do powierzchni
(rys. obok). Na końcu linki zawieszono obciążnik o masie
m
m 025 kg i puszczono. Przyjmując g 10 m s2, oblicz:
,
a) wartoSć siły napinającej linkę,
Rys. 17
b) wartoSć przySpieszenia kątowego krążka,
c) wartoSć składowej stycznej przySpieszenia liniowego punktów na
obwodzie krążka,
d) szybkoSć kątową krążka i szybkoSć liniową punktów na jego obwodzie uzyskaną po upływie
czasu t 2s od rozpoczęcia ruchu.
4. Oblicz stosunek energii kinetycznej ruchu obrotowego do:
a) całkowitej energii kinetycznej,
b) energii kinetycznej ruchu postępowego,
dla walca, kuli i cienkoSciennej obręczy, toczących się z prędkoScią v bez poSlizgu po poziomej
powierzchni. Czy wyniki zmienią się, gdy ruch będzie odbywał się wzdłuż równi pochyłej? Uzasadnij
odpowiedx.
16
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad25 bryła sztywnawyklad21 bryła sztywna6 bryla sztywnawyklad23 bryła sztywna(Fizyka ćwiczenia Bryła sztywna [tryb zgodności])6 bryla sztywna [poprawiony]Dynamika bryla sztywnaFizyka I Bryła sztywna04 Bryla sztywna[2]6 bryla sztywna6 bryla sztywna [poprawiony]Fizyka Uzupełniająca Bryła sztywna6 bryla sztywna(olalem zyroskop)Bryła sztywnawykład 8 bryła sztywnawięcej podobnych podstron