ÿþR u c h b r y By s z t y w n e j ,
d y n a m i k a r u c h u o b r o t o w e g o
O P I S R U C H U B R Y AY S Z T Y W N E J
B r y B s z t y w n a n a z y w a m y z b i ó r p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h ( n i e s k o Dc z e n i e w i e l u ) ,
k t ó r y c h w z a j e m n e p o Bo \e n i e n i e z m i e n i a s i p o d w p By w e m d z i a Ba j c y c h s i B.
N
Zr o d e k m a s y : r i m i
"
i = 1
=
R
s m
N
- d l a u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
m i
"
i = 1
n
r i
""m i
+"r d m
i = 1
=
R
s m
=
R
s m
- d l a b r y By s z t y w n e j m c
m c
R u c h p o s t p o w y :
n
R u c h b r y By s z t y w n e j m o \n a r o z Bo \y n a : r u c h p o s t p o w y
M a s m = F i = F z e w n .
"
[r o d k a m a s y i r u c h o b r o t o w y
i = 1
Zr o d e k m a s y u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h p o r u s z a s i w t a k i s p o s ó b , j a k b y c a Ba m a s a
u k Ba d u b y Ba s k u p i o n a w [r o d k u m a s y i j a k b y w s z y s t k i e s i By z e w n t r z n e n a D d z i a Ba By .
1
R u c h o b r o t o w y ( p r z y p a d e k s z c z e g ó l n y L | | É)
É
É
É
D l a e l e m e n t a r n e j m a s y "m i :
L i = r i × p i
- m o m e n t p d u :
M i = r i × F i
- m o m e n t s i By :
d L i
M i =
d t
D l a c a Be j b r y By - o b r ó t w o k ó B o s i ( z a k Ba d a j c L | | É) :
É
É
É
ëø öø
2
v i = É× r i
L = "m i v i = "m i ( r ¥"i É) = ìø "m i ÷øÉ
"r ¥"i "r ¥"i "r ¥"i
i i íø i øø
v i = Ér i s i n ¸i = Ér ¥" i
2
I = "m i
"r ¥"i
i
m o m e n t
L = ™É
b e z w Ba d n o [c i :
2
I = d m
+"r
R u c h o b r o t o w y ( p r z y p a d e k s z c z e g ó l n y L | | É)
É
É
É
I I z a s . d y n a m i k i N e w t o n a d l a
d L
M = r u c h u o b r o t o w e g o o g ó l n i e
d t
s p e Bn i o n a
J e [l i : t o :
L = ™É
d L d ( I É) d É
M = = = I = I µ
d t d t d t
M = I µ
2
R u c h o b r o t o w y o g ó l n i e
o g ó l n i e g d y :
L | | É
ëø I x x I x y I x z Éx
öøëø öø
ìø ÷øìø ÷ø
L = Î É = I I I y z Éy ÷ø
ìø ÷øìø
y x y y
ìø
I z x I z y I z z ÷øìøÉz ÷ø
íø øøíø øø
d L
I I z a s . d y n a m i k i N e w t o n a
M =
d t
D l a k a \d e j b r y By s z t y w n e j m o \n a z d e f i n i o w a t r z y p r o s t o p a d Be o s i e , z w a n e g Bó w n y m i
o s i a m i b e z w Ba d n o [c i .
" M o m e n t b e z w Ba d n o [c i c i a Ba w z g l d e m j e d n e j z t y c h o s i j e s t m a k s y m a l n y , w z g l d e m
d r u g i e j j e s t m i n i m a l n y , z a [ w z g l d e m t r z e c i e j m a w a r t o [ p o [r e d n i : I I e" I I I e" I I I I ,
" J e [l i c i a Bo m a k s z t a Bt s y m e t r y c z n y g Bó w n e o s i e b e z w Ba d n o [c i s t a k \e o s i a m i
s y m e t r i i c i a Ba .
R u c h o b r o t o w y w o k ó B o s i g Bó w n y c h
Î
T r a n s f o r m u j e m y t e n s o r d o u k Ba d u , k t ó r e g o o s i e w s p ó Br z d n y c h ( x , y , z ) s r ó w n o l e g Be
d o o s i g Bó w n y c h b e z w Ba d n o [c i :
ëø I x x I x y I x z Éx I ' x ' x ' 0 0 Éx '
öøëø öø
ëø öøëø öø
ìø ÷øìø ÷ø
ìø ÷øìø ÷ø
L = Î É = I I I y z Éy ÷ø L ' = Î ' É' = 0 I ' y ' y 0
ìø ÷øìø
y x y y ìø ÷øìøÉ ÷ø
y '
ìø
ìø
I z x I z y I z z ÷øìøÉz ÷ø 0 0 I ' z ' z ' ÷øìøÉz ' ÷ø
íø øøíø øø
íø øøíø øø
Æ
L ' = I ' x ' x ' Éx ' î ' + I ' y ' y ' Éy ' 5' + I ' z ' z ' Éz ' k '
K i e d y L j e s t r ó w n o l e g By d o É ?
É
É
É
1 ) W o g ó l n y m p r z y p a d k u L n i e j e s t r ó w n o l e g By
d o É.
É
É
É
2 ) L j e s t r ó w n o l e g By d o É w ó w c z a s , g d y o s i
É
É
É
o b r o t u j e s t j e d n a z g Bó w n y c h o s i
b e z w Ba d n o [c i ( w t e d y : L = ™É i
M = I µ
g d z i e I j e s t w a r t o [c i s k a l a r n ) .
3
P r z y k Ba d o w e m o m e n t y b e z w Ba d n o [c i w o k ó B o s i g Bó w n y c h
P r z y k Ba d : l i c z e n i e m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i p r t a o m a s i e M i d Bu g o [c i L .
M o m e n t b e z w Ba d n o [c i e l e m e n t u
o m a s i e d m w y n o s i x 2 d m
L / 2
m c I = x 2 d m
+"
d m = d x
j e \e l i p r t m a s t a B g s t o [:
L - L / 2
L / 2
m c L / 2 m c x 3 m c L 2
I = x 2 d x = =
+"
L L 3 1 2
- L / 2
- L / 2
4
T w i e r d z e n i e S t e i n e r a :
2
™ = ™0 + m c d
E n e r g i a k i n e t y c z n a w r u c h u o b r o t o w y m
" o g ó l n i e , g d y w e k t o r É n i e j e s t r ó w n o l e g By d o \a d n e j z o s i
É
É
É
g Bó w n e j ( x , y , z s g Bó w n y m i o s i a m i b e z w Ba d n o [c i ) :
1
2 2 2
E k = ( I ' x ' x ' Éx ' + I ' y ' y ' Éy ' + I ' z ' z ' Éz ' )
2
" p r z y p a d e k s z c z e g ó l n y , g d y w e k t o r É j e s t r ó w n o l e g By d o
É
É
É
j e d n e j z o s i g Bó w n y c h b e z w Ba d n o [c i ( c z y l i L | | É) :
É
É
É
1 1 1 ëø öø
2
E k = v i 2 = ( r ¥"i É) 2 = ìø r ¥"i ÷ø É2
""m i ""m i ""m i
2 2 2
i i íø i øø
1
2
E k = I É
2
5
A n a l o g i e r u c h u o b r o t o w e g o d o r u c h u p o s t p o w e g o
R u c h p o s t p o w y R u c h o b r o t o w y
Õ, É, µ, I
r , v , a , m
L = r × p
p = m v
M = r × F
F
d L
d p
M = , L = ™É
F =
d t
d t
M = I µ
F = m a
1
1
E k = I É2
E k = m v 2
2
2
p r z y p a d e k s z c z e g ó l n y , g d y w e k t o r É j e s t r ó w n o l e g By d o j e d n e j z o s i g Bó w n y c h
É
É
É
b e z w Ba d n o [c i ( c z y l i L | | É)
É
É
É
P R Z Y K AA D Y R U C H U B R Y AY S Z T Y W N E J
P r z y k Ba d r u c h u ( 1 ) : W a h a d Bo f i z y c z n e
m o m e n t s i By I I z a s a d a d y n a m i k i
p o w o d u j c y N e w t o n a d l a b r y By
r u c h : s z t y w n e j :
d 2 ¸
M = - m g d s i n ¸
M = I µ = I
d t 2
c z y l i :
d 2 ¸
I = - m g d s i n ¸
d t 2
d l a m a By c h w y c h y l e D
¸:
d 2 ¸ m g d
s i n ¸ H" ¸
p o n i e w a \:
+ ¸ = 0
d t 2 I
d 2 ¸
2
+ É0 ¸ = 0
r o z w i z a n i e r ó w n a n i a o s c y l a t o r a d r g a D h a r m o n i c z n y c h :
d t 2
m g d I
¸ ( t ) = ¸0 c o s ( É0 t + Õ)
T = 2 À
É0 =
m g d
I
6
P r z y k Ba d r u c h u ( 3 ) : T o c z e n i e s i ( b e z p o [l i z g u ) p o r ó w n i p o c h y Be j
r ó w n a n i a r u c h u
a = µR
T o c z e n i e b e z p o [l i z g u :
r u c h p o s t p o w y
r u c h o b r o t o w y
F R - m g c o s ¸ = 0
a
M = R T = I S M . µ = I S M
m g s i n ¸ - T = m a
R
n p . d l a w a l c a :
m g s i n ¸
a =
2
m + I S M / R 2
a = g s i n ¸
3
Z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i
r u c h p o s t p o w y
r u c h o b r o t o w y
1 1
2
E k p = m v S M E k o = I S M É2
2 2
1 1
2
m g h = m v S M + I S M É2
2 2
T o c z e n i e b e z p o [l i z g u
v = ÉR
4
m g h
v S M = g h
v S M = 2 n p . d l a w a l c a
3
m + I S M / R 2
K O N S E K W E N C J E Z A S A D Y Z A C H O W A N I A
M O M E N T U P D U I D R U G I E J Z A S A D Y D Y N A M I K I
D L A R U C H U O B R O T O W E G O
d L
M = = 0 Ò! L = c o n s t .
d t
L = ™É = c o n s t .
É
É
É
7
1 . S w o b o d n y o b r ó t w o k ó B o s i n i e r ó w n o l e g Be j d o \a d n e j z o s i g Bó w n y c h
M = 0 L = c o n s t .
P r e c e s j a b k a s w o b o d n e g o
P r e c e s j a o s i o b r o t u Z i e m i :
" Z i e m i a n i e j e s t i d e a l n a k u l i n i e o b r a c a s i w o k ó B
o s i g Bó w n e j . D l a t e g o j e j o [ o b r o t u p o d l e g a p r e c e s j i .
" Z m i a n y p o Bo \e n i a o s i o b r o t u , s b a r d z o n i e w i e l k i e
m c R 2
m c R 2
( o k . 1 5 m ) .
I x ' = I = I z ' =
y '
4 2
" O k r e s o b i e g u w y n o s i [r e d n i o o k . 4 2 7 d n i .
2 . S t a Ba w y m u s z o n a o [ o b r o t u
L `" c o n s t .
d L
M = `" c o n s t .
d t
O b r ó t p r t a w o k ó B o s i n i e s w o b o d n e j ( p o l e w e j ) i s w o b o d n e j ( p o p r a w e j )
O b r ó t w o k ó B o s i n i e s w o b o d n e j : G d y z a p o m o c Bo \y s k u s t a l i m y w p r z e s t r z e n i o [ o b r o t u ( n a r z u c i m y
n a n i w i z y ) , w e k t o r m o m e n t u p d u b d z i e d \y B d o z m i a n y o r i e n t a c j i ; s p o w o d u j e t o p o w s t a n i e s i B
o d d z i a By w a n i a m i d z y o s i a Bo \y s k a m i . M o m e n t y s i B r e a k c j i Bo \y s k s p o w o d u j p r e c e s j w e k t o r a L .
O b r ó t w o k ó B o s i s w o b o d n e j : N i e p o t r z e b a Bo \y s k p o n i e w a \ m o m e n t y s i B s z e r o w e .
W u k Ba d z i e o b r a c a j c y m s i s i Ba o d [r o d k o w a d \y d o r o z m i e s z c z e n i a m a s y j a k n a j d a l e j o d o s i
o b r o t u ( m a k s y m a l n y m o m e n t b e z w Ba d n o [c i ) . S t a b i l n y j e s t s t a n o d p o w i a d a j c y z e r o w e m u
m o m e n t o w i s i B o d [r o d k o w y c h a t y m s a m y m z e r o w y m s i Bo m r e a k c j i Bo \y s k .
8
3 . P r e c e s j a p o d w p By w e m d z i a Ba j c e g o m o m e n t u b e z w Ba d n o [c i
P r e c e s j a b k a p o d w p By w e m s i By c i \k o [c i
M = r × m g
"L
M =
"t
M = Ép L s i n ¸
"Õ "L 1 M
Ép = E" =
"t L s i n ¸ "t L s i n ¸
M = É × L
p
Z j a w i s k o p r e c e s j i m o m e n t u m a g n e t y c z n e g o j e s t p o d s t a w r ó \n y c h t e c h n i k
d o [w i a d c z a l n y c h j a k n p . m a g n e t y c z n y r e z o n a n s j d r o w y ( N M R )
P r e c e s j a o s i Z i e m i s p o w o d o w a n a m o m e n t e m s i By g r a w i t a c y j n e j
Z i e m i a n i e j e s t b k i e m s w o b o d n y m .
N i e j e d n o r o d n o [c i p o l a g r a w i t a c y j n e g o w
k t ó r y m s i p o r u s z a ( n i e z e r o w y m o m e n t s i B
g r a w i t a c j i ) p o w o d u j p r e c e s j a s t r o n o m i c z n
w e k t o r a m o m e n t u p d u ( w p r z y b l i \e n i u
*
r ó w n o l e g B d o o s i o b r o t u Z i e m i ) . O k r e s
p r e c e s j i w y n o s i o k . 2 6 0 0 0 l a t .
D o d a t k o w o p o l e g r a w i t a c y j n e z m i e n i a s i w
c z a s i e ( w p By w K s i \y c a ) c o p o w o d u j e n u t a c j .
*
u w a g a w p u n k c i e 1 . o p i s a n o n i e w i e l k p r e c e s j o s i o b r o t u Z i e m i w o k ó B k i e r u n k u w e k t o r a
m o m e n t u p d u ( Z i e m i a n i e j e s t i d e a l n a k u l i n i e o b r a c a s i w o k ó B o s i g Bó w n e j )
9
[y r o s k o p
J e [l i \y r o s k o p j e s t w r ó w n o w a d z e p r z y L = 0 t o
b d z i e t a k \e w r ó w n o w a d z e d l a L `" 0 .
J a k z a c h o w a s i \y r o s k o p g d y z w i k s z y m y l u b
z m n i e j s z y m y p r z e c i w w a g ?
M = É × L
p
C z s t o [ p r e c e s j i
( p o d o b n i e j a k d l a
b k a ) :
M m g r
Ép = =
L s i n ¸ L
¸ = 9 0 o
j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o
o d j t e j / d o d a n e j m a s y m .
L = Î É
U Z U P E AN I E N I E W Y P R O W A D Z E N I E Z W I Z K U
v i = É× r i
( N A D O B O W I Z K O W O ! )
L = = × p i = × "m i v i ) = r i × ( É × r i ) ]
"L i "r i "( r i "[ "m i
i i i i
L = [ "m i ( É Å" r i 2 - r i ( r i " É) ) ]
"
i
A × ( B × C ) = B ( A " C ) - C ( A " B )
L = [ "m i ( Ér i 2 - r i ( x i Éx + y i Éy + z i Éz ) ) ]
"
i
ñø
x ""m i ""m i ""m i ""m i
ôøL = Éx r i 2 - Éx x i 2 - Éy x i y i - Éz x i z i
i i i i
ôø
ôøL = Éy r i 2 - Éx y i x i - Éy y i 2 - Éz y i z i
òø
y ""m i ""m i ""m i ""m i
i i i i
ôø
ôøL z = Éz r i 2 - Éx z i x i - Éy z i y i - Éz z i 2
""m i ""m i ""m i ""m i
ôø
óø i i i i
ëø I x x I x y I x z Éx
öøëø öø
L x = Éx ( r i 2 - x i 2 ) - Éy x i y i - Éz x i z i
""m i ""m i ""m i
ìø ÷øìø ÷ø
i i i
1 4 4 2 4 4 1 4 2 4 1 4 2 4
3 3 3
L = Î É = I I I y z Éy ÷ø
ìø ÷øìø
y x y y
I I x y I x z
x x
ìø
I x y = I = - x i y i I z x I z y I z z ÷øìøÉz ÷ø
I x x = ( r i 2 - x i 2 ) = ( y i 2 + z i 2 ) y x ""m i
""m i ""m i íø øøíø øø
i
i i
I x z = I z x = - x i z i
I = ( r i 2 - y i 2 ) = ( x i 2 + z i 2 )
""m i
y y ""m i ""m i
o g ó l n i e :
i L | | É
i i
I z z = ( r i 2 - z i 2 ) = ( x i 2 + y i 2 )
I z y = I = - z i y i
""m i ""m i
y z ""m i
i i i
r i 2 = x i 2 + y i 2 + z i 2
1 0
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad25 bryła sztywnawyklad21 bryła sztywna6 bryla sztywnawyklad23 bryła sztywna(Fizyka ćwiczenia Bryła sztywna [tryb zgodności])6 bryla sztywna [poprawiony]Dynamika bryla sztywnaFizyka I Bryła sztywnalfp1 bryla sztywna04 Bryla sztywna[2]6 bryla sztywna6 bryla sztywna [poprawiony]Fizyka Uzupełniająca Bryła sztywnaBryła sztywnawykład 8 bryła sztywnawięcej podobnych podstron