Bryła sztywna
Fizyka I (B+C)
Wykład XXV:
" Tensor momentu bezwładności i osie główne
" Równania Eulera
" BÄ…k swobodny
Tensor momentu bezwładności
Przypomnienie
Tensor momentu bezwładności pozwala powiązać moment pędu bryły L
z prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É, w przypadku dowolnej bryÅ‚y:
L = Î · É
W ogólnym przypadku symetryczny tensor bezwładności ma
6 niezależnych składowych (wszystkie mogą być różne od zera)
Składowe tensora - współczynniki bezwładności ogólna postać (u, v = x, y, z)
ëÅ‚ öÅ‚
2
Ixx Ixy Ixz
Iuv = mi(´uv ri - uivi)
ìÅ‚
Î = Iyx Iyy Iyz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚


Izx Izy Izz
Iuv = dV Á(r)(´uv r2 - u v)
delta Kroneckera: ´uv = 1 dla u = v i 0 dla u = v

A.F.Żarnecki Wykład XXV 1
Osie główne
W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładności mogą być różne od zera
(tensor symetryczny Ò! 6 niezależnych wielkoÅ›ci)
Okazuje się jednak, że w każdym przypadku można tak obrócić osie układu odniesienia,
żeby elementy pozadiagonalne znikały: (diagonalizacja tensora)
Ixy = Ixz = Iyz = Iyx = Izx = Izy = 0
układ taki definiuje nam osie główne bryły (kierunki własne tensora)
Jeśli bryła ma oś symetrii to będzie ona jedną z osi głównych !
Ò! pozostajÄ… tylko 3 współczynniki diagonalne Ixx, Iyy, Izz (wartoÅ›ci wÅ‚asne)
L = (Lx, Ly, Lz) = (Ixx Éx, Iyy Éy, Izz Éz)
Dla obrotu wokół osi głównej L É
np. É = (É, 0, 0) Ò! L = (IxxÉ, 0, 0) = IxxÉ
A.F.Żarnecki Wykład XXV 2
Tensor momentu bezwładności
Energia kinetyczna
1 1
2
Ek = mi vi = mi É × ri
( )2
2 2
i i
Korzystamy z tożsamości wektorowej:
A × B · C = A · B × C
1
Ò! Ek = mi É · ri × É × ri
[ ( )]
2
i
1 1
Kierunek L jest prostopadły (normalny)
Ek = É L = É Î É
2 2
do powierzchni Ek = const w punkcie É
L = gradÉ Ek(É)
Ek = const - elipsoida w przestrzeni É
1
2 2 2
Ek = ÉxIxx + Éy Iyy + Éz Izz + 2ÉxÉyIxy + 2ÉxÉzIxz + 2ÉyÉzIyz
2
A.F.Żarnecki Wykład XXV 3
Osie główne
Energia kinetyczna w układzie osi głównych
1 1
2 2 2
Ek = É L = (Ixx Éx + Iyy Éy + Izz Éz )
2 2
JeÅ›li naÅ‚ożymy wiÄ™zy narzucajÄ…ce obrót ciaÅ‚a ze staÅ‚a prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É
to przyjmie ono ułożenie odpowiadające maksymalnej energii kinetycznej
Ò! obrót wokół osi o najwiÄ™kszym momencie bezwÅ‚adnoÅ›ci
Ò! maksymalna wartość momentu pÄ™du
Wirujący dysk Wirujący pręt
A.F.Żarnecki Wykład XXV 4
Osie główne
Wirujący łańcuszek
Przybiera kształt obręczy
odpowiadający maksymalnemu momentowi bezwładności
Ò! maksymalnej wartoÅ›ci momentu pÄ™du
Ò! maksymalnej energii kinetycznej
W układzie obracającym się
Siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi obrotu.
Stabilny jest stan odpowiadający minimum energii potencjalnej (siły odśrodkowej)
1
2
Fi = mi É2riÄ„" Ò! Ep,i = - mi É2 rÄ„"
2
1 1
2
Ep = Ep,i = - É2 mi rÄ„" = - É2 I = -Ek
2 2
i i
Minimum energii potencjalnej odpowiada maksimu energii kinetycznej.
W ukÅ‚adzie laboratoryjnym Ò! masa  oddala siÄ™ od osi zgodnie z zasadÄ… bezwÅ‚adnoÅ›ci
A.F.Żarnecki Wykład XXV 5
Równania Eulera
Dotychczas rozpatrywaliśmy ruch obrotowy bryły sztywnej w układzie inercjalnym (LAB).
Wiemy, że składowe tensora bezwładności Πzależą od wyboru układu odniesienia.
Najwygodniejszą postać (diagonalną) tensor przyjmuje w układzie osi głównych.
Układ odniesienia związany z osiami głównymi jest układem
nieinercjalnym - wiruje razem z obracającym się ciałem !
Przejście do tego układu jest jednak bardzo pomocne, jeśli chcemy rozpatrzeć
ogólny przypadek ruch obrotowego (tj. É nie pokrywajÄ…ca siÄ™ z osiÄ… głównÄ…).
Wektor momentu pędu w obracającym się układzie osi głównych (x , y , z ):
L = (Lx , Ly , Lz )
Związek z wektorem momentu pędu w układzie laboratoryjnym (x, y, z):
L = (Lx, Ly, Lz) = Lx ix + Ly iy + Lz iz
ix , iy , iz - wersory związane z osiami głównymi, obracające się razem z bryłą
A.F.Żarnecki Wykład XXV 6
Równania Eulera
Równanie ruchu obrotowego w układzie inercjalnym
dL
= M
dt
Wyrażając L przez współrzędne w układzie obracającym się:
d(Lx ix + Ly iy + Lz iz )
dL
=
dt dt
dLy d iy
dLx dLz d ix d iz
= ix + iy + iz + Lx + Ly + Lz
dt dt dt dt dt dt
d iy
d ix d iz
Pochodne wersorów po czasie: = É × ix , = É × iy , = É × iz
dt dt dt
Otrzymujemy:
dL dL
M = = + É × L
dt dt
A.F.Żarnecki Wykład XXV 7
Równania Eulera
W układzie osi głównych:
L = Ix Éx ix + Iy Éy iy + Iz Éz iz
dÉy
dL dÉx dÉz
= Ix ix + Iy iy + Iz iz
dt dt dt dt
ëÅ‚ öÅ‚
ix iy iz ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
É × L = =
Éx Éy Éz ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ix Éx Iy Éy Iz Éz
= (Iz - Iy ) Éy Éz ix + (Ix - Iz ) Éx Éz iy + (Iy - Ix ) Éx Éy iz
M = Mx ix + My iy + Mz iz
A.F.Żarnecki Wykład XXV 8
Równania Eulera
dL
RozpisujÄ…c równanie ruchu na skÅ‚adowe + É × L = M
dt
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dÉx
ôÅ‚
ôÅ‚
Ix + (Iz - Iy ) Éy Éz = Mx
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dt
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
dÉy



Iy + (Ix - Iz ) Éx Éz = My
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dt
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dÉz
ôÅ‚
ôÅ‚
ół Iz + (Iy - Ix ) Éx Éy = Mz
dt
Opisują zmiany wektora prędkości kątowej w układzie bryły
(w szczególności położenia osi obrotu względem osigłównych)
Ix , Iy , Iz - stałe współczynniki, Mx , My , Mz - funkcje
A.F.Żarnecki Wykład XXV 9
BÄ…k swobodny
Bryła na którą nie działają zewnętrzne momenty sił: bąk swobodny.
Dla uproszczenia rozpatrzmy bÄ…k symetryczny: Ix = Iy = Iz

Wtedy równania Eulera redukują się do:
dÉx Iz - Ix
+ Éz Éy = 0
dt Ix
dÉy
Iz - Ix
- Éz Éx = 0
dt Ix
dÉz
= 0
dt
Pierwsze dwa równania sprowadzają się do równania oscylatora charmonicznego:
d2Éx Iz - Ix

&! =
= -&!2 Éx Éz

dt2 Ix
A.F.Żarnecki Wykład XXV 10
BÄ…k swobodny
Ostatecznie otrzymujemy rozwiÄ…zanie w postaci:
Éx = ÉÄ„" cos(&!t + Ć)
Éy = ÉÄ„" sin(&!t + Ć)
Éz = É =


W ukÅ‚adzie bryÅ‚y, wektor É zatacza stożek wokół osi głównej
Ò! zmianom kierunku z czÄ™stoÅ›ciÄ… &! podlega także wektor momentu pÄ™du L
Okres  precesji
2Ä„ Ix 2Ä„
T = =
&! Iz - Ix É
A.F.Żarnecki Wykład XXV 11
BÄ…k swobodny
Ponieważ Ziemia nie jest idealną kulą
oÅ› obrotu Ziemi podlega precesji.
Zmiany położenia osi obrotu,
 bieguna kinematycznego Ziemi
sÄ… bardzo niewielkie (<"15 m),
ale mierzalne.
Wyniki pomiarów 1952-57 Ò!
Okres obiegu średnio ok. 427 dni.
A.F.Żarnecki Wykład XXV 12
BÄ…k swobodny
W układzie laboratoryjnym L=const (bąk swobodny)
Precesji podlega oś symetrii bryły.
Dwa przypadki:
Ix = Iy > Iz Ix = Iy < Iz
 cygaro  dysk
A.F.Żarnecki Wykład XXV 13
BÄ…k swobodny
Ziemia nie jest  bÄ…kiem swobodnym .
Niejednorodności pola grawitacyjnego
w którym się porusza (niezerowy mo-
ment sił grawitacji) powodują  precesję
astronomicznÄ… osi obrotu Ziemi
(precesję wektora momentu pędu)
schemat Ò!
Okres precesji wynosi ok. 26 000 lat
A.F.Żarnecki Wykład XXV 14
BÄ…k niesymetryczny
Rozpatrzmy ogólny przypadek bąka swobodnego: Ix = Iy = Iz

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy: Ix < Iy < Iz
Równania Eulera nie są symetryczne ! Po przekształceniu:
dÉx dÉx
Ix + (Iz - Iy ) Éy Éz = 0 + kx Éy Éz = 0
dt dt
dÉy
dÉy
Iy + (Ix - Iz ) Éx Éz = 0
- ky Éx Éz = 0
dt
dt
dÉz
dÉz
Iz + (Iy - Ix ) Éx Éy = 0
+ kz Éx Éy = 0
dt
dt
gdzie:
Iz - Iy Iy - Ix
Iz - Ix
kx = > 0, ky = > 0, kz = > 0
Ix Iy Iz
A.F.Żarnecki Wykład XXV 15
BÄ…k niesymetryczny
Różniczkując równania Eulera po czasie,
Stabilność obrotu
a następnie podstawiając wyrażenia na
Obrót wokół osi x .
pierwsze pochodne dostajemy:
Dla Éx Éy <" Éz mamy:
d2Éx
2 2
= -kx(kyÉz - kzÉy ) · Éx
d2Éx
dt2
H" 0
dt2
d2Éy
2 2
= -ky(kxÉz + kzÉx ) · Éy d2Éy
2
dt2
= -kykzÉx · Éy
dt2
d2Éz
2 2
= -kz(kyÉx - kxÉy ) · Éz
d2Éz
2
dt2
= -kzkyÉx · Éz
dt2
Ò! równania typu równania oscylatora
Ò! stabilny obrót wokół osi x .
harmonicznego dla każdej skÅ‚adowej É.
Niewielkie odchylenie osi obrotu powoduje
Ale jeśli wyrażenie w nawiasie jest ujemne:
małe oscylacje w płaszczyz
nie y - z
d2Éi
Podobnie dla obrotu wokół osi z
= +2Éi Ò! Éi <" eÄ…t
dt2
(Éz Éx <" Éy )
rozwiÄ…zaniem sÄ… funkcje hiperboliczne !
A.F.Żarnecki Wykład XXV 16
BÄ…k niesymetryczny
Stabilność obrotu
Obrót wokół osi y , Niewielkie odchylenie osi obrotu powoduje,
czyli osi głównej o poÅ›rednim że Éx i Éz zaczynajÄ… szybko rosnąć,
momencie bezwÅ‚adnoÅ›ci. a Éy zaczyna maleć (oscylator harm.).
Dla Éy Éx <" Éz mamy:
W dłuższym okresie czasu oscylują
d2Éx
2
wszystkie składowe prędkości kątowej.
= + kxkzÉy · Éx
dt2
d2Éy
2 2
= - ky(kxÉz + kzÉx ) · Éy
Ò! obrót wokół osi o poÅ›rednim momencie
dt2
bezwładności nie jest stabilny !!!
d2Éz
2
= + kzkxÉy · Éz
dt2
Ò! Éx i Éz rosnÄ… eksponencjalnie !
A.F.Żarnecki Wykład XXV 17
Osie główne
W przypadku bryły wirującej swobodnie (stała wartość L)
stabilny ruch obrotowy (staÅ‚y kierunek wektora É) możliwy jest
tylko wokół osi głównych o największym i najmniejszym momencie bezwładności
Oś o największym I Oś o pośrednim I Oś o najmniejszym I
obrót stabilny obrót niestabilny
obrót stabilny
A.F.Żarnecki Wykład XXV 18
Kompas żyroskopowy
Rozważmy żyroskop w układzie
obracajÄ…cej siÄ™ Ziemi.
Jeśli na żyroskop nie działąją zewnętrzne
momenty sił, będzie on zachowywał
orientację w przestrzeni (względem
zewnętrznego układu inercjalnego!)
Jeśli jednak nałożymy więzy wymuszające
poziome położenie osi obrotu żyroskopu
(równolegle do powierzchni Ziemi) to po
pewnym czasie oś żyroskopu ustawi się
wzdłuż południka.
Będzie to efekt działania momentów sił więzów.
A.F.Żarnecki Wykład XXV 19