Ruch bryły sztywnej,
dynamika ruchu obrotowego
OPIS RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Bryłą sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (nieskończenie wielu),
których wzajemne położenie nie zmienia się pod wpływem działających sił.
N
Åšrodek masy: ri mi
"
i=1
=
R
sm
N
-dla układu punktów materialnych
mi
"
i=1
n
ri
""mi
+"r dm
i=1
=
R
sm
=
R
sm
-dla bryły sztywnej mc
mc
Ruch postępowy:
n
Ruch bryły sztywnej można rozłożyć na: ruch postępowy
Masm = Fi = Fzewn .
"
środka masy i ruch obrotowy
i=1
Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa
układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
1
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É)
É
É
É
Dla elementarnej masy "mi :
Li = ri ×pi
- moment pędu:
Mi = ri ×Fi
- moment siły:
d Li
Mi =
d t
vi = Éri sin¸i = ÉrÄ„" i
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É)
É
É
É
Dla elementarnej masy "mi :
Li = ri ×pi
- moment pędu:
Mi = ri ×Fi
- moment siły:
d Li
Mi =
d t
Dla caÅ‚ej bryÅ‚y - obrót wokół osi (zakÅ‚adajÄ…c L||É):
É
É
É
L = L|| = sin¸i = pi sin¸i = viri sin¸i =
"Li "ri ""mi
i i i
2
vi = Éri sin¸i = ÉrÄ„" i = virÄ„"i = (rÄ„"iÉ)rÄ„"i = ëÅ‚ "mi öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚É
""mi ""mi "rĄ"i
i i íÅ‚ i Å‚Å‚
2
I = "mi
"rĄ"i
i
moment
L = ™É
bezwładności:
2
I = d m
+"r
2
Ruch obrotowy ogólnie
ogólnie gdy:
L ||É
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Lx Ixx Ixy Ixz Éx
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
L = Î É Ô! Ly ÷Å‚ = Iyx I I Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
ìÅ‚
yy yz
ìÅ‚ ÷Å‚
Lz ìÅ‚ Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Lx = IxxÉx + IxyÉy + IxzÉz
Ly = IyxÉx + IyyÉy + IyzÉz
Lz = IzxÉx + IzyÉy + IzzÉz
Dla każdej bryły sztywnej można zdefiniować trzy prostopadłe osie, zwane głównymi
osiami bezwładności.
" Moment bezwładności ciała względem jednej z tych osi jest maksymalny, względem
drugiej jest minimalny, zaś względem trzeciej  ma wartość pośrednią: II e" III e" IIII,
" Jeśli ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładności są także osiami symetrii
ciała.
Ruch obrotowy wokół osi głównych
Î
Transformujemy tensor do układu, którego osie współrzędnych (x ,y ,z ) są równoległe
do osi głównych bezwładności:
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ Lx' Ix'x' 0 0 Éx'
Lx Ixx Ixy Ixz Éx ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ly' = 0 I 0
L = ÎÉ Ô! = Iyx Iyy Iyz Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚É ÷Å‚
ìÅ‚L ÷Å‚ y' y y'
y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Lz' 0 0 Iz'z' ÷Å‚ìÅ‚Éz' ÷Å‚
Lz ìÅ‚ Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Lx' = Ix'x'Éx'
Ly' = Iy'y'Éy'
Lz' = Iz'z'Éz'
Kiedy L jest równolegÅ‚y do É ?
É
É
É
1) W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do É
É.
É
É
2) L jest równolegÅ‚y do É wówczas, gdy osiÄ…
É
É
É
obrotu jest jedna z głównych osi
bezwładności (wtedy: gdzie I jest
L = ™É
wartością skalarną).
3
Przykład: liczenie momentu bezwładności pręta o masie M i długości L.
Moment bezwładności elementu
o masie dm wynosi x2dm
L / 2
mc I = xi2 d mi = x2 d m
"
+"
dm = dx
jeżeli pręt ma stałą gęstość:
i
L -L / 2
L / 2
mc L / 2 mc x3 mcL2
I = x2 d x = =
+"
L L 3 12
-L / 2
-L / 2
Przykładowe momenty bezwładności wokół osi głównych
4
Twierdzenie Steinera:
2
™ = ™S + mcd
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É i M|| É
É É
É É)
É É
II zas. dynamiki Newtona dla
d L
M = ruchu obrotowego ogólnie
dt
spełniona
Jeśli:
oraz to:
L = ™É M || É
d L d(IÉ) d É
M = = = I = Iµ
d t d t d t
M = Iµ
5
PRZYKA
ADY RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Przykład (1):
Znajdz
przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie kÄ…towe
bloczka oraz naprężenie nici. Dane są masa bloczka M i jego promień R. (Wszelkie
opory i tarcie pomijamy).
1
Moment bezwładności bloczka wynosi MR2
2
M = RN = Iµ
Ruch obrotowy
wyp
II zasada
dynamiki
Fwyp = mg - N = ma
Ruch postępowy
Newtona
a
zwiÄ…zek miedzy ruchem
µ =
postępowym i obrotowym R
Iµ Ia
mg - = ma mg - = ma
R R2
mg mg 2m
Iµ mM
a = = = g g 2m
N = = g
I M µ =
2m + M
m + m + R 2m + M
R 2m + M
R2 2
Przykład ruchu (3): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
 równania ruchu
a = µR
Toczenie bez poślizgu:
ruch postępowy
ruch obrotowy
a
mg sin¸ -T = ma
M = RT = ISM .µ = ISM
R
a
T = ISM
R2
mg sin¸
a =
m + ISM / R2
np. dla walca:
2
a = g sin¸
3
6
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
" przypadek szczególny, gdy wektor É jest równolegÅ‚y do
É
É
É
jednej z osi głównych bezwÅ‚adnoÅ›ci (czyli L||É):
É
É
É
1 1 1 ëÅ‚ öÅ‚
2
Ek = vi2 = (rÄ„"iÉ)2 = ìÅ‚ rÄ„"i ÷Å‚ É2
""mi ""mi ""mi
2 2 2
i i íÅ‚ i Å‚Å‚
1
2
Ek = IÉ
2
" ogólnie, gdy wektor É nie jest równolegÅ‚y do żadnej z osi
É
É
É
głównej (x ,y ,z są głównymi osiami bezwładności):
1
2 2 2
Ek = (Ix'x'Éx' + I Éy' + Iz'z'Éz')
y' y'
2
Przykład ruchu (4): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
 zasada zachowania energii
Z zasady zachowania energii
ruch postępowy
ruch obrotowy
1 1
2
Ekp = mvSM Eko = ISM É2
2 2
1 1
2
mgh = mvSM + ISMÉ2
2 2
Toczenie bez poślizgu
v = ÉR
mgh
vSM = 2
m + ISM / R2 4
vSM = gh
np. dla walca
3
7
Analogie ruchu obrotowego do ruchu postępowego
Ruch postępowy Ruch obrotowy
Õ, É, µ, I
Õ
Õ
Õ
r, v, a, m
L = r ×p, L = ™É
p = mv
M = r × F
F
dL
dp
M =
F =
dt
dt
M = Iµ
F = ma
1
1
Ek = IÉ2
Ek = mv2
2
2
przypadek szczególny, L||É oraz M||µ
É µ
É µ
É µ
KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU P
DU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO
d L
M = = 0 Ò! L = const.
d t
L = ™É = const.
É
É
É
8
1. Swobodny obrót wokół osi nierównoległej do żadnej z osi głównych
M = 0 L = const.
Precesja  bÄ…ka swobodnego
Precesja osi obrotu Ziemi:
" Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół
osi głównej. Dlatego jej oś obrotu podlega precesji.
" Zmiany położenia osi obrotu,są bardzo niewielkie
mcR2
mcR2
(ok. 15 m).
Iz' =
Ix' = I =
y'
4 2
" Okres obiegu wynosi średnio ok. 427 dni.
2. Stała wymuszona oś obrotu
L `" const.
d L
M = `" const.
d t
Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)
Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.
9
3. Precesja pod wpływem działającego momentu siły
Precesja bąka pod wpływem siły ciężkości
"L
M =
"t
M = r × mg
M = mgr sin¸
"Õ "L 1 M mgr mgr
M = ÉpL sin¸
Ép = E" =
Ép = =
"t Lsin¸ "t Lsin¸
L IÉ
M = É × L
p kolejka
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą różnych technik
doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (NMR)
Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej
Ziemia nie jest bÄ…kiem swobodnym.
Niejednorodności pola grawitacyjnego w
którym się porusza (niezerowy moment sił
grawitacji) powodujÄ… precesjÄ™ astronomicznÄ…
wektora momentu pędu (w przybliżeniu
równoległą do osi obrotu Ziemi *). Okres
precesji wynosi ok. 26 000 lat.
Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia siÄ™ w
czasie (wpływ Księżyca) co powoduje nutację.
*
uwaga w punkcie 1. opisano niewielką precesję osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora
momentu pędu (Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)
10
Żyroskop
Jeśli żyroskop jest w równowadze przy L = 0 to
będzie także w równowadze dla L `" 0.
Jak zachowa się żyroskop gdy zwiększymy lub
zmniejszymy przeciwwagÄ™?
Częstość precesji
(podobnie jak dla
bÄ…ka):
mgr mgr
Ép = =
L IÉ
¸ = 90o
jest proporcjonalna do
odjętej/ dodanej masy m.
horyzont kompas
Żyroskop - sztuczny horyzont.
11
Rower
Kolejka jednoszynowa
12
L = ÎÉ
UZUPEA
NIENIE  WYPROWADZENIE ZWI
ZKU
vi = É×ri
(NADOBOWI
ZKOWO !)
L = = ×pi = × "mivi )= ri ×(É ×ri )]
"Li "ri "(ri "["mi
i i i i
L = ["mi(É Å"ri2 - ri(ri " É))]
"
i
A×(B×C)= B(A " C)- C(A " B)
L = ["mi(Éri2 - ri(xiÉx + yiÉy + ziÉz))]
"
i
Å„Å‚
x ""mi ""mi ""mi ""mi
ôÅ‚L = Éx ri2 -Éx xi2 -Éy xi yi -Éz xi zi
i i i i
ôÅ‚
ôÅ‚L = Éy ri2 -Éx yixi -Éy yi2 -Éz yizi
òÅ‚
y ""mi ""mi ""mi ""mi
i i i i
ôÅ‚
ôÅ‚Lz = Éz ri2 -Éx zixi -Éy zi yi -Éz zi2
""mi ""mi ""mi ""mi
ôÅ‚
ół i i i i
ëÅ‚ Ixx Ixy Ixz Éx
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Lx = Éx (ri2 - xi2)-Éy xi yi -Éz xizi
""mi ""mi ""mi
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
i i i
L = Î É = Iyx I I Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
yy yz
Ixx Ixy Ixz
ìÅ‚
Ixy = Iyx = - xi yi Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
Ixx = (ri2 - xi2)= (yi2 + zi2) ""mi
""mi ""mi
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
i
i i
Ixz = Izx = - xizi
I = (ri2 - yi2)= (xi2 + zi2)
""mi
yy ""mi ""mi
ogólnie:
L ||É
i
i i
Izz = (ri2 - zi2)= (xi2 + yi2)
Izy = I = - zi yi
""mi ""mi
yz ""mi
i i i
ri2 = xi2 + yi2 + zi2
13