Dynamika bryły sztywnej
ruch obrotowy punktu materialnego
definicja bryły sztywnej
dynamika bryły sztywnej
ruch obrotowy
ruch obrotowo  postępowy
moment bezwładności
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Ruch obrotowy punktu materialnego
ruch obrotowy po okręgu - szczególny przypadek płaskiego
ruchu krzywoliniowego
droga kątowa  położenie punktu A określone za
pomocÄ… kÄ…ta j
droga liniowa s  za pomocÄ… drogi kÄ…towej j :
y
s =ð j ×ðr
rð
vð
rð
dj
v
prędkość kątowa:
wð =ð
dt
rð
A
wð rð
rð
rð kierunek wektora
wð
wð dany jest przez
r
v
s
regułę śruby
j
prawoskrętnej
j
rð A
x
r
ds dj
=ð ×ðr
dt dt
prędkość liniowa punktu A:
rð rð rð
v =ð wð ´ðr
Ruch obrotowy punktu materialnego
rð
rð
dwð
przyspieszenie kÄ…towe:
eð =ð
dt
przyspieszenie liniowe ®ð styczne i doÅ›rodkowe:
rð
rð
rð
d rð
rð dv
eð
rð rð rð
=ð (wð ´ð r )
a =ð
a =ð as +ð an
dt
dt
rð
rð rð
rð
wð
dwð rð rð
dr
a
=ð ´ð r +ðwð ´ð
rð
rð
dt dt
as
rrð
rð
rð
v
rð dwð rð rð rð
rð dv
an
as =ð ´ð r =ð eð ´ðr
| as |=ð
dt
dt
rð
rð rð
dr
rð rð
rð v2
an =ð wð ´ð
=ð wð ´ð v
Þð| an |=ð
dt
r
Dynamika bryły sztywnej
Bryłą sztywną nazywamy ciało stałe, w którym odległość dwu
dowolnie wybranych punktów nie ulega zmianie, mimo działających
na to ciało sił.
z
rð rð rð
| rij |=ð| ri -ð rj |=ð const
m1
rð
rij
m2
rð
ri
rð
rj
y
x
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
stopnie swobody:
jeden punkt unieruchomiony
z
z
m2
rð
f = 3 f = 2
r
m1
m1
y
y
x
x
dwa punkty unieruchomione
z
Bryła sztywna ma
m2
sześć stopni swobody!
m3 f = 1
m1
y
x
Stopnie swobody
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
z
Yð
Jð
f = 3
0  środek
masy
0
f = 5
y
fð
x
f = 6
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
ruch postępowy:
z
y
wektory prędkości i przyspieszenia są takie same dla
wszystkich punktów,
x
dowolny odcinek łączący dwa punkty zachowuje stałe
położenie do siebie równoległe
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
ruch obrotowy:
z
oÅ›
y
wszystkie punkty poruszają się po okręgach, których
środki leżą na jednej prostej zwaną osią obrotu,
x
poszczególne punkty bryły mają tę samą prędkość kątową,
poszczególne punkty bryły mają różne prędkości liniowe,
zależne od odległości od osi obrotu.
Rodzaje ruchów bryły sztywnej
ruch postępowo  obrotowy:
z
oÅ›
y
dowolny ruch ciała sztywnego można złożyć z ruchu
x
postępowego i obrotowego
Moment siły
Aby spowodować ruch obrotowy bryły sztywnej niezbędna jest siła.
Wielkością fizyczną wywołującą obrót bryły sztywnej jest moment siły
(tzw. moment obrotowy):
rð rð
rð
M =ð r ´ð F
kierunek momentu siły wyznaczamy z reguły śruby
prawoskrętnej,
rð
r nazywamy ramieniem siły,
M
rð rð
rð
gdy: r || F Þð M =ð 0
Moment bezwładności
Przeanalizujmy ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi ze stałą
prędkością kątową
rð
podzielmy bryłę sztywną na zbiór n punktów materialnych
wð
o masach Dm1, Dm2,& ., Dmn
odległości poszczególnych mas od osi obrotu wynoszą
r1, r2,& ., rn
momentem bezwładności I bryły sztywnej względem danej osi
nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły
rð
Dmi
sztywnej i kwadratów odległości od danej osi:
ri
n
rð
vi
I =ð
åðDm ×ðri2
i
i=ð1
w przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy:
n
2
I =ð
lim
åðDm ×ðri2 =ð
i
òðr dm
n®ðÄ„ð
i=ð1
M
Moment bezwładności - przykłady
moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu
postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment
bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało:
cienki pierścień o masie m i promieniu r
I =ð m×ðr2
obracający się wokół własnej osi:
1
cienki pierścień o masie m i promieniu r
I =ð m×ðr2
obracający się wokół osi prostopadłej:
2
1
pierścień o masie m i promieniach r1 i r2
I =ð ×ðm×ð(ðr12 +ð r22)ð
obracający się wokół własnej osi:
2
walec o masie m, długości L i promieniu r
1
I =ð m×ðr2
obracający się wokół własnej osi:
2
1 1
walec o masie m, długości L i promieniu r
I =ð m×ðr2 +ð m×ð L2
obracający się wokół osi prostopadłej do
4 12
niego i przechodzącej przez środek:
Moment bezwładności - przykłady
2
kula o masie m i promieniu r
I =ð m×ðr2
obracająca się wokół własnej osi:
5
2
sfera o masie m i promieniu r
I =ð m×ðr2
obracająca się wokół własnej osi:
3
pręt o masie m i długości L
1
I =ð m×ð L2
obracający się wokół osi prostopadłej
do niego i przechodzÄ…cej przez jego koniec: 3
pręt o masie m i długości L
1
obracający się wokół osi prostopadłej
I =ð m×ð L2
do niego i przechodzącej przez jego środek:
12
jednostką momentu pędu jest
1 kg×ðm2
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności I bryły sztywnej względem dowolnej osi jest
równy sumie momentu bezwładności Io względem osi równoległej
przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły
i kwadratu odległości a obu osi:
rð
wð
I0
I =ð Io +ð m×ða2
m
a
II zasada dynamiki ruchu obrotowego
Ruch obrotowy bryły sztywnej wokół stałej osi
rð
rð
eð
rð
wð
rð
rð
M
rð
eð =ð
M =ð I ×ðeð
rð
I
M
rð
Dmi
ri
rð
Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej jest
Fi
proporcjonalne do momenty siły wypadkowej
działającej na bryłę; współczynnikiem
proporcjonalności jest odwrotność momentu
bezwładności.
II zasada dynamiki ruchu obrotowego
 moment pędu (kręt)
Moment pędu (kręt) L punktu materialnego o masie Dmi
rð
i wektorze wodzącym ri , poruszającego się z prędkością vi
L
względem osi obrotu, definiujemy wzorem:
rð
wð rð
rð
rð rð
rð rð
Li =ð ri ´ð pi
Li =ð ri ´ð(Dmi ×ð vi)
dla całej bryły :
n
rð
ri
L =ð
rð
Dmi ri
åðr ×ðDmi ×ð vi
i
rð
i=ð1
vi
rð
vi
podstawiajÄ…c:
v =ð wð ×ðr
n n
2
L =ð
åðr ×ðDmi
åðr ×ðDmi ×ðwð ×ðri=ð wð ×ð i
i
i=ð1
i=ð1
rð
rð
=ð I ×ðwð
Þð L =ð I ×ðwð
II zasada dynamiki ruchu obrotowego
 moment pędu (kręt)
II zasadę dynamiki możemy zapisać w postaci:
rð
rð
rð
rð
dwð
d(I ×ðwð)
M =ð I ×ðeð
=ð I ×ð =ð
dt
dt
rð
rð
dL
M =ð
dt
Wypadkowy moment siły działający na bryłę sztywną
powoduje zmianę momentu pędu bryły. Pochodna momentu
pędu względem czasu jest równa momentowi siły.
Zasada zachowania momentu
pędu (krętu)
rð
rð
dL
M =ð
dt
rð rð
M =ð 0 Þð L =ð const
Jeżeli moment wypadkowy sił
moment sił zewnętrznych wynosi zero,
zewnętrznych działających
moment pędu jest zachowany,
na bryłę równa się zeru,
to całkowity moment pędu
I1 ×ðwð1 =ð I2 ×ðwð2
(kręt) pozostaje stały.
ponieważ:
I1 >ð I2
zmniejszenie momentu bezwładności
zatem:
przyspiesza obrót:
wð2 >ð wð1
Energia kinetyczna ruchu
obrotowego
EnergiÄ™ kinetycznÄ…  obliczamy sumujÄ…c energie kinetyczne
poszczególnych punktów bryły:
1 1
2
Eki =ð mi ×ð vi =ð mi ×ðri2 ×ðwð2
2 2
dla całej bryły mamy zatem:
n n
2
Ek =ð
åðm ×ðri2
åð1 mi ×ðri2 ×ðwð2 =ð 1 ×ðwð ×ð i
2
2
i=ð1
i=ð1
1
Ek =ð I ×ðwð2
2
Energia kinetyczna ruchu
postępowo  obrotowego
Energia kinetyczna obracającej się bryły jest sumą energii kinetycznej
ruchu obrotowego i energii kinetycznej środka masy:
rð
wð
1 1
m
rð
Ek =ð m×ð v2 +ð I ×ðwð2
v
2 2
jeżeli wysokość równi wynosi h, a promień ciała r, to obliczmy prędkość liniową
ciała u podstawy równi vk:
v =ð wð ×ðr
1 1
1-ð rura o cienkiej Å›ciance
2 ìð
mgh =ð m×ð v2 +ð I ×ðwðk
Þð
k
ïð1
2 2
c =ð 2 -ð walec,
I =ð c ×ðm×ðr2
íð
ïð2 5 -ð kula
1
îð
vk =ð 2gh ×ð
c +ð1
1
Przykłady  maszyna Atwooda
obliczmy przyspieszenie, z jakim poruszajÄ… siÄ™ masy oraz naciÄ…g nici:
rð
rð rð
m1 ×ða =ð N1 +ð m1 ×ð g
bloczek nieruchomy:
Siły naciągu nici:
rð
rð rð
N1=N2=N
m2 ×ða =ð m2 ×ð g +ð N2
r
m1 ×ða =ð N -ð m1 ×ð g
rð
rð
a
m2 ×ða =ð m2 ×ð g -ð N
m
N1
rð
m1 (m1 +ð m2)×ða =ð (m2 -ð m1)×ð g
N2
m2 -ð m1
a =ð ×ð g
m2
m1 +ð m2
rð
rð
Q1 =ð m1g
2m1 ×ðm2
rð
rð
N =ð ×ð g
23:54
Q2 =ð m2g
m1 +ð m2
Przykłady  maszyna Atwooda
obliczmy przyspieszenie, z jakim poruszajÄ… siÄ™ masy oraz naciÄ…g nici:
rð
rð rð
Siły naciągu nici:
m1 ×ða =ð N1 +ð m1 ×ð g
bloczek ruchomy:
N1=N2
rð
rð rð
m2 ×ða =ð m2 ×ð g +ð N2
rð
rð rð rð
rð rð
N1
r M =ð r ´ð(N2 +ð N1) =ð I ×ðeð
rð
rð
a
N2
rð
m1 ×ða =ð N1 -ð m1 ×ð g
m
N1
m2 ×ða =ð m2 ×ð g -ð N2
m1
rð
M =ð r(N2 -ð N1) =ð I ×ða / r
N2
m2 -ð m1
m2
a =ð ×ð g
rð
m
m1g
m1 +ð m2 +ð
rð
2
m2g
N2 =ð ......
N1 =ð ......
Analogia między ruchem
postępowym i obrotowym
Ruch prostoliniowy Ruch obrotowy
rð
rð
j
Droga liniowa s rð Droga kÄ…towa
rð
rð ds rð dj
v =ð wð =ð
Prędkość liniowa Prędkość kątowa
dt dt
rð rð
rð
rð dv dwð
Przyspieszenie Przyspieszenie
a =ð eð =ð
liniowe dt kÄ…towe dt
Moment
Masa m
I
bezwładności
rð rð rð
rð
p =ð m ×ð v
Pęd Moment pędu
L =ð I ×ðwð
rð rð
Siła Moment siły
F M
rð
rð
vð
rð
rð dp
rð
dL
F =ð m ×ð a =ð
II zasada dynamiki II zasada dynamiki M =ð I ×ðeð =ð
dt
dt
rð
rð
rð
dp rð
dL
=ð 0 Þð p =ð const
=ð 0 Þð L =ð const
Zasada Zasada zachowania
dt
dt
zachowania pędu momentu pędu
1 1
Ek =ð m ×ð v2 Ek =ð I ×ðwð2
Energia kinetyczna Energia kinetyczna
2 2