Bryła sztywna
Fizyka I (B+C)
Wykład XXIII:
" Przypomnienie: statyka
" Moment bezwładności
" Prawa ruchu
" Energia ruchu obrotowego
" Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym
Przypomnienie
Równowaga bryły sztywnej
trwała obojętna chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
podniesienie środka masy, stała wysokość obniżenie środka masy,
wzrost energii potencjalnej środka masy zmniejszenie energii potencjalnej
Ò! siÅ‚a wypadkowa przy- Ò! zmiana poÅ‚ożenia Ò! pojawienie siÄ™ siÅ‚y wypadkowej
wracająca równowagę równowagi zwiększającej wychylenie
Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy (F = - Ep)


A.F.Żarnecki Wykład XXIII 1
Statyka
Równowaga
Zmiana położenia środka masy, przy wychyleniu z położenia równowagi,
zależy od kształtu bryły, ale także od charakteru więzów.
Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży
równowaga trwała obojętna chwiejna
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 2
Prawa ruchu
Obrót wokół ustalonej osi
Pod wpływem momentu siły M:
dL dÉ
2
M = = mi rÄ„" i = µ I
dt dt
i
dÉ
µ = -



dt
M
Ò! µ = =

I
f
I - moment bezwładności względem wybranej osi.
r
m
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 3
Moment bezwładności
Przyspieszenie kątowe w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy całkowitej,
ale także od jej rozłożenia względem osi obrotu.
Rozkład masy względem wybranej osi obrotu
(najczęściej przechodzącej przez środek masy, ale nie koniecznie)
opisuje moment bezwładności
2
I = mi rĄ" i
i
w przypadku ciągłego rozkładu masy - całka po objętości:
2
I = dV Á rÄ„"
M
Dla ciaÅ‚a jednorodnego (Á = const = ):
V
2
dV rĄ"
M
2 2
I = dV rĄ" = M = M rĄ"
V dV
2
gdzie rĄ" - średni kwadrat odległości od osi obrotu
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 4
Moment bezwładności
Stosunek momentu bezwładności do masy zależy od kształtu i rozmiarów ciała:
I
2
= rĄ"
M
Obręcz (pusta w środku)
Obrót wokół osi symetrii Ò! wszystkie punkty równoodlegÅ‚e od osi:
2
rÄ„" = r2 Ò! IÄ„" = M r2
Obrót wokół średnicy
oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu - oś Y
x2 + y2 = r2 i x2 = y2
1
2
Ò! rÄ„" = y2 = r2
2
1
Ò! I = M r2
2
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 5
Moment bezwładności
Koło (krążek - masa rozłożona po powierzchni)
Obrót wokół osi symetrii
KoÅ‚o = suma wielu obrÄ™czy Ò! Å›renia po powierzchni:
r 2 · dS 1
2
rÄ„" = = r 2 · 2Ä„r dr
S Ä„r2
2Ä„ 1 1
= r4 = r2
r
Ä„r2 4 2
dr
1
r
dS
Ò! IÄ„" = M r2
2
Obrót wokół średnicy
2
Dla każdej obręczy rĄ" zmniejsza się 2 razy
1
Ò! I = M r2
4
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 6
Moment bezwładności
Prostokąt (masa rozłożona po powierzchni)
Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek masy
a b
2 2
(x2 + y2) · dS 1
2
rĄ" = = dx dy (x2 + y2)
S ab
a
b
-2 -2
1 1 1
= (a3b + ab3) = (a2 + b2)
ab 12 12
1
Ò! IÄ„" = M (a2 + b2)
12
Obrót wokół osi równoległej, przechodzącej przez środek masy
Wymiar wzdÅ‚uż osi obrotu przestaje być istotny Ò! prÄ™t
1 1
Ò! I = M b2 = M l2
12 12
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 7
Moment bezwładności
Sfera (masa rozłożona na powierzchni kuli)
Obrót wokół osi symetrii
x2 + y2 + z2 = r2 i x2 = y2 = z2
2
2
Ò! rÄ„" = x2 + y2 = r2
3
2
Ò! I = M r2
3
Kula (masa rozłożona objętościowo)
Suma wielu sfer Ò! Å›renia po objÄ™toÅ›ci:
2
r 2 · dV
1 2
2
3
rÄ„" = = r 2 · 4Ä„r 2dr
4
V 3
Ä„r3
3
8
Ä„
1 2 2
3
= r5 = r2 Ò! I = M r2
4
5 5 5
Ä„r3
3
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 8
Moment bezwładności
Twierdzenie o osiach równoległych
Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi
przechodzącej przez środek ciężkości S
(wszystkie podane przykłady)
Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...
Moment bezwładności względem osi równoległej 0,
odległej o h od osi S: (XY: układ środka masy)
2 2 2
riO = (xi + h)2 + yi = h2 + 2hxi + riS
2 2
IO = miriO = h2 mi + 2h mixi + miriS
i i i i
Ò! IO = IS + M h2
Twierdzenie Steinera
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 9
Prawa ruchu
Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły
Równia pochyła
(obręcz, walec, kula...) bez poślizgu:
x = r Ć Ò! a = r µ
Ruch postępowy (wzdłuż równi):
f
R
ma = Q sin ¸ - T
r
l
Ruch obrotowy (względem środka masy):
T
x
I µ = T r
h
Eliminując siłę tarcia:
Q
Q
Iµ
ma + = mg sin ¸
r
g sin ¸
Ò! a =
I
1 +
mr2
Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało...
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 10
Prawa ruchu
Zagadnienie można rozwiązać w sposób równoważny
Równia pochyła
korzystajÄ…c z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera
Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi
obrotu (linia styku bryły z równią):
f
R
Io µ = Q sin ¸ · r
r
Z twierdzenia Steinera:
l
T
x
Io = I + m r2
Otrzymujemy:
h
Q
Q
mg sin ¸ r2
a = r µ =
Io
mr2 g sin ¸
=
mr2 + I
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 11
Prawa ruchu
Równia pochyła
Rura Walec
1
2
a = g sin ¸
a = g sin ¸
2
3
1



3
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 12
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O
przechodzącej w odległości l od środka ciężkości S:
Io µ = -mg sin Ć · l
d2Ć
I + ml2 H" -mgl Ć
dt2
Częstość drgań (równanie oscylatora harmonicznego):
mgl g
½ = =
I
I + ml2
l(1 + )
ml2
I
lz = l(1 + ) - długość zredukowana wahadła
ml2
długość wahadła matematycznego o tej samej częstości
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 13
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgańwokół osi obrotu O:
d
Io µ = -Mdg sin Ć - m g sin Ć
O
2
1 d2Ć m
Md2 + md2 H" -(M + )dg Ć
3 dt2 2
d
Częstość drgań:
m
1
M + m
g g 1 m
2
f
½ = · H" · 1 + ·
1
l l 12 M
M + m
3
M
M+1m
1 m
3
lz = d H" d · 1 - ·
6 M
M+1m
2
- długość zredukowana wahadła (m M)
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 14
Energia
Energia ruchu obrotowego
Energia kinetyczna układu ciał:
2
M VCM
Ek = Ek +
2
BryÅ‚a sztywna: energia  wewnÄ™trzna Ò! energia kinetyczna ruchu obrotowego
1 1 1
2
Ek = mivi = mi(ri É)2 = É2 I
2 2 2
i i
CiaÅ‚o toczÄ…ce siÄ™ bez poÅ›lizgu: v = É r
mv2 IÉ2 mv2 I
Ek = + = 1 +
2 2 2 mr2
I
m 1 + - efektywna masa bezwładna
mr2
przy niezmienionej masie grawitacyjnej
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 15
Energia
Równia pochyła
Prędkość jaką uzyska ciało staczające się bez poślizgu z
równi o wysokości h. Z zasady zachowania energii:
f
1 I
mgh = mv2 1 +
R
2 mr2
r
2gh
l
v =
I
1 +
T mr2
x
1
h
Przyspieszenie prędkość średnia v = v
2
Q
Q
v v2 2gh g sin ¸
a = = = =
I
I
t 2l
1 +
2l 1 +
mr2
mr2
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 16
Energia
Koło Maxwella
Koło o promieniu R  toczy się po osi o promieniu r.
Ä„
Jak w przypadku równi pochyÅ‚ej ¸ =
2
r
g
I
a =
R
I
1 +
mr2

I = mR2

mg
r2
Ò! a = g g
R2 + r2
Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze
od przyspieszenia w spadku swobodnym...
Energia potencjalna zamienia się głównie
na energiÄ™ ruchu obrotowego.
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 17
Energia
Energia przy zmiennym momencie bezwładności
Masy przesuwajÄ… siÄ™ z R = r1 do R = r2. I H" 2mR2
Z zasady zachowania momentu pędu (układ izolowany):
L1 = É1 I1 = É2 I2 = L2
r1 2
Ò! É2 = É1
r2
Energia kinetyczna układu:
1 1 É2 2 r1 2
2
E2 = É2 I2 = É1 I1 = E1
2 2 É1 r2
r2 < r1 Ò! energia kinetyczna roÅ›nie
kosztem pracy siły dośrodkowej (energii potencjalnej M)
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 18
Prawa ruchu
Uściślenie
Rozważając zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu
obrotowego zakładaliśmy że moment siły jest stały i nie zależy od
I. Jednak ciężarek też porusza się ruchem przyspieszonym:
ma = Q - N


Iµ = rN


Q - ciężar ciężarka, N - siła naprężenia nici.
EliminujÄ…c N = m(g - a):
Iµ = r m(g - rµ)
(I + mr2) µ = mgr
mgr mgr
µ = =
I + mr2 I
Bezwładność ciężarka efektywnie zwiększa moment bezwładności rotora: I = I + mr2
g
Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia wiÄ™kszego niż µmax =
r
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 19
Porównanie
Punkt materialny Bryła sztywna
ruch postępowy ruch obrotowy (względem osi symetrii !)
" przesuniÄ™cie x Ò! kÄ…t obrotu Ć
dx dĆ
" prÄ™dkość v = Ò! prÄ™dkość kÄ…towa É =
dt dt
dv dÉ
" przyspieszenie a = Ò! przyspieszenie kÄ…towe µ =
dt dt
" masa m Ò! moment bezwÅ‚adnoÅ›ci I
" pÄ™d p = mv Ò! moment pÄ™du L = IÉ
" ukÅ‚ad izolowany p = const Ò! ukÅ‚ad izolowany L = const
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 20
Porównanie
Punkt materialny Bryła sztywna
ruch postępowy ruch obrotowy (względem osi symetrii !)
" siÅ‚a F Ò! moment siÅ‚y M
" równania ruchu F = ma Ò! równania ruchu M = Iµ
dp dL
= F Ò! = M
dt dt
" praca W = F · dx Ò! praca W = M · dĆ
1 1
" energia kinetyczna Ek = mv2 Ò! energia kinetyczna Ek = IÉ2
2 2
Dla ruchu obrotowego względem ustalonej osi, pokrywającej się z osią symetrii bryły !!!
A.F.Żarnecki Wykład XXIII 21