Podstawy dynamiki bryły sztywnej
def. Bryłą sztywną nazywamy układ cząstek o niezmiennych
wzajemnych odległościach.
Podstawowe znaczenie dla opisu ruchu układu jako całości jest
ruch szczególnego punktu  środka masy układu.
Środek masy reprezentuje układ, więc pod wpływem wypadkowej sił
zewnętrznych porusza się jak cząstka o masie równej masie układu:
N N
r�
r� r�
F =� mas =�
gdzie m =�
��m ai
i
��m
i
i=�1
i=�1
N
r� 1 r�
stąd przyspieszenie środka masy:
as =�
��m ai
i
m
i=�1
Poprzez kolejne całkowania otrzymujemy prędkość i położenie
środka masy układu:
N N
r� 1 r� r� 1 r�
vs =� rs =�
��m vi ��m ri
i i
m m
i=�1 i=�1
Środek masy
Co to jest?
Każda bryła ma środek masy  punkt, który porusza się tak jakby w nim
była skoncentrowana cała masa ciała.
Każdemu układowi ciał można przypisać środek masy.
Jak go wyznaczyć?
Prosty przykład  hantli : dwa punkty materialne o masach m1 i m2
znajdujące się w x1 i x2
xcm
m2
m1
x
0 x1
(m1+m2)xcm=m1x1+m2x2 ��
xcm =(m1x1+m2x2) (m1+m2)
��m xk
k
xcm =
��m
k
Pojęcie środka masy
A
atwo daje się zauważyć, że środek ciężkości przedmiotów symetrycznych
znajduje się w ich środku geometrycznym.
Środek ciężkości, a środek masy
Niemal zawsze środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy
wyjątek zdarzyłby się dopiero w niejednorodnym  czyli prawie
niemożliwym do zaobserwowania "normalnie" - polu grawitacyjnym
Pojęcie środka masy jest nieco ogólniejsze od pojęcia środka ciężkości
ciało ma środek masy zawsze  bez względu na to, czy działa na nie siła grawitacji
Przykład
W stanie nieważkości trudno jest mówić o środku ciężkości, bo ciężkości ciała
nie mają, natomiast środek masy jest niezmieniony
Środek masy układu
y
y1 m1
m1x1 +� m2x2 +� m3x3
y3 m3
x =�
m1 +� m2 +� m3
y2 m2
m1 y1 +� m2 y2 +� m3 y3
y =�
m1 +� m2 +� m3
0 x2 x1 x3 x
Dla mas punktowych
��m xi
i
��m yi
i
��m zi
i
i
i
x =�
i
y =�
z =�
��m
i
��m
i
��m
i
i
i
i
Ciągły rozkład mas
Wektor położenia środka masy
xdm
1
��D�m xi =� ��
i
x =� lim0 =� xdm
��
D�mi ��
��D�m
i
��dm M
r�
Ć
Ć
rs =� ix +� 5
y +� kz
ydm
1
��D�m yi =� ��
i
y =� lim0 =� ydm
��
D�mi ��
ydm +�
��D�m
i
r�
��dm M
��xdm +� �� ��zdm
rr =�
M
zdm
1
��D�m zi =� ��
i
z =� lim0 =� zdm
��
D�mi ��
��D�m
i
��dm M
Prawo zachowania środka masy
Układ punktów materialnych m1, m2 & .. mi ; o wektorach położenia
r1, r2, ...... ri
��m �� ri
i
i
rsm =�
��m
i
i
Środek masy układu odosobnionego porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym lub spoczywa.
pi
��m ri ��m dri ��mv ��
i i i
drsm d pcal
dt
i i i i
=� vsm =� =� =� =� =� =� const
dt dt
��m ��m ��m ��m mcal
i i i i
i i i i
Ruch obrotowy
dj�
w� =�
dt
r� dj�
w� =� �� ę
dt
r�
v� v�
dj�
v =� w� �� r
v =� r �� =� r ��w�
dt
Ruch obrotowy
Okres: T
1 w�
2p�
=� =� , w� =� 2p� ��
w� =�
T 2p�
T
2
2
dw� d j�
r ��w�
(� )�
v2
e� =�=�
an =� =� =� r ��w�2
dt dt2
rr
r ��w�
(� )�
dv dw�
as =� =� =� r �� =� r ��e�
dt dt dt
Moment siły
r� r�
v�
M =� r �� F
M =� r �� F ��sinf�
Równanie ruchu obrotowego
r�
F
Punkt materialny A porusza się po okręgu
r� r�
A
r
F
Działa na niego styczna do okręgu siła
F =� m�� a
r a
2
F �� r =� m �� a �� r �� =� mr �� =� I ��e�
r r
I =� m �� r2
r�
r�
M =� I ��e�
Moment bezwładności
Dla punktu materialnego:
I =� m �� r2
N
Dla bryły sztywnej:
I =�
��D�m �� ri2
i
i=�1
O
r1
D�m1
I =� lim
��D�m �� ri2 =� r2dm
i
��
r2 N ��Ą�
i
M
D�m2
r3
ri D�mi
O
Momenty bezwładności różnych brył
Rura
I =� m �� r2
1
I =� m �� r2
Walec pełny
2
2
I =� m �� r2
Kula
5
1
I =� m �� r2
Pręt
12
I  moment bezwładności bryły względem danej osi jest sumą
iloczynów mas cząstek i kwadratów ich odległości od osi.
Moment bezwładności bryły ciągłej obliczamy, zastępując masy
cząstek elementami masy ciała:
2 2
I =�
dm =� r� dV
��r dm =� ��r�r dV
m V
Moment bezwładności jednorodnego walca względem jego osi:
R R
1 1
2 3
I =�
��r r�h2p�r dr =�2p�r�h��r dr =� 2 r�p�hR4 =� 2 mR2
0 0
Twierdzenie Steinera
d
" SM
2
I =� I0 +� m �� d
I0 I
Moment bezwładności cienkiego, jednorodnego pręta względem prostopadłej do
niego osi przechodzącej przez jego koniec i środek:
m
g� =�
L
L/2 L
L/2 L
11 11
I =� g� r2 dr =� g� r3 =� mL2 I =� r2 dr =� g� r3 =� mL2
�� ��g� 33
3 12
-�L/2 0
-�L/2 0
2
1 1 1
Z tw. Steinera:
I =� mć� L�� +� mL2 =� mL2
�� ��
2 12 3
Ł� ł�
Równanie ruchu obrotowego
r�
r�
dL
=� M
dt
r�
r�
dL d r� dw� r�
(� )�
=� I ��w� =� I �� =� I ��e�
dt dt dt
r�
r�
M =� I ��e�
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Punkt materialny:
w�
mv2
Ek =�
N
2
M =�
��m
i
i=�1
r�
vi =� w� �� ri
I - moment bezwładności
Bryła sztywna:
mivi2 miri2w�2 w�2
Ek =� =� =�
�� �� ��m ri2 =� Iw�2
i
2 2 2 2
i i i
Na równi toczą się walec pełny i pusty.
Który pierwszy osiągnie podstawę?
1
I =� m �� r2
Walec pełny:
2
v2
2
4
mr ��
2 2 2
mv Iw� mv
v =� gh
2
r2 =� 3 mv
mgh =� +� =� +�
3
2 2 2 2�� 2 4
Walec pusty: I =� m �� r2
v2
2
mr ��
2 2
v =� gh
mv Iw�2 mv
2
r2 =� mv
mgh =� +� =� +�
2 2 2 2
Dynamika ruchu obrotowego
Staczanie z równi pochyłej symetrycznej bryły
(np. kula, walec, obręcz) bez poślizgu:
f�
R
x =� r ��Ć �� a =� � ��r
r
l
x
Ruch postępowy (wzdłuż równi):
T
h
m��a =� Q��sin� -�T
Q
q�
Ruch obrotowy względem środka masy:
I ��e� =� T �� r
Eliminując siłę tarcia:
g �� sinq�
a =�
I ��e�
I
m��a +� =� mg sinq�
1+�
2 r
m �� r
Toczenie
1) Suma ruchów postępowego i obrotowego

2�
mv2 Iw�2
w�
Ek =� Ek +� Ek =� +�
pO
22
v =� w�R

1�
R
mw�2R2 Iw�2
Ek =�+�
22
A
środek chwilowego obrotu
2) Ruch złożony (toczenie ) + twierdzenie Steinera
Io +� md2 w�2 Io +� mR2 w�2
(� )� (� )�
Iw�2
Ek =� =� =�
2 2 2
Moment pędu
L =� r �� p =� r ��m��v
L
p
r
O
Moment pędu
Punkt materialny:
L =� r �� p =� r ��m��v
r�
L
r�
p
a�
r�
r
O A
L =� r �� p��sina� =� r ��m��v��sina� =� r ��m��w� ��r =� m��r2 ��w� =� I ��w�
vs
r�
r�
L =� I ��w�
Równanie ruchu obrotowego
r�
r�
v�
v�
dp
r� dp r�
=� F
r �� =� r �� F
dt
dt
r�
r�
dL
M
Obliczamy :
dt
dL d dr dp
=� r �� p =� �� p +� r ��
(� )�
dt dt dt dt
r� r�
v �� p =� 0
Zasada zachowania momentu pędu
r�
r�
dL
Punkt materialny:
=� M
dt
N punktów materialnych:
r� r�
N N N
r� r� r�
dLi d
=�
��M =� Mzewn =� �� ��L =� dL
i i
dt dt dt
i=�1 i=�1 i=�1
r�
r�
dL
Mzewn =�
dt
Zasada zachowania momentu pędu
r�
r�
r�
dL
Mzewn =� 0
Mzewn =�
dt
r�
L =� const
Moment pędu układu odosobnionego jest stały.
Jeśli ciało sztywne jest układem symetrycznym względem osi
obrotu, to kierunek momentu pędu będzie równoległy do osi
obrotu i zgodny z kierunkiem wektora prędkości kątowej.
r�
r�
L =� I ��w�
Moment pędu
v�
r�
L =� I�
Zasada zachowania momentu pędu
Zasada zachowania momentu pędu
r�
Mzew =� 0
Moment pędu L jest zachowany
I1
I1�1 =� I2�2 I1 >� I2 �� �2 >� �1
�� �2 =� �1
I2
Ek2 >� Ek1
Zasada zachowania momentu pędu
r�
r�
L =� I ��w�
Zasada zachowania momentu pędu
W czasie obracania osi koła moment pędu
koła nie jest zachowany.
Działające w czasie obracania siły były siłami
wewnętrznymi - składowa pionowa całkowitego
momentu pędu układu pozostaje równa zeru.
Lkrzesla =� Lkola
Zatrzymujemy krzesło. Moment pędu krzesła został przekazany Ziemi.
Moment pędu koła nie zmienił się - nadal wynosi Lkola
Obrót koła o 1800
Lkola -Lkola
L =� 2Lkola
Lkola =� -�Lkola +� L
Ruch postępowy Ruch obrotowy
N
m
Masa
I =�
Moment bezwładności
��D�m �� ri2
i
i=�1
r�
r� r�
v�
Siła
F
Moment siły M =� r �� F
r�
r� dj�
r� dr
Prędkość kątowa
w� =� �� ę
Prędkość liniowa
v =�
dt
dt
r�
v� v�
v =� w� �� r
r� r�
2 2
r� d r r� d j�
a =� e� =�
Przyspieszenie liniowe Przyspieszenie kątowe
dt2 dt2
r� r�
as =� e� �� r
r�
r�
v�
Pęd Moment pędu L =� r �� p
r�
r� r�
r�
p =� m �� v
L =� I ��w�
Ruch postępowy Ruch obrotowy
r�
r� r�
Równanie ruchu: r�
F =� m �� a
M =� I ��e�
r�
r�
v� r�
dp
dL
=� F =� M
dt dt
Zasada zachowania pędu: Zasada zachowania momentu pędu:
r�
r�
Fzewn =� 0
Mzewn =� 0
r�
r�
p =� const
L =� const
Energia kinetyczna
2
2
mv
Iw�
Ek =�
Ek =�
2
2