Ruch bryły sztywnej,
dynamika ruchu obrotowego
OPIS RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Bryłą sztywna nazywamy zbiór punktów materialnych (nieskończenie wielu),
których wzajemne poło\
enie nie zmienia się pod wpływem działających sił.
N
Åšrodek masy: ri mi
"
i=1
=
R
sm
N
-dla układu punktów materialnych
mi
"
i=1
n
ri
""mi
+"r dm
i=1
=
R
sm
=
R
sm
-dla bryły sztywnej mc
mc
Ruch postępowy:
n
Ruch bryły sztywnej mo\
na rozło\
yć na: ruch postępowy
Masm = Fi = Fzewn .
"
środka masy i ruch obrotowy
i=1
Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa
układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
1
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É)
É
É
É
Dla elementarnej masy "mi :
Li = ri ×pi
- moment pędu:
Mi = ri ×Fi
- moment siły:
d Li
Mi =
d t
Dla caÅ‚ej bryÅ‚y - obrót wokół osi (zakÅ‚adajÄ…c L||É):
É
É
É
ëÅ‚ öÅ‚
2
vi = É×ri
L = "mi vi = "mi (rÄ„"iÉ) = ìÅ‚ "mi ÷Å‚É
"rĄ"i "rĄ"i "rĄ"i
i i íÅ‚ i Å‚Å‚
vi = Éri sin¸i = ÉrÄ„" i
2
I = "mi
"rĄ"i
i
moment
L = ™É
bezwładności:
2
I = d m
+"r
Ruch obrotowy (przypadek szczególny L||É i M|| É
É É
É É)
É É
II zas. dynamiki Newtona dla
d L
M = ruchu obrotowego ogólnie
dt
spełniona
Jeśli:
oraz to:
L = ™É M || É
d L d(IÉ) d É
M = = = I = Iµ
d t d t d t
M = Iµ
2
Przykład:
Znajdz
przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie kÄ…towe
bloczka oraz naprÄ™\
enie nici. Dane są masa bloczka M i jego promień R. (Wszelkie
opory i tarcie pomijamy).
1
Moment bezwładności bloczka wynosi
MR2
2
M = RN = Iµ
Ruch obrotowy
wyp
II zasada
dynamiki
Fwyp = mg - N = ma
Ruch postępowy
Newtona
a
zwiÄ…zek miedzy ruchem
µ =
postępowym i obrotowym R
mg 2m
a = = g g 2m
mM
M µ =
N = g
2m + M
m +
R 2m + M
2m + M
2
Ruch obrotowy ogólnie
ogólnie gdy:
L ||É
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Lx Ixx Ixy Ixz Éx
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
L = Î É Ô! Ly ÷Å‚ = Iyx I I Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
ìÅ‚
yy yz
ìÅ‚ ÷Å‚
Lz ìÅ‚ Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
dodatek
d L
M =
II zas. dynamiki Newtona
dt
Dla ka\
dej bryły sztywnej mo\
na zdefiniować trzy prostopadłe osie, zwane głównymi
osiami bezwładności.
" Moment bezwładności ciała względem jednej z tych osi jest maksymalny, względem
drugiej jest minimalny, zaś względem trzeciej  ma wartość pośrednią: II e" III e" IIII,
" Jeśli ciało ma kształt symetryczny główne osie bezwładności są tak\
e osiami symetrii
ciała.
3
Ruch obrotowy wokół osi głównych
Î
Transformujemy tensor do układu, którego osie współrzędnych (x ,y ,z ) są równoległe
do osi głównych bezwładności:
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ Lx' Ix'x' 0 0 Éx'
Lx Ixx Ixy Ixz Éx ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ly' = 0 I 0
L = ÎÉ Ô! = Iyx Iyy Iyz Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚É ÷Å‚
ìÅ‚L ÷Å‚ y' y y'
y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Lz' 0 0 Iz'z' ÷Å‚ìÅ‚Éz' ÷Å‚
Lz ìÅ‚ Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
Ć
L = Ix'x'Éx'î'+I Éy'5
'+Iz'z'Éz'k'
y'y'
Kiedy L jest równolegÅ‚y do É ?
É
É
É
1) W ogólnym przypadku L nie jest równoległy
do É
É.
É
É
2) L jest równolegÅ‚y do É wówczas, gdy osiÄ…
É
É
É
obrotu jest jedna z głównych osi
bezwładności (wtedy: gdzie I jest
L = ™É
wartością skalarną).
Przykładowe momenty bezwładności wokół osi głównych
4
Przykład: liczenie momentu bezwładności pręta o masie M i długości L.
Moment bezwładności elementu
o masie dm wynosi x2dm
L / 2
mc I = x2 d m
+"
dm = dx
je\
eli pręt ma stałą gęstość:
L -L / 2
L / 2
mc L / 2 mc x3 mcL2
I = x2 d x = =
+"
L L 3 12
-L / 2
-L / 2
Twierdzenie Steinera:
2
™ = ™S + mcd
5
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
" przypadek szczególny, gdy wektor É jest równolegÅ‚y do
É
É
É
jednej z osi głównych bezwÅ‚adnoÅ›ci (czyli L||É):
É
É
É
1 1 1 ëÅ‚ öÅ‚
2
Ek = vi2 = (rÄ„"iÉ)2 = ìÅ‚ rÄ„"i ÷Å‚ É2
""mi ""mi ""mi
2 2 2
i i íÅ‚ i Å‚Å‚
1
2
Ek = IÉ
2
" ogólnie, gdy wektor É nie jest równolegÅ‚y do \
adnej z osi
É
É
É
głównej (x ,y ,z są głównymi osiami bezwładności):
1
2 2 2
Ek = (Ix'x'Éx' + I Éy' + Iz'z'Éz')
y' y'
2
Analogie ruchu obrotowego do ruchu postępowego
Ruch postępowy Ruch obrotowy
Õ, É, µ, I
Õ
Õ
Õ
r, v, a, m
L = r × p
p = mv
M = r × F
F
dL
dp
M = , L = ™É
F =
dt
dt
M = Iµ
F = ma
1
1
Ek = IÉ2
Ek = mv2
2
2
przypadek szczególny, gdy wektor É jest równolegÅ‚y do jednej z osi głównych
É
É
É
bezwÅ‚adnoÅ›ci (czyli L||É É
É) oraz M||É
É É
É É
6
PRZYKA
ADY RUCHU BRYA
Y SZTYWNEJ
Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne
moment siły II zasada dynamiki
powodujący Newtona dla bryły
ruch: sztywnej:
d2¸
M = -mgd sin¸
M = Iµ = I
d t2
czyli:
d2¸
I = -mgd sin¸
d t2
dla małych wychyleń
¸:
d2¸ mgd
sin¸ H" ¸
poniewa\
:
+ ¸ = 0
d t2 I
d2¸
2
+ É0¸ = 0
rozwiązanie równania oscylatora drgań harmonicznych:
d t2
mgd I
¸ (t) = ¸0 cos(É0t +Õ)
T = 2Ä„
É0 =
mgd
I
Przykład ruchu (3): Toczenie się (bez poślizgu) po równi pochyłej
 równania ruchu
a = µR
Toczenie bez poślizgu:
ruch postępowy
ruch obrotowy
FR - mg cos¸ = 0
a
M = RT = ISM .µ = ISM
mg sin¸ -T = ma
R
np. dla walca:
mg sin¸
a =
2
m + ISM / R2
a = g sin¸
3
Z zasady zachowania energii
ruch postępowy
ruch obrotowy
1 1
2
Ekp = mvSM Eko = ISM É2
2 2
1 1
2
mgh = mvSM + ISMÉ2
2 2
Toczenie bez poślizgu
v = ÉR
4
mgh
vSM = gh
vSM = 2 np. dla walca
3
m + ISM / R2
7
KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU P
DU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO
d L
M = = 0 Ò! L = const.
d t
L = ™É = const.
É
É
É
1. Swobodny obrót wokół osi nierównoległej do \
adnej z osi głównych
M = 0 L = const.
Precesja  bÄ…ka swobodnego
Precesja osi obrotu Ziemi:
" Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół
osi głównej. Dlatego jej oś obrotu podlega precesji.
" Zmiany poło\
enia osi obrotu,sÄ… bardzo niewielkie
mcR2
mcR2
(ok. 15 m).
Iz' =
Ix' = I =
y'
4 2
" Okres obiegu wynosi średnio ok. 427 dni.
8
2. Stała wymuszona oś obrotu
L `" const.
d L
M = `" const.
d t
Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)
Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą ło\
ysk ustalimy w przestrzeni oÅ› obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dą\
ył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a ło\
yskami. Momenty sił reakcji ło\
ysk spowodujÄ… precesjÄ™ wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba ło\
ysk poniewa\
momenty sił są zerowe.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dą\
y do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji ło\
ysk.
3. Precesja pod wpływem działającego momentu bezwładności
Precesja bąka pod wpływem siły cię\
kości
M = r × mg
"L
M =
"t
M = ÉpL sin¸
"Õ "L 1 M
Ép = E" =
"t L sin¸ "t Lsin¸
M = É × L
p
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstawą ró\
nych technik
doświadczalnych jak np. magnetyczny rezonans jądrowy (NMR)
9
Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej
Ziemia nie jest bÄ…kiem swobodnym.
Niejednorodności pola grawitacyjnego w
którym się porusza (niezerowy moment sił
grawitacji) powodujÄ… precesjÄ™ astronomicznÄ…
wektora momentu pędu (w przybli\
eniu
równoległą do osi obrotu Ziemi *). Okres
precesji wynosi ok. 26 000 lat.
Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia siÄ™ w
czasie (wpływ Księ\
yca) co powoduje nutacjÄ™.
*
uwaga w punkcie 1. opisano niewielką precesję osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora
momentu pędu (Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)
śyroskop
Jeśli \
yroskop jest w równowadze przy L = 0 to
będzie tak\
e w równowadze dla L `" 0.
Jak zachowa siÄ™ \
yroskop gdy zwiększymy lub
zmniejszymy przeciwwagÄ™?
M = É × L
p
Częstość precesji
(podobnie jak dla
bÄ…ka):
M mgr
Ép = =
Lsin¸ L
¸ = 90o
jest proporcjonalna do
odjętej/ dodanej masy m.
10
L = ÎÉ
UZUPEA
NIENIE  WYPROWADZENIE ZWI
ZKU
vi = É×ri
(NADOBOWI
ZKOWO !)
L = = ×pi = × "mivi )= ri ×(É ×ri )]
"Li "ri "(ri "["mi
i i i i
L = ["mi(É Å"ri2 - ri(ri " É))]
"
i
A×(B×C)= B(A " C)- C(A " B)
L = ["mi(Éri2 - ri(xiÉx + yiÉy + ziÉz))]
"
i
Å„Å‚
x ""mi ""mi ""mi ""mi
ôÅ‚L = Éx ri2 -Éx xi2 -Éy xi yi -Éz xi zi
i i i i
ôÅ‚
ôÅ‚L = Éy ri2 -Éx yixi -Éy yi2 -Éz yizi
òÅ‚
y ""mi ""mi ""mi ""mi
i i i i
ôÅ‚
ôÅ‚Lz = Éz ri2 -Éx zixi -Éy zi yi -Éz zi2
""mi ""mi ""mi ""mi
ôÅ‚
ół i i i i
ëÅ‚ Ixx Ixy Ixz Éx
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
Lx = Éx (ri2 - xi2)-Éy xi yi -Éz xizi
""mi ""mi ""mi
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
i i i
144244 1424 1424
3 3 3
L = Î É = Iyx I I Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
yy yz
Ixx Ixy Ixz
ìÅ‚
Ixy = Iyx = - xi yi Izx Izy Izz ÷Å‚ìÅ‚Éz ÷Å‚
Ixx = (ri2 - xi2)= (yi2 + zi2) ""mi
""mi ""mi
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
i
i i
Ixz = Izx = - xizi
I = (ri2 - yi2)= (xi2 + zi2)
""mi
yy ""mi ""mi
ogólnie:
L ||É
i
i i
Izz = (ri2 - zi2)= (xi2 + yi2)
Izy = I = - zi yi
""mi ""mi
yz ""mi
i i i
ri2 = xi2 + yi2 + zi2
11