Bryła sztywna
Fizyka I (B+C)
Wykład XXI:
" Bryła sztywna
" Opis ruchu
" Statyka
" Prawa ruchu
Bryła sztywna
Układ wielu ciał
Ruch układu jako całości
m
1 m
3
Pęd:
p
3
p
1
P = M VCM
VCM
Energia kinetyczna:
m
2
CM
p
2
2
M VCM
Ek = + Ek
p
4
2
m
4
Moment pędu:
układ inercjalny
Masa układu
L = MRCM × VCM + L CM
M = mi
i
Położenie środka masy:
Ek - energia  wewnętrzna
1
L CM -  wewnętrzny moment pędu
R = mi ri
M
i
A.F.Żarnecki Wykład XXI 1
Bryła sztywna
Układ wielu ciał Przypadek szczególny
W oparciu o pojęcie środka masy możemy
opisać ruch układu jako całości stosując
1
3
równania ruchu punktu materialnego.
CM
dP
zw
r
23
= F
dt
2
dL
= Mzw
4
dt

rij = ri - rj =

Natomiast ruch względny ciał układu może
być (w ogólnym przypadku) bardzo skomp-
likowany...
Układ ciał w którym względne odległości
sÄ… staÅ‚e Ò! bryÅ‚a sztywna (uogólniona)
A.F.Żarnecki Wykład XXI 2
Bryła sztywna
Naogół ciałem sztywnym nazywamy ciało makroskopowe,
które nie podlega deformacjom - wszystkie punkty mają względem siebie stałe odległości.
Położenie
Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba określić:
położenie wybranego punktu położenie drugiego punktu położenie trzeciego punktu
np. środka masy
2 parametry
3 parametry
(położenie na sferze)
1 parametr (położenie na okręgu)
(stopnie swobody)
Ò! Å‚Ä…cznie mamy 6 stopni swobody
A.F.Żarnecki Wykład XXI 3
Opis ruchu
Położenie bryły sztywnej opisują 3 współrzędne i 3 kąty
Złóżenie ruchów
Ogólny ruch (zmianę położenia) można przedstawić jako złożenie
ruchu postępowego oraz ruchu obrotowego
wszystkie punkty poruszają się po okręgach
wektory prędkości są takie same dla wszystkich punktów
A.F.Żarnecki Wykład XXI 4
Opis ruchu
Chwilowa oÅ› obrotu
Czasami złożenie ruchu postepowego i obrotowego (wzgledem np. środka masy)
można przedstawić jako ruch obrotowy względem chwilowej osi obrotu
vi = VCM + É × ri - R
JeÅ›li VCM Ä„" É wtedy:
vi = É × ri - R
R - położenie chwilowej osi obrotu
(zmienne w czasie)
chwilowa oÅ› obrotu Ä™!
A.F.Żarnecki Wykład XXI 5
Opis ruchu
Więzy
Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku opisuje kolejnych 6 parametrów
(np. prędkość środka masy i prędkość kątowa w układzie środka masy)
W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony przez więzy:
" koÅ‚o obracajÄ…ce siÄ™ na nieruchomej osi Ò! jeden stopieÅ„ swobody (kÄ…t obrotu)
" walec toczÄ…cy siÄ™ bez poÅ›lizgu Ò! jeden st. swobody (kÄ…t obrotu lub przesuniÄ™cie)
" walec toczÄ…cy siÄ™ z poÅ›lizgiem Ò! dwa stopnie swobody (kÄ…t obrotu i przesuniÄ™cie)
" kulka toczÄ…ce siÄ™ bez poÅ›lizgu Ò! trzy stopnie swobody (trzy skÅ‚adowe É)
W rozwiązywaniu zagadnień kluczowe jest zrozumienie jakie są stopnie swobody
Obecność więzów oznacza też obecność sił reakcji więzów...
A.F.Żarnecki Wykład XXI 6
Statyka
Warunek równowagi
Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy,
gdy działające na nią siły i momenty sił równoważą się:
dP
zw
F = Fizw = 0 Ð!Ò! = 0
dt
i
dL
Mzw = Mizw = 0 Ð!Ò! = 0
dt
i
zw
Siłami z którymi naogół
Jeśli F = 0 to wypadkowy moment sił względem
bedziemy mieli do czynienia
każdej osi jest taki sam ! (wystarczy sprawdzić raz)
są siła ciężkości i siły reakcji
ri = ri + R
więzów
M = ri × Fi = ri × Fi + R × Fi = M
i i i
A.F.Żarnecki Wykład XXI 7
Statyka
Równowaga
zw
Nawet jeśli warunek F = Mzw = 0 jest spełniony, równowaga może być:
trwała obojętna chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
pojawienie się siły wypadkowej zmianę położenia pojawienie się siły wypadkowej
(momentu siły) przywracającej równowagi zwiększającej wychylenie
równowagę
A.F.Żarnecki Wykład XXI 8
Statyka
Przykład I
Warunkiem równowagi trwałej dla wielościanu (ustawionego na poziomej powierzchni,
pod działaniem siły ciężkości) jest aby pion wypuszczony ze środka ciężkości przechodził
przez podstawÄ™.
Równowaga trwała Brak równowagi
Moment siły ciężkości  dociska bryłę do Moment siły ciężkości wywraca bryłę
powierzchni
A.F.Żarnecki Wykład XXI 9
Statyka
Przykład II
Dwu-stożek położony na nierównoległych szynach:
Gdy szyny są poziome, stożek będzie się poruszał w kierunku szerszego końca.
Siła ciężkości i reakcji szyn się równoważą, ale wypadkowy moment sił nie będzie zerowy.
Szyny stykają się ze stożkiem wzdłuż łuku elipsy z osią stożka (środkiem masy) w jednym z ognisk...
A.F.Żarnecki Wykład XXI 10
Statyka
Przykład II
Równowagę osiągniemy gdy szyny będą pochylone pod odpowiednim kątem
(szerszy koniec wyżej)
Oś stożka pozostaje cały czas na tej samej wysokości (Ep = const)
A.F.Żarnecki Wykład XXI 11
Statyka
Równowaga
Równowaga bryły na którą działa siła ciężkości i siły reakcji można sklasyfikować patrząc
na położenie środka masy (energię potencjalną): (F = - Ep)


równowaga trwała obojętna chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
podniesienie środka masy brak zmian położenia obniżenie środka masy
wzrost energii potencjalnej środka masy zmniejszenie energii potencjalnej
A.F.Żarnecki Wykład XXI 12
Statyka
Równowaga
Zmiana położenia środka masy, przy wychyleniu z położenia równowagi,
zależy od kształtu bryły, ale także od charakteru więzów.
Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży
równowaga trwała obojętna chwiejna
Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy (F = - Ep)


A.F.Żarnecki Wykład XXI 13
Statyka
Równowaga
Kryterium zmiany poÅ‚ożenia Å›rodka masy Ò! energii potencjalnej
ma zastosowanie także w bardziej ogólnych przypadkach
Np: sześcian ustawiony na kuli
Położenie środka masy sześcianu
(nad środkiem kuli):
a 1
h = R cos Ć + d sin Ć + a cos Ć
2
d
d = R Ć
a
h = R + cos Ć + R Ć sin Ć
2
Ć
h
R
w przybliżeniu małych kątów:
1
sin Ć H" Ć, cos Ć H" 1 - Ć2
2
a 1 a
h = R + + R - · Ć2
2 2 2
a
Równowaga trwała jeśli R >
2
A.F.Żarnecki Wykład XXI 14
Prawa ruchu
Obrót wokół ustalonej osi
Dla bryły sztywnej obracającej się wokół ostalonej osi
mement pędu (skalarnie):
dĆ
2
L = É mi rÄ„" i = É I É =
dt
i
rĄ" i - odległość masy i od osi obrotu,
I - moment bezwładności względem wybranej osi.
Pod wpływem stałego momentu siły M:
dL dÉ
2
M = = mi rÄ„" i = µ I
dt dt
i
dÉ
µ = -



dt
M
Ò! µ = =

I
ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)
A.F.Żarnecki Wykład XXI 15
Prawa ruchu
Ruch jednostajnie przyspieszony
M0
µ0 =
I0
2
2
I H" 4mr2 < 4mr0 M = F R > M0 = F R0
I0 H" 4mr0
M0
M
Ò! µ = > µ0 Ò! µ = > µ0
I I0
poÅ‚ożenie ciężarka: h = Ć · R
A.F.Żarnecki Wykład XXI 16
Prawa ruchu
Ruch harmoniczny
Moment siły zależy od kąta skręcenia pręta Ć:
M = -¾ Ć
¾ - współczynnik  sprężystoÅ›ci
moment siły ma znak przeciwny do skręcenia
Ć
dL dÉ d2Ć
M = = I = I
dt dt dt2
d2Ć ¾
Ò! = - Ć
dt2 I
r
równanie oscylatora harmonicznego.
m
Częstość drgań:
" "
¾ ¾ ¾
½ = = H"
"
2
I 2r m
mi rĄ" i
i
A.F.Żarnecki Wykład XXI 17