Bryła sztywna
Fizyka I (B+C)
Wykład XXIV:
" BÄ…k
" Precesja
" Żyroskop
" Ogólne wyrażenie na moment pędu
" Tensor momentu bezwładności
" Osie główne
Przypomnienie
Punkt materialny Bryła sztywna
ruch postępowy ruch obrotowy (względem osi symetrii !)
" przesuniÄ™cie x Ò! kÄ…t obrotu Ć
dx dĆ
" prÄ™dkość v = Ò! prÄ™dkość kÄ…towa É =
dt dt
dv dÉ
" przyspieszenie a = Ò! przyspieszenie kÄ…towe µ =
dt dt
" masa m Ò! moment bezwÅ‚adnoÅ›ci I
" pÄ™d p = mv Ò! moment pÄ™du L = IÉ
" ukÅ‚ad izolowany p = const Ò! ukÅ‚ad izolowany L = const
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 1
Porównanie
Punkt materialny Bryła sztywna
ruch postępowy ruch obrotowy (względem osi symetrii !)
" siÅ‚a F Ò! moment siÅ‚y M
" równania ruchu F = ma Ò! równania ruchu M = Iµ
dp dL
= F Ò! = M
dt dt
" praca W = F · dx Ò! praca W = M · dĆ
1 1
" energia kinetyczna Ek = mv2 Ò! energia kinetyczna Ek = IÉ2
2 2
Dla ruchu obrotowego względem ustalonej osi, pokrywającej się z osią symetrii bryły !!!
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 2
BÄ…k
Równowaga
Zasada zachowania mementu pędu
Jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to
kierunek momentu pędu pozostanie stały
niezależnie od działających sił i ruchu postępowego
Ò! efekt żyroskopowy
Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze.
Momenty działających sił są równe zero (względem S i O)
Ò! moment pÄ™du jest staÅ‚y
Ò! orientacja osi obrotu jest staÅ‚a (bÄ…k symetryczny)
L = É I =


Czy jest to równowaga trwała?
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 3
BÄ…k
Moment sił
Gdyby bąk nie wirował (L = 0) to ustawienie pionowe
byłoby stanem równowagi nietrwałej.
Wychylenie z tego położenia powodowałoby powstanie
wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły wypad-
kowej, które powodowałyby wywrócenie bąka.
Moment siły ciężkości względem punktu podparcia O:
M = R × mg
M = mgR sin ¸
R - odległość środka ciężkości od punktu podparcia
"
¸ - kÄ…t odchylenia osi od pionu
M
Moment siły M skierowany jest prostopadle do osi bąka...
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 4
BÄ…k
Precesja
W przypadku gdy bąk wiruje, przyłożony moment siły
powoduje zmianę całkowitego momentu pędu:
dL
M =
dt
Wektor momentu pędu pokrywa się z osią obrotu
L É r
natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły
M = mR × g Ä„" R
Ò! wartość momentu pÄ™du nie ulega zmianie
dL
= 0
dt
Ò! kierunek momentu pÄ™du zmienia siÄ™ Ò! precesja
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 5
Precesja
Częstość
W przedziale czasu "t moment pędu zmieni się o:
"L = M "t = mRg sin ¸ "t
Spowoduje to obrót poziomej składowej L o kąt
"L mRg sin ¸
"Ć = = "t
L sin ¸ L sin ¸
Ò! czÄ™stość z jakÄ… wektor L bÄ™dzie zakreÅ›laÅ‚ stożek:
"Ć mRg
Ép = =
"t L
Ò! czÄ™stość precesji
Częstość precesji maleje ze wzrostem momentu pędu (częstości ruchu wirowego bąka)
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 6
Żyroskop
Równowaga
 Waga : ciężar żyroskopu jest zrównoważona
przez odpowiednio dobrane ciężarki.
L
Jeśli żyroskop jest w równowadze przy L = 0
to będzie także w równowadze dla L = 0

Jak zachowa się żyroskop gdy zwiększymy
lub zmniejszymy  przeciwwagÄ™ ?
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 7
Żyroskop
Precesja
zwiększone obciążenie zmniejszone obciążenie
(przypadek bÄ…ka)
M
L r
mg
M
L r
mg
Ép
Ép
zgodnie z ruchem wskazówek zegara
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
(patrząc os góry)
mrg
CzÄ™stość precesji Ép = Ò! proporcjonalna do dodanej/brakujÄ…cej masy
L
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 8
Żyroskop
Paradoks ?
Nie wirujący bąk wychylony z położenia równowagi L = 0
lub nie zrównoważony żyroskop L = 0 Ò! wywracajÄ… siÄ™
Natomiast jeśli L = 0 to bąk i żyroskop podlegają precesji

Ò! nigdy siÄ™ nie wywrócÄ… (zaniedbujÄ…c siÅ‚y tacia).
Czy jest to słuszne dla dowolnie małych wartości L ?
Z doświadczenia wiemy, że nie !
Wirujący bąk wywraca się zanim prędkość kątowa jego ruchu wirowego spadnie do zera.
Nasze rozważania precesji nie były ścisłe
Ò! dla maÅ‚ych momentów pÄ™du musimy uwzglÄ™dnić dodatkowe efekty...
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 9
Żyroskop
Precesja
Niech moment pędu zrównoważonego
żyroskopu wynosi L.
Lp
Åš
L
Co się dzieje gdy zdejmiemy jeden ciężarek ?
Lz
Wartość całkowitego moment pędu nie ulega
Ép
zmianie, gdyż moment siły ciężkości jest
prostopadły do L.
Obrót żyroskopu z czÄ™stoÅ›ciÄ… Ép wzglÄ™dem pionowej osi Ò! moment pÄ™du Lp = Ép Ip.
Aby całkowity moment pędu nie uległ zmianie, oś żyroskopu musi się nachylić o kąt:
Lp mrgIp
¸ <" =
L L2
Duże L Ò! ¸ 0 ( Lp można pominąć) MaÅ‚e L Ò! żyroskop/bÄ…k wywracajÄ… siÄ™...
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 10
Żyroskop
Nutacja
Idealna precesja, gdy koniec ramienia ży-
É
p
roskopu porusza siÄ™ ruchem jednostajnym
po okręgu, zachodzi tylko przy szczególnym
wyborze warunków początkowych.
W ogólnym przypadku na precesję nakładają
się oscylacje ramienia żyroskopu wokół
poÅ‚ożenia  stacjonarnej precesji Ò! nutacje.
Charakter tych dodatkowych oscylacji zależy od warunków początkowch.
Zazwyczaj są mało widoczne i zanikają w czasie (tłumienie).
Ich amplituda rośnie dla małych wartości L
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 11
Moment pędu
Do tej pory rozpatrywaliśmy wyłącznie ruch obrotowy względem ustalonej osi.
Naogół była to oś symetrii bryły, lub oś do niej równoległa.
W ogólnym przypadku problem jest bardziej skomplikowany
Przykład - dwa wirujące ciężarki
Ciężarki w jednej płaszczyz
nie Ą" osi Ciężarki rozsunięte wzdłuż osi obrotu
L
É
S
S
É
L
OÅ› obrotu jest osiÄ… symetrii L É OÅ› obrotu nie jest osiÄ… symetrii Ò! L/ É
||
Li = miri × vi Ä„" ri
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 12
Moment pędu
Przykład II
Dysk wirujący wokół osi nachylonej do osi symetrii
Prędkość kątową możemy rozłożyć na Moment pędu dysku
składową równoległą i prostopadła
L = LÄ„" + L
do osi symetrii
= IÄ„"ÉÄ„" + I É
1
= IÄ„" ÉÄ„" + É
2
É = ÉÄ„" + É
Moment bezwładności dysku: (wykład 23)
L/ É
||
1 1 1
IÄ„" = mr2 I = mr2 = IÄ„"
2 4 2
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 13
Moment pędu
W ogólnym przypadku bryła sztywna może nie mieć żadnej osi symetrii.
Jak wtedy wyznaczyć moment pÄ™du, znajÄ…c prÄ™dkość kÄ…towÄ… É ?
Zdefinicji momentu pędu: Z definicji bryły sztywnej:
L = miri × vi vi = É × ri
i
Otrzymujemy:
2
L = miri × É × ri = mi É ri - ri (ri É)
( )
i i
korzystamy z tożsamoÅ›ci wektorowej: A × B × C = B A · C - C A · B
Kierunek L zależy od kierunku É jak i poÅ‚ożeÅ„ poszczególnych elementów bryÅ‚y ri.
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 14
Moment pędu
Rozpisując na składowe:
ri = (xi, yi, zi) É = (Éx, Éy, Éz) Ò! ri É = xiÉx + yiÉy + ziÉz
Otrzymujemy (na przykładzie Lx):
2
Lx = mi Éx ri - xi (xiÉx + yiÉy + ziÉz)
i
2
= Éx · mi(ri - x2) - Éy · mi xiyi - Éz · mi xizi
i
i i i
Lx zależy w ogólności od waszystkich skladowych prędkości kątowej !
Podobnie:
2 2
Ly = - Éx · mi xiyi + Éy · mi(ri - yi ) - Éz · mi yizi
i i i
2 2
Lz = - Éx · mi xizi - Éy · mi yizi + Éz · mi(ri - zi )
i i i
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 15
Tensor momentu bezwładności
Wyrażenie na składowe L możemy zapisać w postaci macierzowej:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
Lx ÷Å‚ mi(ri - x2) - mi xiyi - mi xizi ÷Å‚ ìÅ‚ Éx ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
i
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
L = ìÅ‚
Ly ÷Å‚ = ìÅ‚ - mi xiyi mi(ri - yi ) - mi yizi ÷Å‚ · ìÅ‚ Éy ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
Lz - mi xizi - mi yizi mi(ri - zi ) Éz
L = Î · É
tensor momentu bezwładności
Składowe tensora - współczynniki bezwładności ogólna postać (u, v = x, y, z)
ëÅ‚ öÅ‚
2
Iuv = mi(´uv ri - uivi)
Ixx Ixy Ixz ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚


Î = ìÅ‚
Iyx Iyy Iyz ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ Iuv = dV Á(r)(´uv r2 - u v)
Izx Izy Izz
delta Kroneckera: ´uv = 1 dla u = v i 0 dla u = v

A.F.Żarnecki Wykład XXIV 16
Tensor momentu bezwładności
Przykład
Cztery masy rozmieszczone w rogach sześcianu:
Y
M
a
Tensor bezwładności
ëÅ‚ öÅ‚
2 -1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
X Î = · M a2
-1 2 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 2
Z
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 17
Osie główne
W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładności mogą być różne od zera
(tensor symetryczny Ò! 6 niezależnych wielkoÅ›ci)
Okazuje się jednak, że w każdym przypadku można tak obrócić osie układu odniesienia,
żeby elementy pozadiagonalne znikały: (diagonalizacja tensora)
Ixy = Ixz = Iyz = Iyx = Izx = Izy = 0
układ taki definiuje nam osie główne bryły (kierunki własne tensora)
Jeśli bryła ma oś symetrii to będzie ona jedną z osi głównych !
Ò! pozostajÄ… tylko 3 współczynniki diagonalne Ixx, Iyy, Izz (wartoÅ›ci wÅ‚asne)
L = (Lx, Ly, Lz) = (Ixx Éx, Iyy Éy, Izz Éz)
Dla obrotu wokół osi głównej L É
np. É = (É, 0, 0) Ò! L = (IxxÉ, 0, 0) = IxxÉ
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 18
Osie główne
Przykład
Cztery masy rozmieszczone w rogach sześcianu:
Y
Tensor bezwładności
a
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
M
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Î = 0 3 0 · M a2
íÅ‚ Å‚Å‚
X
0 0 2
Z
Osie X , Y i Z sÄ… osiami głównymi Î:
" oś X - najmniejszy moment bezwładności
" oś Y - największy moment bezwładności
" oś Z - pośredni moment bezwładności
A.F.Żarnecki Wykład XXIV 19
Osie główne
Prostopadłościan Walec Sześcian
Ixx = Iyy = Izz

Rakieta tenisowa
Ixx = Iyy = Izz
Kula
Tak jak dla kuli !




































Ixx = Iyy = Izz


Ixx = Iyy = Izz

A.F.Żarnecki Wykład XXIV 20