Druga zasada dynamiki dla bryły sztywnej:
r�
r� r�
r�
r�
dL d(�IĆw�)�=� IĆ dw�
M =� =� =� IĆe�
dt dt dt
Zestawienie wzorów dla ruchu obrotowego bryły sztywnej dookoła
stałej osi w analogii z ruchem prostoliniowym:
dj� dx
prędkość kątowa w� =� v =�
dt dt
dw� dv
e� =� a =�
przyspieszenie kątowe
dt dt
dL dp
M =� Ie� =� F =� ma =�
moment siły
dt dt
L =� Iw� p =� mv
moment pędu
1 1
energia kinetyczna
EK =� Iw�2 EK =� mv2
2 2
Moment pędu bryły:
r�
r� r� r� r� r� r� r� r� r�
L =� [� ]�
r2w� -�(�w� ��r)�r dm
��r ��dp =� ��r ��(�w� ��r)�dm =� ��
r�
p m m
(� )�
Lx =� [�(�x2 +� y2 +� z2)�w�x -� w�xx +�w�y y +�w�zz x]�dm
��
=� w�x (�y2 +� z2)�dm -�w�y xy dm -�w�z xz dm
�� �� ��
Lx =� Ixxw�x +� Ixyw�y +� Ixzw�z
ć� ��ć�
Lx Ixx Ixy Ixz w�x
ć� �� ��
�� ����
�� �� ��
Ly =� I w�x +� Iyyw�y +� I w�z
Ly =� I I Iyz w�y ��
�� ����
yx yz
�� ��
yx yy
��
�� ��
Lz =� Izxw�x +� Izyw�y +� Izzw�z
Lz Izx Izy Izz ����w�z ��
Ł� ł� ł�
Ł� ł�Ł�
W zapisie tensorowym moment bezwładności można krótko napisać:
r�
r�
L =� IĆw�
Wektory momentu pędu i prędkości kątowej mają ten sam kierunek
tylko w przypadku obrotu dookoła jednej z głównych osi.
r�
r� r� r�
1 1
Energia kinetyczna:
EK =� w� �� L =� w�T IĆw�
2 2
Główne osie bezwładności
Główne osie bezwładności są osiami, dla których momenty
bezwładności przyjmują wartości ekstremalne i nazywają się
głównymi momentami bezwładności.
r�
r� r� r�
1 1 r� 1 r� r� 1
2
2
EK =�
��v dm =� 2 ��(�w� �� r)� r� dV =� 2 w���r ��v dm =� 2 w� �� L
2
m V m
r� r� r� r� r� r� r� r� r� r�
2
(�w� �� r)� =� (�w� �� r)���(�w� �� r)�=� w� ��[�r ��(�w� �� r)�]�
r� r� r� r� r� r� r�
2
[� ]�
=� w� �� r2w� -�(�r ��w�)�r =� w�2r2 -�(�w� �� r)�
2
2 2 2
(� )�
=� (�w�x +�w�y +�w�z )�(�x2 +� y2 +� z2)�-� w�xx +�w�y y +�w�z z
2 2 2
=� w�x(�y2 +� z2)�+�w�y(�x2 +� z2)�+�w�z (�x2 +� y2)�
-� 2w�xw�yxy -� 2w�xw�z xz -� 2w�yw�z yz
1 1 1
2 2 2
EK =� w�x (�y2 +� z2)�r� dV +� w�y (�x2 +� z2)�r� dV +� w�z (�x2 +� y2)�r� dV
�� �� ��
2 2 2
-�w�xw�y xyr� dV -�w�xw�z xzr� dV -�w�yw�z yzr� dV
�� �� ��
1
2 2 2
=� (�Ixxw�x +� I w�y +� Izzw�z +� 2Ixyw�xw�y +� 2Ixzw�xw�z +� 2I w�yw�z)�
yy yz
2
Momenty bezwładności względem osi układu:
Ixx =� (�y2 +� z2)�r� dV Iyy =� (�x2 +� z2)�r� dV Izz =� (�x2 +� y2)�r� dV
�� �� ��
Momenty zboczenia:
Ixy =� -� xyr� dV Ixz =� -� xzr� dV Iyz =� -� yzr� dV
�� �� ��
Jeśli jako osie układu przyjmiemy główne osie bezwładności,
to momenty względem osi będą głównymi momentami
I3
bezwładności: , I2, , a charakteryzujące asymetrię
I1
momenty zboczenia znikną:
1
2 2 2
EK =� (�I1w�1 +� I2w�2 +� I3w�3 )�
2
Bezwładność w ruchu obrotowym
Ixy =� I
yx
ć� ��
Ixx Ixy Ixz
�� ��
IĆ =� Iyx I Iyz Ixz =� Izx
�� ��
yy
��
Izx Izy Izz ��
I =� Izy
Ł� ł�
yz
r� (r)  lokalna gęstość w punkcie, którego położenie określone jest wektorem r
2
Ixx +� Iyy +� Izz =� 2
��m ri2 =� 2
i
��r�(r)r dV
i
V
Suma wyrazów przekątnych jest izotropowa  niezależna od orientacji ciała
względem osi układu.
Zdiagonalizowany tensor bezwładności
Dla każdej bryły sztywnej można znalez
ć taki
Ixx 0 0
ć� ��
�� ��
układ współrzędnych, dla którego wyrazy
IĆ =� 0 I 0
�� ��
yy
��
0 0 Izz �� pozaprzekątne tensora bezwładności zerują się
Ł� ł�
Ixy =� Ixz =� Iyz =� 0
Osie takiego układu nazywamy osiami głównymi bryły.
Dla ciał o symetrii sferycznej : I1 =� I2 =� I3
Bąki symetryczne I1 =� I2 ą� I3 ; Bąki asymetryczne I1 ą� I2 ą� I3
Elipsoda bezwładności
Obliczmy zdiagonalizowany tensor momentu bezwładności w układzie środka
masy bryły. W tym układzie znajdujemy elipsoidę o półosiach:
1 1 1
a1 =� ,a2 =� ,a3 =�
I1 I2 I3
y
L
Pł. styczna
Sposób znajdowania kierunku a
2
wektora L gdy dany jest
w�
kierunek wektora w� jest
x
a
1
O
przedstawiony na rysunku.
Bezwładność w ruchu obrotowym
Dla każdego ciała, również niesymetrycznego, można zdefiniować trzy prostopadłe
osie, zwane głównymi osiami bezwładności.
O1
O1
O2
O2
O3 O3
O3
O3
O2
O2
O1
O1
Moment bezwładności ciała względem jednej z nich jest maksymalny, względem
drugiej jest minimalny, zaś względem trzeciej  ma wartość pośrednią: I1> I2>I3.
Obroty brył sztywnych dookoła osi swobodnych.
Równania Eulera
z
Obracający się układ nieinercjalny
z
y
r
x
y
Układ inercjalny
x
Druga zasada dynami Newtona dla ruchu obrotowego bryły sztywnej w postaci:
r�
r�
dL
M =� jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia.
dt
 Równania Eulera
r�
Transformacja wektora przy przejściu z układu inercjalnego do
L
układu obracającego się z prędkością kątową w� :
r� r�
r� r�
ć� �� ć� ��
r�
dL dL
�� �� �� ��
Mi =� =� +�(�w� �� L)�
r
�� �� �� ��
dt dt
Ł� ł�i Ł� ł�r
Ć
iĆ 5
k
r�
r�
w� �� L =� w�x w�y w�z
gdzie
Ixxw�x Iyyw�y Izzw�z
Wektor L jest rozpatrywany w układzie wirującym.
r�
r�
Ć
Ć
(� )� (�
w� �� L =� iw�yw�z Izz -� Iyy +� 5
w�xw�z(�Ixx -� Izz)�+� kw�xw�y Iyy -� Ixx )�
Równanie wektorowe na moment siły możemy zapisać dla trzech składowych:
dw�x
(�
Mx =� Ixx +� w�yw�z Izz -� Iyy )�
dt
dw�y
M =� Iyy +� w�xw�z(�Ixx -� Izz)�
y
dt
dw�z
(�
Mz =� Izz +� w�xw�y Iyy -� Ixx )�
dt
Gdy Mx= My= Mz= 0 , to ciało wykonuje swobodny ruch obrotowy
(precesja swobodna).
Kula
Dla jednorodnej kuli Ixx= Iyy= Izz
dw�x
(�
M =� Ixx +�w�yw�z Izz -� Iyy )�
x
dt
wszystkie równia redukują się do postaci:
dw�y
M =� Iyy +� w�xw�z(�Ixx -� Izz)�
y
dt
dw�x
M =� Ixx
dw�z
x
dt
(�
Mz =� Izz +� w�xw�y Iyy -� Ixx )�
dt
dw�y
M =� Iyy
y
dt
W przypadku ruchu swobodnego
dw�z
M =� Izz
z
(gdy nie działają zewnętrze momenty sił)
dt
r� r�
M =� 0 �� L =� const
r�
w� =� const
Bąki. Precesja swobodna i wymuszona
I1 ą� I2 = I3 bąki symetryczne
I1 ą� I2 ą� I3 bąki niesymetryczne
Gdy ciało ma oś symetrii, to oś ta będzie osią główną.
Dla bąka, którego oś obrotu jest podparta w środku ciężkości, zachodzi
r�
r�
w� L
Bąk taki zachowuje stały kierunek w przestrzeni.
Jeśli zaburzymy ruch bąka przez krótkie działanie siły, to spowodujemy, że
r�
r�
w� L
Wtedy wektor w� zatacza stożek wokół stałego kierunku L. Taki ruch bąka
nazywamy nutacją.
Bąk symetryczny. Precesja
I1 =�I ą� I3
2
r�
M =� 0
Swobodny ruch obrotowy, gdy
Rozwiązanie:
dw�1
I1 +�w�2w�3(�I3 -� I2)�=� 0
w�3 =� const
dt
dw�2
w�1 =� Acos W�t w�2 =� AsinW�t
I2 +�w�1w�3(�I1 -� I3)�=� 0
dt
dw�3
I3 -� I
I3 =� 0
I1 =� I2 =� I; w�3 =� W�
dt
I
Składowe rzutu prędkości kątowej na płaszczyznę prostopadłą do osi symetrii bryły
r� r�
Rzut prędkości kątowej
obraca się wokół osi symetrii ze stałą
(�w�1 +�w�2)�
prędkością kątową W�.
Bąk symetryczny. Obraz widziany w układzie bryły O
z
I1 =�I ą� I3
2
z
oś symetrii oś
momentu
pędu
r�
Wektor wiruje wokół
w�
L
oś obrotu
osi bąka z prędkością
kątową W�, ślizgając się po
powierzchni stożka polhodii.
w�
stożek
polhodii
Ix = Iy < Iz
O
Bąk symetryczny. Obraz widziany w układzie inercjalnym O
oś
momentu
z
pędu
r�
Jeżeli
��M =� 0
L oś obrotu
oś symetrii
z
bąk wiruje swobodnie, to wektor
w�
momentu pędu zachowuje swój
kierunek w przestrzeni
r�
stożek
precesji
L =� const
r�
stożek
r�
herpolhodii
L w�
Wektor w� wiruje dokoła wektora
momentu pędu jednocześnie
stożek
polhodii
Ix = Iy < Iz
kołysząc się z częstotliwością
O
W� wokół osi symetrii bąka.
Precesja osi Ziemskiej
Ten ruch osi ziemskiej nazywamy
precesją.
Oś ziemska wykonuje go bardzo wolno,
pełny obieg trwa ok. 25.700 lat.
Precesja osi Ziemskiej
Precesja osi Ziemskiej
Ruch bieguna niebieskiego wywołany precesją osi Ziemi (zaniedbano nutację)
powodujący to, że w odpowiednio długiej skali czasu różne gwiazdy były lub
będą Gwiazdą Polarną.
Żyroskop
urządzenie do pomiaru lub utrzymywania
położenia kątowego
(zasada zachowania monetu pędu)
W centralnym miejscu znajduje się krążek, który jest zawieszony w podwójnej
ramce. Krążek raz wprawiony w szybki ruch obrotowy zachowuje swoje
początkowe położenie osi obrotu, z małymi ruchami precesyjnymi które nie są
zależne od położenia ramki.
Żyroskopy
Żyroskopy. Precesja wymuszona
Zachodzi ona wtedy, gdy na bąk działa moment siły dążący do zmiany
położenia osi symetrii bąka.
F=mg
m
R M =� [R��mg]
dL=Mdt
dq�
L(t)
Na prawym rysunku przedstawiony jest wynik działania
momentu siły. Moment pędu uległ w czasie dt przesunięciu o
kąt dq�. Z rysunku tego widzimy też, że;
dL M dq� M
.
dq� =� =� dt �� =�
L L dt L
Opisany tym równaniem ruch bąka nazywamy precesją.
Jako następny przykład rozważmy ruch bąka dziecinnego.
Precesja wymuszona