Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)

(0,2) (1,3) (2,4) (3,5) (4,6)

(0,3) (1,4) (2,5) (3,6)

(0,4) (1,5) (2,6)

(0,5) (1,6)

(0,6)



A

6

4

4

4

7

4

4

4

8  

C

6

4

4

4

7

4

4

4

8





 



ODP = P ⋅

p

2 asuja n

i

ie

r

1

z

zedu P nie

r

1

z

zedu jedna p

2 asuja +











 



 6

4

4

4

7

B

4

4

4

8  

4

6 D4

7 8 



 



+ P ⋅ p

2 asuja

r

1

z

1

i

zedu P

r

1

z

1

zedu p

2 asuja



 





 



A = 6 + 6 −1 = 11 (to można policzyć bo wtedy jedna z cyfrą jedna...) B = 11

11

P( )

A = 26

11

a

C+D=1 → ODP =

11

26

P( B) = 26

Zadanie 2

ODP = nE( Z min

1

( Z ,..., Z

1

=

n )

t )

E( Z min

= =

=

=

+

>

>

1

( Z ,..., Z

t

E Z Z

t P Z

min Z ,..., Z

E Z Z

t P Z

min Z ,..., Z

1

n )

) ( 1 1 ) ( 1

( 1

n )

( 1 1 ) ( 1

( 1

n )

θ 1

−

E(

 λ 

Z − t

=

λ





1

)+  λ+ t θ −1

λθ

1

θ

( +

−

) 1

−1

( + )

E( Z

1 − t Z 1 > t )

λ

t

θ

λ

t

=

→

1

1 >

=

+

P( Z 1 > t)

E( Z Z

t )

t

θ −1

E(

t

 λ + t

 n −

n − λ + t

Z min Z

Z

n

= t = +

+ t

= t +

1

( ,...,

1

) )

1

1





n

 θ −1

 n

n

θ −1

λ +

ODP = nt +

t

( n − )

1

θ −1

Zadanie 3

W=a(X+Y)+bZ

Chcemy: varW=1

Cov(W,X+Y)=0 żeby nzl

cov( a( X + Y ) + bZ, X + Y ) = a var( X + Y ) + b cov( Z, X + Y ) =

16

= a(4 +1+ 2 ⋅ )

5

,

1

+ b 1

( +

)

5

,

0

= 8 a + b

5

,

1

= 0 → b = −

a

3

var

2

W = a (4 + )

1

2

+ b + 2( 2

a

5

,

1 + ab + ab ⋅ 5

,

0 ) = 5 2

2

a + b + 3 2

a + 3 ab = 8 2

2

a + b + 3 ab = 1

2

256 2

2 16

8 a +

a − 3 a

= 1

9

3

2

9

3

3 46

16 3

46

a =

→ a =

=

, b = −

46 = −

184

2 46

96

3 96

6

3 46

46

W =

( X + Y ) −

Z W i X+Y nzl → E( 2

W

X + Y )

2

= EW = 1

96

6

 9 ⋅ 46

2

2 ⋅ 3 ⋅ 46

46



2

9 ⋅

1 =

46

2

46

E

( X + Y ) −

( X + Y ) Z +

Z X + Y  =

( X + Y ) −

( X + Y ) E( Z X + Y )+

 962

96 ⋅ 6

36



962

96

+ 46 E( Z 2 X + Y ) 36

+

E( Z X + Y )

cov( Z , X

Y )

= m +

+ −

+

=

+

=

+

Z

( X Y µX Y )

5

,

1

3

( X

Y )

( X

Y )

2

σ

4 + 1 + 2 ⋅ 5

,

1

16

X Y

+





E( 2

Z X + Y ) = (

2

1 − p )

2

2

9

2

5

,

1

9

2

23

9

2

σ +

( X + Y )



= 1



−

+

( X + Y ) =

+

( X + Y )

Z





256



1⋅ 8  256

32

256

E( Z 2 ( X + Y 2

) ) = EE( Z 2 ( X + Y 2

) X + Y ) = E(( X + Y 2

) E( Z 2 X + Y ) =





2

23

9



=

2

23

2

9

4

E( X + Y ) 

+

( X + Y )  =

E( X + Y ) +

E( X + Y ) = X + Y ≅ N (

)

8

,

0

=



 32

256



32

256

23

9

3200

25

=

⋅8 +

⋅ 3⋅ 64 =

=

32

256

256

2

E(( X + Y ) Z ) 3

= E( XZ) + E( YZ) = cov( X , Z) + EXEZ + cov( Y, Z) + EYEZ = 1+ 5

,

0

=

2

2

 

−

var(( X + Y ) Z )

25

3

25

9

50

9

41

=

−   =

− =

=

= 1 ,

0 25

2

 2 

2

4

4

4

Zadanie 4

X ≅ Bernoulli g

e o( n, p )

i

i

Epˆ = anp + b

i

i

2

2

2

2

2

ˆ p

E

= a EX + 2 abEX + b = a

−

+

+

+

i

i

i

(

2

2

2

np

np

n p

i

i

i )

2

2 abnp

b

i

EL( p, p) = 1

ˆ

∑ E( 2

pi − 2 p ˆ p

i

i +

2

pi ) = 1

ˆ

∑( 2

pi − 2 pi ( anpi + b) + 2

a ( npi −

2

npi + 2 2

n pi )+ 2 abnpi + 2

b ) =

k

k

= 1 ∑( 2

p

i −

2

2 anpi − 2 bpi + 2

a npi − 2 2

a p n

i

+ 2 2 2

a n pi + 2 abnpi + 2

b ) =

k



=18

7

6

1 

=

(1−2 an− a 2 n+ a 2 n 2)∑ p 2

2

2

2

2

i + (− b + a n +

abn)



∑ pi + b k

k 







żeby stałe było to: 1 − 2

2

2

2

an − a n + a n = 0

(−2 2

2

b + a n + abn + b k )1

2

→ min

k

2

a ( 2

n − n)− 2 an +1 = 0

∆ = 4 n 2 − 4( n 2 − n)= 4 n

∆ = 2 n

2 − 2

−

2 −

1

a

1 =

( n n =

=

=

2 n 2 − n)

n

n

n( n − )

1

( n n

n 2 − n)( n + n ) n + n 2 + 2

+

2 −

1

a

2 =

( n n =

=

=

2 n 2 − n)

n

n

n 2 − n

( n n

n 2 − n)( n − n ) n − n kb 2 + (2 an − 2 b

) + a 2 n → min

b

b

= −

min

2 a

n

1 −

2 − 2 an

1 − an

n +

b =

=

=

n =

n

=

1

2 k

k

k

( n+ n) k k( 1 n+ )1

n

1 − n − n

−

1

b =

=

= −

2

( n

k

n − n ) k

( n − )1 k

(

1



2



1

a , b : f c

elu

2

1

1 )

n

n

= ( n + ) +2

− 

+

=

 n

1

+ n

 ( n + )

1 k

(

2

n +

) A

n

(

1



2 n



1

n

a , b

: B =

−

− 2





+

2

2 )

( n − )21  n− n ( n − )1 k ( n− n)2

PORÓWNUJEMY:

1

2 n

n

1

2

1

k − 2 + k

(

2 k − )

1

A = ( n + ) −

+

=

−

+

=

=

2

1

( n+ n) k( n + )1 ( n+ n)2 ( n + )21 ( n + )21 k ( n + )21 ( n + )21 k k( n + )21

1

2 n

n

1

2

1

k − 2 + k

(

2 k − )

1

B = ( n − ) −

+

=

−

+

=

=

2

1

( n− n) k( n − )1 ( n− n)2 ( n − )21 ( n − )21 k ( n − )21 k( n − )21 k( n − )21

A < B → ODP = ( a , b 1

1 ) =

Zadanie 5

n

=

θ

L

∏

θ +1

X i

ln L = n ln θ − θ

( + )

1 ∑ ln X

i

∂ = n −∑

n

ln X

θˆ

0

i =

→ =

∂ θ θ

∑ln Xi

t

t

e

e

1

P(ln X < t) = P( X < t e ) = ∫ θ





= −

= 1− − tθ

e

≅ wykl θ

( )

θ +1



θ 

x

 x 

1

1

∑ln X

i ≅ Γ( ,

n θ)

 ≅Γ}

(20, θ )





d



 θ

d 

 1

d 

ˆ



d 

1. P θ <

θ  = P

<

 = P <

 = P

X

<

= ,

0 025



20 

ˆ

 θ

20

ˆ



 θ

20





θ 



θ 



c



 θ

c 

ˆ



c 

2. P θ >

θ  = P

>

 = ... = P X >  = , 0 025



20 

ˆ

 θ

20 



θ 

≅ χ 2 (40)

d

4

6 4

78

θ

20

d

20

19

2 d

19

− x

1.∫ θ

19 − x

θ

x e

= θ

x = t = ∫ θ

t

− t

e dt = = x

t

=

,

0 025

20

∫ x e 2 dx =

1 !

9

1 !

9 θ

20

2

2

0

0

0

∞

2. analogicznie = ∫ χ 2 (40) dx = , 0 025

2 c

Z tego: 2d=24,433, 2c=59,342

d

2 ,

4 433

c

59 3

, 42

Z tego:

=

≈ ,

0 61 ,

1

=

≈ ,1484

20

40

20

40

Zadanie 6

(∑ X 2, X - dostateczna, zupełna i

∑ i )

wiadomo: ˆ µ : ENW ( 2

µ

= X

2

) 2

E( X )

2

2

σ

2

=

+ µ

n

2

∑ X − X

ˆ µ

i

: ENMW ( 2

µ

= X −

bo od statystyki dostatecznej i zupełnej

1

) 2

(

)

n( n − )

1

oraz

2

E ˆ µ = µ

1



2 



σ 

X ≅ N µ;





n 

∑( Xi − X )2 ≅

2

2

χ ( n −

)

1 b

o

∑

i

X

X

2

(Xi − ) n zl

σ

∑( Xi − X )2

∑( Xi − X )2

WIEMY: E ˆ µ = E ˆ µ − E

, var ˆ µ = var ˆ µ + var

1

2

1

2

n( n − )

1

n( n − )

1

E[ˆ µ − µ

= Eˆ µ − 2 µ Eˆ µ + µ

1

]22

2

2

4

1

1

E[ˆ µ − µ

= Eˆ µ − 2 µ Eˆ µ + µ

2

]22

2

2

4

2

2

ODP =

2

ˆ µ

E

2 µ

ˆ µ

E

µ

ˆ µ

E

2 µ

ˆ µ

E

µ

var ˆ µ

ˆ µ

E

2 µ

ˆ µ

E

var ˆ µ

ˆ µ

E

2 µ

ˆ µ

E

2 −

2

+ 4

2

−

2

1 +

2

− 4

1

=

2 + (

)2

2

−

2

2 −

1 − (

)2

1

+

2

1 =

X

X

X

X

2

2

∑

2

i

2

∑

2

=

i

var ˆ µ

µ

E

µ

µ

E

µ

µ

E

µ

E

E

2 + (

ˆ 2 )

( − )

− 2

ˆ 2 − var ˆ2 − var

− ( ˆ2 )

( − )

+ 2 ˆ2

−

n( n − )

1

n( n − )

1

 ∑(

2

X i − X )2 



2

X

X

2 

∑( i − ) 

2

2

2





− E

+

σ χ ( n

)

1

σ

2 µ

ˆ µ

E

E

ˆ µ

E

var

2 ˆ µ

E

E

χ

2 −

= ( 2 )









2



− 



2 

−

+









2







n( n − )

1



n( n − )

1



n( n − )

1



 n( n − )

1











 

2

2



2



4

 2



2

 

σ

2 

2



σ

2 

σ

 σ

2 

− E

χ

−

σ

2 µ E

χ

= −

(

2 n − )

1 + 2

+ µ

( n − )

1 −

 







2

2





  n( n − )

1



 n( n − )

1



n ( n − )

1

 n

 n( n − )

1

σ 4

2 µ 2

2

σ 2 ( n − )

1

2 σ 4

( σ 2 + nµ 2) 2 4

2

2

−

2

( n − )

1

−

= −

+

σ

2

− σ − µ σ =

n 2 ( n − 2

)

1

n( n − )

1

n 2 ( n − )

1

n 2

n 2

n

(2 4 σ +2 2 2

nµ σ )( n − )

1 − 2 4

σ − 4

σ ( n − )

1 − 2 2 2

µ σ n( n −

=

)

1 =

2

n ( n − )

1

2 4

σ n − 2 4

σ + 2 2 2 2

n µ σ − 2

2

2

nµ σ − 2 4

σ − 4

σ n + 4

σ − 2 2 2 2

µ σ n +

2

2

=

2 µ σ n =

2

n ( n − )

1

4

σ n − 3 4

4

σ

σ ( n − )

3

=

=

2

n ( n − )

1

2

n ( n − )

1

Zadanie 7



2

2

40

∑( Xi− )1

∑( iY− )1



  1 

−

−

1



 



e

2

e

8



20

  2Π 

2



P

0

> t =



2

2

40

∑ Xi

∑ iY





 1 

−

−

1

2

8









e

e

20





 2Π  2





≅ N (−12, ;

5 25)



∑

6

4

4

4

4

4

7

4

4

4

4

4

8

X i −10 0,25∑ Yi −2,5









= P  e

e

0

> t = P 0∑ X 10 , 0 25

5

,

2

ln

i −

+

∑ Yi −

> t  =















ln t + 12 5

, 

ln t + 12 5

,

= P X >

 = ,

0 01 →

= 3

,

2 3 → ln t = 5 ⋅ 3

,

2 3 −12 5

, = − 8

,

0 5



5



5

≈ 2

− ,67





≅ N 1

( 2, ;

5 25)





6

4

4

4

4

4

7

4

4

4

4

4

8



6 4

47 4

48 





− 8

,

0 5 −12 5

,

P( BII ) = P ∑ X

i − 10 +

,

0 25∑ Yi − 5

,

2

< − 8

,

0 5





 = P X <

≈ ,

0 004

1 





5















Zadanie 8

var T

( + S) = 4 EZ 2 g

dzi

e Z = X + Y

2

EZ

= var Z + ( EZ)2 = var X + var Y + ( EX + EY )2 = 1+ 4 + 1

( + 2)2 = 14

var( T + S) = 4 ⋅14 = 56

var T = 4

2

EX

= 4 ⋅ 2 = 8

var S = 4

2

EY

= 4 ⋅8 = 32

56 − 8 − 32

var( T + S) = var T + var S + 2 cov( T , S) → cov( T , S) =

= 8

2

8

8

1

ODP =

=

=

8 32

2 2 ⋅ 4 2

2

Zadanie 9

X ≅ J( )

1

,

0

m

in( X ,..., X

min

1 ,...,

1

n )

 X

X 

=



n 

θ

 θ

θ 

P(2 X ≤ θ ≤ 2 X − =

≤ 2 − −

≤ 2

= 1 ≤ 2 − − 1 ≤ 2 ≅

1

n 1 )

P( θ

X n 1 ) P( θ

X 1 ) P(

Yn 1 ) P(

Y 1 ) Y

dla jednostajny

i

Y ≅ B( k, n + 1 − k) k

Γ( n + )

1

n 1

Y ≅ B ,

1

( n) ≅

1

(

x) −

−

1

Γ )

1

( Γ( n)

Γ( n + )

1

Y − ≅ B( n − ,

1 2)

n−2

≅

x

1

( − x)

n 1

Γ(2)Γ( n − )

1

P(

1

n

n

n

n

n 1

Y

5

,

0

( n

)

1 nx

1

(

x)

x

n

x ( n

)

1

n

( n

)

1

n 1 ≥

) = ∫ −

−

1

2

1

−

−

= [ − −

− ]

−

= − − −

+

0,5

n−1

2

2 n

0,5

P(

1

0,5

Y ≥ 5

,

0 ) = ∫ n 1

( −

n−1

n

n

1

x)

nt

t

1

= ∫

−1 = [ ]0,5

0

= 2 n

0,5

0

n

n −1

1

2 n − n + 1 + 1

n + 2

P = n − ( n − )

1 −

+

−

= 1−

= 1−

> 9

,

0

2 n 1

−

2 n

2 n

2 n

2 n

n + 2 < 1,

0 → malejące dla n większego lub równego 3

2 n

sprawdzamy:

dla n=3 0,625

dla n=4 0,375

dla n=5 0,218

dla n=6 0,125

dla n=7 0,07

czyli ODP=7

Zadanie 10

E( X X

P X

X

P X

X

P X

X

P X

X

n

n+

= ⋅

n =

n+ =

+

n =

n+ =

+

n =

n+ =

+

n =

n+ =

1 )

1

(

,

1

1

)1 2 (

,

1

2

1

) 2 (

,

2

1

)1 4 (

,

2

2

1

)

P( X

X

P X

n = ,

1

n+ =

=

n =

1

)1 (

)1

1 4

P( X

X

P X

n = ,

1

n+ =

=

n =

1

) 3

2

(

)1

4

P( X

X

P X

n =

,

2

n+ =

=

n =

1

)1 (

)1

2 2

P( X

X

P X

n =

,

2

n+ = 2 =

n =

1

) (

)1

2 2

E( X X

P X

P X

P X

P X

P X

P X

n

n+ )

1

=

n =

+

n =

+

n =

+

n =

=

n =

+

n =

1

(

) 3

1

(

)1 (

2) 2 (

) 7

2

(

)1 3 (

2)

4

2

4

rozkład stacjonarny:

1

1

3

1



Π1 + Π2 = Π1

Π1 = Π

Π

2

1 + Π 2 = 1

Π1 = 2









4

2

→ 4

2

→ 

3

5

→ 

5

3

1



3

Π1 + Π1 =

Π1 = 1 

Π1 + Π2 = Π2

Π2 = Π

3

1







2

2

Π 2 =

4

2



2



5

+

lim E( X X

n

n+

=

+ ⋅ =

+ =

=

=

1 )

7 2

3

14

9

14

36

50

5

3

n→∞

4 5

5

20

5

20

20

2