FUNKCJE KĄTA PODWOJONEGO
Potęgi, pierwiastki, logarytmy
Potęgi, pierwiastki, logarytmy
sin2a =2sina⋅ cosa
cos2a= cos2 a sin2 a sin2a =2sina⋅ cosa
cos2a= cos2 a sin2 a 1
1
a m⋅ a n= am n a n= n a
a m : a n= a m n
a n =1
2tga
ctg 2 a 1
a m⋅ a n= am n a n= n a
a m : a n= a m n
a n =1
2tga
ctg 2 a 1
n
tg2a =
ctg2a=
n
tg2a =
ctg2a=
a
2
2
1 tg a
2ctga
a
1 tg a
2ctga
m
1
m
1
m
1
m
1
m
m⋅ n
n
n
FUNKCJE POŁOWY KĄTA
m
m⋅ n
n
n
FUNKCJE POŁOWY KĄTA
a n= a
a n = an m
ab n = a b
a n = a n m
a n= a
a n = an m
ab n = a b
a n = a n m
a
a
a
a
n
n
0
n
n
0
a / b n= a / b a =1
sin
=±1 cosa cos =±1 cosa
a/ b n= a / b a = 1
sin
=±1 cosa cos =±1 cosa
2
2
2
2
2
2
2
2
n
Bierzemy znak + lub – zależnie od tego, do której ćwiartki należy n
Bierzemy znak + lub – zależnie od tego, do której ćwiartki należy n
n
a
n
n
a
n
ab= n a⋅ n b
am= n a m n
a= m a= mn a a/2.
n
ab= n a⋅ n b
am= n a m n
a= m a= mn a a/2.
b
n
b
n
a
1 cosa
a
1 cosa
b
b
a
1 cosa
a
1 cosa
tg =
ctg
=
tg =
ctg
=
2
sina
2
sina
2
sina
2
sina
log x = b ⇔ a b= x log 1 =0
log a =1
log x = b ⇔ a b= x log 1 =0
log a =1
a
a
a
SUMY FUNKCJI
a
a
a
SUMY FUNKCJI
x
a b
a b
x
a b
a b
log
=
sina sinb= 2sin
cos
=
sina sinb= 2sin
cos
a xy =log a x log a y log a
log
log
log
y
a x log a y
2
2
a xy =log a x log a y log a y
a x log a y
2
2
log xr= r⋅log x
log x =log a⋅log x a b
a b
log xr= r⋅log x
log x =log a⋅log x a b
a b
a
a
b
b
a
cosa cosb= 2cos
cos
a
a
b
b
a
cosa cosb= 2cos
cos
2
2
2
2
log a=
1
log a=
1
b
log b
sin a b
sin a b
b
log b
sin a b
sin a b
a
tga tgb=
ctga ctgb=
tga tgb=
ctga ctgb=
cosa⋅ cosb
sina⋅ sinb
a
cosa⋅ cosb
sina⋅ sinb
Wzory skróconego mnożenia
RÓśNICE FUNKCJI
Wzory skróconego mnożenia
RÓśNICE FUNKCJI
a b2= a 22ab b 2 a b2= a 2 2ab b 2
a b
a b
a b
a b
sina sinb= 2sin
cos
a b2= a 22ab b 2 a b2= a 2 2ab b 2
sina sinb= 2sin
cos
3
2
2
3
3
2
2
3
a b 3= a 3a b 3ab b 2
2
a b3= a 3a b 3ab b 2
2
3
2
2
3
a b
a b
3
2
2
3
a b
a b
a b 3= a 3a b 3ab b cosa cosb =2sin
sin
a b3= a 3a b 3ab b cosa cosb =2sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a b = a b 2 2ab a b = a b a b
a b = a b 2 2ab a b = a b a b
sin a b
sin b a
sin a b
sin b a
3
3
2
2
3
3
2
2
a b = a b a ab b
tga tgb=
ctga ctgb=
tga tgb=
ctga ctgb=
cosa⋅ cosb
sina⋅ sinb
a b = a b a ab b
cosa⋅ cosb
sina⋅ sinb
a 3 b 3 = a b a 2 ab b 2
a 3 b 3 = a b a 2 ab b 2
n n!
Funkcje hiperboliczne
n !
Funkcje hiperboliczne
=
n=
k
k ! n k !
e x e x
e x e x
k
k ! n k !
e x e x
e x e x
sinh x=
cosh x=
sinh x=
cosh x=
2
2
2
2
a b n= n a n n a n1 b ... n b n
a b n= n an n an1 b... n bn 0
1
n
x
x
x
x
sinh x
e e
0
1
n
sinh x
e e
tgh x=
=
tgh x=
=
cosh x
cosh x
Trygonometria
e x e x
Trygonometria
e x e x
2
2
x
2
2
x
WZORY REDUKCYJNE
cosh x sinh x =1
e =cosh x sinh x WZORY REDUKCYJNE
cosh xsinh x =1
e =cosh x sinh x φ
90°-α
90°+α
270°-α
270°+α
e x= cosh xsinh x φ
90°-α
90°+α
270°-α
270°+α
e x=cosh xsinh x arsinh x=ln x x 2 1
arsinh x=ln x x 2 1
sin φ
cos α
cos α
-cos α
-cos α
sin φ
cos α
cos α
-cos α
-cos α
cos φ
sin α
-sin α
-sin α
sin α
arcosh x=ln x± x 2 1
cos φ
sin α
-sin α
-sin α
sin α
arcosh x= ln x± x 2 1
tg φ
ctg α
-ctg α
ctg α
-ctg α
1
1
artgh x=
ln 1 x
tg φ
ctg α
-ctg α
ctg α
-ctg α
artgh x=
ln 1 x
2
1 x
2
1 x
ctg φ
tg α
-tg α
tg α
-tg α
ctg φ
tg α
-tg α
tg α
-tg α
1
1
1
1
1
1
csch=
sech x =
ctgh x=
csch=
sech x =
ctgh x=
sinh x
cosh x
tgh x
sinh x
cosh x
tgh x
φ
180°-α
180°+α
360°-α
φ
180°-α
180°+α
360°-α
2
2
sin φ
sin α
-sin α
-sin α
1
1
arcsch x =ln 1 ± x
sin φ
sin α
-sin α
-sin α
arcsch x =ln 1 ± x
x
x
cos φ
-cos α
-cos α
cos α
cos φ
-cos α
-cos α
cos α
tg φ
-tg α
tg α
-tg α
arcseh x= ln 1 ±1 x 2
tg φ
-tg α
tg α
-tg α
arcseh x=ln 1 ±1 x 2
x
x
ctg φ
-ctg α
ctg α
-ctg α
ctg φ
-ctg α
ctg α
-ctg α
WZORY PODSTAWOWE
arctgh x= 1 ln1 x
WZORY PODSTAWOWE
arctgh x=1 ln1 x
2
1 x
2
1 x
2
2
sina
cosa
1
2
2
sina
cosa
1
sin a cos a =1
= tg a
= ctg a
= ctg a
sin a cos a =1
= tg a
= ctg a
= ctg a
cosa
sina
tga
Ciągi
cosa
sina
tga
Ciągi
FUNKCJE SUMY KĄTÓW
FUNKCJE SUMY KĄTÓW
CIĄG ARYTMETYCZNY
CIĄG ARYTMETYCZNY
sin a b=sin a⋅cos b cos a⋅sin b sin a b= sin a⋅cos b cos a⋅sin b 1
1
cos a b =cos a⋅cos b sin a⋅sin b a =
=
cos a b =cos a⋅cos b sin a⋅sin b
=
=
n
a 1
n 1 r ;
a n
a
a
a
a
n 1 r ;
a
a
a
2
n1
n1
n
1
n
2
n1
n1
tga tgb
ctga⋅ ctgb1
tga tgb
ctga⋅ ctgb1
tg a b =
ctg a b =
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: tg a b =
ctg a b =
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1 tga⋅ tgb
ctga ctgb
1 tga⋅ tgb
ctga ctgb
a a
r
a a
r
FUNKCJE RÓśNICY KĄTÓW
1
n
1
n
S =
⋅
FUNKCJE RÓśNICY KĄTÓW
=
⋅
n
n= n⋅ a 1
n n 1
S n
n= n⋅ a 1
n n 1
sin a b = sina⋅ cosb cosa⋅ sinb 2
2
sin a b = sina⋅ cosb cosa⋅ sinb 2
2
cos a b = cosa⋅ cosb sina⋅ sinb CIĄG GEOMETRYCZNY
cos a b = cosa⋅ cosb sina⋅ sinb CIĄG GEOMETRYCZNY
tga tgb
ctga⋅ ctgb1
a = ⋅
=
⋅
= ⋅
=
⋅
n
a 1 q n1 ;
a n an1 an1
tga tgb
ctga⋅ ctgb1
a n a 1 q n1 ;
a n an1 an1
tg a b =
ctg a b =
tg a b =
ctg a b =
1 tga⋅ tgb
ctgb ctga
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: 1 tga⋅ tgb
ctgb ctga
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: a ⋅
⋅
1 1 q n
a 1 1 qn
S =
=
=
=
n
dla q≠ 1 ;
S
n⋅ a
S
dla q≠ 1 ;
S
n⋅ a
1 q
n
1
dla q= 1
n
1 q
n
1
dla q= 1
SZEREG GEOMETRYCZNY
SZEREG GEOMETRYCZNY
a
a
∣
1
1
q∣1
lim S =
∣
=
n
S =
q∣1
lim S
S =
1 q
n
1 q
n ∞
n ∞
OBLICZANIE GRANIC CIĄGÓW ZŁOśONYCH
ASYMPTOTA PIONOWA PRAWOSTRONNA
OBLICZANIE GRANIC CIĄGÓW ZŁOśONYCH
ASYMPTOTA PIONOWA PRAWOSTRONNA
Jeżeli istnieją granice ciągów lim a =
=
=
=
n
a oraz lim bn b , to lim f x =∞
lim f x =∞
Jeżeli istnieją granice ciągów lim a n a oraz lim bn b , to
lim f x =∞
lim f x =∞
n ∞
n ∞
n a 1
n a 1
n ∞
n ∞
n a 1
n a 1
zachodzi:
Prosta która jest jednocześnie as. pionową lewo i prawostronną zachodzi:
Prosta która jest jednocześnie as. pionową lewo i prawostronną lim a =
=
=
=
n
b n
a b
lim a n b n
a b
funkcji nazywamy as. pionową obustronną.
lim an b n
a b
lim a n b n
a b
funkcji nazywamy as. pionową obustronną.
n ∞
n ∞
ASYMPTOTA UKO
n ∞
n ∞
ŚNA
ASYMPTOTA UKOŚNA
a
a
a
a
lim a ⋅ =
n =
≠
Prosta o równaniu y=Ax+B jest as. ukośną funkcji f w +∞ gdy:
⋅ =
n =
≠
Prosta o równaniu y=Ax+B jest as. ukośną funkcji f w +∞ gdy: n bn
a⋅ b
lim
dla bn 0
lim an bn
a⋅ b
lim
dla bn 0
n ∞
n ∞
b
b
b
b
n
lim [ f x Ax B ]=0
n ∞
n ∞
n
lim [ f x Ax B ]=0
lim a =
=
n ∞
=
=
n ∞
n
b n
lim an
lim bn
lim c⋅ an
c⋅ lim an
lim a n b n
lim an
lim bn
lim c⋅ an
c⋅ lim an
n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
f x
n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
f x
k
A = lim
B= lim [ f x Ax]
k
A = lim
B= lim [ f x Ax]
lim a p =
= k
p =
= k
n
lim an p lim an lim an k∈ℕ
n ∞
x
n ∞
lim an
lim an p lim an lim an k∈ℕ
n ∞
x
n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty n ∞
n ∞
n ∞
n ∞
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH
TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH
ukośnej.
ukośnej.
Jeśli dla dwóch ciągów zachodzi lim a =
=
=
=
n
lim cn g , natomiast
Jeśli dla dwóch ciągów zachodzi lim a n lim cn g , natomiast n ∞
n ∞
Pochodne funkcji
n ∞
n ∞
Pochodne funkcji
wyrazy trzeciego ciągu spełniają (począwszy od pewnego n) wyrazy trzeciego ciągu spełniają (począwszy od pewnego n) ILORAZ RÓśNICOWY
ILORAZ RÓśNICOWY
warunek a ≤ ≤
b = g
≤ ≤
b = g
n
b n cn , to również lim n warunek a n b n cn , to również lim n n ∞
f x f x
0
f
n ∞
f x f x 0
f
f ' x= lim
= lim
f ' x=lim
= lim
Niektóre granice
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
0
0
0
Niektóre granice
0
0
0
PODSTAWOWE POCHODNE FUNKCJI
PODSTAWOWE POCHODNE FUNKCJI
1
1
lim
= 0
lim 1 1 n= e
lim n a=1 a0
Funkcja
Pochodna
Funkcja
Pochodna
lim
= 0
lim 1 1 n= e
lim n a=1 a0
Funkcja
Pochodna
Funkcja
Pochodna
n ∞ n
n ∞
n
n ∞
n
n
C
0
ch x
sh x
n ∞
n ∞
n ∞
C
0
ch x
sh x
1
e n
1
e n
lim n sin
=1
lim
= ∞
lim nk q k= 0 ∣ q∣ 1 ; k ∈ℕ
1
1
x n
n x n-1
tgh x
lim n sin
= 1
lim
= ∞
lim nk q k=0 ∣ q∣ 1 ; k ∈ℕ
x n
n x n-1
tgh x
n ∞
n
n ∞ n
n ∞
ch 2 x
n ∞
n
n ∞ n
n ∞
ch 2 x
a
a
n
1 / n
ln n
1
a
a
n
1 / n
ln n
1
lim 1 n= e
lim n= lim n =1
lim
=0
sin x
cos x
cth x
lim 1 n= e
lim n=lim n = 1
lim
=0
sin x
cos x
cth x
n ∞
n
n ∞
n ∞
n ∞
n
sh 2 x
n ∞
n
n ∞
n ∞
n ∞
n
sh 2 x
k
k
n
1
n
1
lim
=0
lim 1 1 =1 lim n a 1/ n1=ln a a0
cos x
-sin x
arc sin x
lim
=0
lim 1 1 =1 lim n a 1/ n1=ln a a0
2
cos x
-sin x
arc sin x
2
n ∞ n !
n ∞
n
n ∞
1 x
n ∞ n !
n ∞
n
n ∞
1 x
ln ln n
a n
1
ln ln n
a n
1
lim
= 0
lim
=0 a∈ℝ
tg x
1+tg2 x
arc cos x
=
=
2
lim
0
lim
0 a ∈ℝ
tg x
1+tg2 x
arc cos x
2
n ∞
ln n
n ∞ n !
1 x
n ∞
ln n
n ∞ n !
1 x
n
n
1
1
1
1
lim ∑ ln n=
ctg x
-1-ctg x
arc tg x
lim ∑ ln n=
ctg x
-1-ctg x
arc tg x
1 x 2
1 x 2
n ∞
k= 1 k
n ∞
k= 1 k
1
1
a x
ax ln a
arc ctg x
a x
ax ln a
arc ctg x
1 x 2
1 x 2
lim q n={
∞ q1
1 ∣ q∣ 1
}
1
lim q n={
∞ q 1
1 ∣ q∣1
}
1
ex
ex
log
ex
ex
log
n ∞
0 q∈ 0 ; 1
a x
x ln a
n ∞
0 q∈ 0 ; 1
a x
x ln a
q1, q =1 dwa podcią gi 1
q1, q =1 dwa podcią gi 1
sh x
ch x
ln x
sh x
ch x
ln x
n
1
1
x
n
1
1
x
lim
=0 a1
lim ln 1
=0
lim n ln 1
= 1
lim
=0 a1
lim ln 1
=0
lim n ln 1
= 1
n ∞ an
n ∞
n
n ∞
n
RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI
n ∞ an
n ∞
n
n ∞
n
RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI
sin x
tg x
w punkcie x0
sin x
tg x
w punkcie x0
lim n n
e 1=1
lim
=1
lim
= 1
y= f x f ' x x x
lim n n e 1=1
lim
=1
lim
=1
y= f x f ' x x x
n ∞
n 0
x
n 0
x
0
0
0
n ∞
n 0
x
n 0
x
0
0
0
a x1
TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI
a x 1
TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI
lim
=ln a dla a0
f ± g ' x =
±
lim
=ln a dla a 0
=
±
0
f ' x 0
g ' x 0
f ± g ' x 0
f ' x 0
g ' x 0
n 0
x
n 0
x
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
e x1
ln 1 x
f⋅ g ' x 0
f ' x 0 g x 0
f x 0 g ' x 0
e x1
ln 1 x
f⋅ g ' x 0
f ' x 0 g x 0
f x 0 g ' x 0
lim
= 1
lim
= 1
f ' x ⋅ g x f x ⋅ g ' x
lim
=1
lim
=1
f ' x ⋅ g x f x ⋅ g ' x
0
0
0
0
0
0
0
0
n 0
x
n 0
x
f ' x =
n 0
x
n 0
x
f ' x =
0
0
log
g
g 2 x
g
g 2 x
a 1 x
log 1 x
0
a
0
lim
=log
=
ae
dla a ∈ℝ
lim
log
TW. O POCHODNEJ F. ZŁOśONEJ
ae
dla a ∈ℝ
TW. O POCHODNEJ F. ZŁOśONEJ
n 0
x
n 0
x
g° f ' x =
=
0
g ' f x 0
f ' x 0
g ° f ' x 0
g ' f x 0
f ' x 0
lim 1 a x= ea dla a∈ℝ
TW. O POCHODNEJ F. ODWROTNEJ
lim 1 a x= ea dla a∈ℝ
TW. O POCHODNEJ F. ODWROTNEJ
n ∞
x
n ∞
x
1
1
1
1
1
1
1
f ' y =
=
0
1
f
' y 0
lim 1 x = e
lim 1 x x = e f ' x
x
f ' x
0
lim 1 x = e
lim 1 x = e
0
n ∞
x
n 0
n ∞
x
n 0
1 x a1
1 x a1
lim
= a dla a∈ℝ
lim
= a dla a∈ℝ
n 0
x
n 0
x
arcsin x
arctg x
arcsin x
arctg x
lim
= 1
lim
=1
lim
=1
lim
= 1
n 0
x
n 0
x
n 0
x
n 0
x
Symbole nieoznaczone
Symbole nieoznaczone
0
0
∞∞
∞
∞
0
∞
∞
0
0 ⋅∞
∞0 0
∞∞ 0 ⋅∞
∞0 0
0
∞ 1
0
∞ 1
Asymptoty funkcji
Asymptoty funkcji
ASYMPTOTA PIONOWA LEWOSTRONNA
ASYMPTOTA PIONOWA LEWOSTRONNA
lim f x =∞
lim f x =∞
lim f x =∞
lim f x =∞
n a1
n a1
n a1
n a1