CAŁKA OZNACZONA 1. Za pomocą definicji obliczyć całki Z
3
Z
1
(a)
x2dx ;
(b)
x3dx ;
−2
0
2. Obliczyć całki
√
Z
3
dx
Z
2
Z
4π
p
(a)
,
(b)
|1−x|dx,
(c)
1 − cos(2x)dx,
√3 1 + x2
0
0
3
π
Z
5
xdx
Z
1
x2dx
Z
2
(d)
√
,
(e)
,
(f)
sin2 x cos xdx,
0
1 + 3x
0
(x + 1)4
0
π
Z
2
Z
2
Z
1
(g)
x sin xdx,
(h)
sgn(x − x2)dx,
(j)
[ln x]dx,
0
−2
1
2
3. Obliczyć pole obszarów ograniczonych liniami (a) prostymi x = −1, x = 1, osią OX oraz łukiem linii y =
1
,
x2+1
(b) część wspólną koła (x − 2)2 + (x − 3)2 = 1 i półpłaszczyzny xy (c) parabolą 4y = 8x − x2 i prostą 4y = x + 6, (d) parabolami y = 4 − x2, y = x2 − 2x, (e) parabolą y = 2x − x2 i prostą x + y = 0,
√
(f) długość łuku krzywej f (x) =
1 − x2 dla x ∈ 0, 1 , 2
(g) pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu krzywej f (x) = x3
określonej na przedziale [0, 1] wokół osi OX, (h) objętość bryły powstałej z obrotu krzywej f (x) = cos x określonej na przedziale − π , π wokół osi OX.
2
2
CAŁKA NIEOZNACZONA
4. Całkując przez podstawienie obliczyć całki 1
Z
Z
xdx
Z
e x
(a)
x sin(2x2 + 1)dx,
(b)
,
(c)
dx,
1 + x2
x2
Z
(ln x)2
Z
tg x
Z
x2dx
(d)
dx,
(e)
dx,
(f)
,
x
cos2 x
cos2(x3 + 1)
Z
cos x
Z
dx
Z
dx
(g)
dx,
(h)
,
(i)
,
sin x
x ln x
sin x
1
dx
Z
cos x
Z
(j)
,
(k)
dx,
(l)
sin3 x cos x,
sin3 x cos x
1 + sin2 x
Z
ex
Z
dx
Z
(m)
dx,
(n)
,
(o)
sin2 xdx.
2ex + 1
2 cos2(3x)
5. Całkując przez części obliczyć całki Z
Z
Z
(a)
x2exdx,
(b)
ex cos x,
(c)
ln2 xdx,
Z
1
Z
tg x
Z
(d)
ln x
dx,
(e)
dx,
(f)
xe−2x,
x3
cos2 x
Z
Z
(g)
x cos(3x)dx,
(h)
x arc tg x.
6. Obliczyć całki
Z
Z
x2dx
Z
x
(a)
3x52xdx,
(b)
,
(c)
√
dx,
1 + x2
1 − x4
Z
1
Z
Z
dx
(d)
dx,
(e)
4x2 xdx,
(f)
,
x4 + 1
4x2 + 4x + 3
Z
4
Z
dx
Z
xdx
(g)
dx,
(h)
,
(i)
,
2x2 + 4x + 11
−x2 − 9
x4 + 9
7. Obliczyć całki z wyrażeń wymiernych Z
5 + x
Z
2x − 1
(a)
dx,
(b)
dx,
10x + x2
x2 − 6x + 9
Z
dx
Z
2x4 + 5x2 − 2
(c)
,
(d)
dx,
2x2 − 2x + 5
2x3 − x − 1
Z
2x3 + x2 + 5x + 1
Z
x3 − 3
(e)
dx,
(f)
dx.
(x2 + 3)(x2 − x + 1) x4 + 10x2 + 25
8. Obliczyć całki z wyrażeń niewymiernych Z
x3
Z
dx
(a)
√
dx,
(b)
√
,
x2 + x + 1
1 + 2x + 2x2
q
3
1+x
√
√
Z
+ x
Z
1−x
x − 4 x
(c)
dx,
(d)
√ dx,
q
1 − 5 1+x
3x + 4 x
1−x
2