Szereg_Fouriera_przyklady.doc – przykłady

Strona 1 z 3

Przykład 1.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x

2

na przedziale [-

π

,

π

]. .

Wszystkie współczynniki b

n

są równe zero (funkcja parzysta).

Liczymy pozostałe współczynniki:

Funkcja spełnia warunki Dirichleta, możemy więc napisać:

Podstawiając w tym wzorze

i pamiętając, że

, otrzymujemy

czyli

Szereg_Fouriera_przyklady.doc – przykłady

Strona 2 z 3

Przykład 2.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x zadaną na przedziale (-

π

,

π

).

Wyznaczamy współczynniki szeregu Fouriera:

Funkcja jest nieparzysta, zatem a

0

= 0 i a

m

= 0 dla m

∈

N.

A zatem szereg Fouriera funkcji

w przedziale

jest dany wzorem

Uwaga
Z kryterium Dirichleta wynika, że ten szereg jest zbieżny do na całym przedziale otwartym

Na końcach przedziału suma szeregu wynosi zgodnie z kryterium Dirichleta zero (!).

Przykład 3.

Rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0,

π

] w szereg Fouriera zawierający same

cosinusy.

Jeśli mamy rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0,

π

] w szereg Fouriera zawierający same

cosinusy, to musimy najpierw przedłużyć ją na przedział [-

π

,

π

] tak, by dostać funkcję parzystą.

Funkcja przedłużona jest więc określona wzorem

Funkcję

możemy rozszerzyć okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Zauważmy, że spełnia

ona warunki Dirichleta.

Wyznaczamy współczynniki Fouriera:

Szereg_Fouriera_przyklady.doc – przykłady

Strona 3 z 3

Dla

(całkujemy przez części,

)

Zatem, skoro

mamy

Oczywiście b

n

= 0, n

∈

N.

Tak więc szukany szereg ma postać

Przykład 4

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję określoną na przedziale

wzorem

x

x

x

x

x

x

f

10

cos

5

,

0

5

sin

5

3

sin

3

2

sin

2

sin

)

(

+

+

+

−

=

Szereg Fouriera tej funkcji jest jej równy, bo jest ona swoim (skończonym) szeregiem
trygonometrycznym.
(Współczynniki szeregu Fouriera są wyznaczone jednoznacznie, zatem jeśli znajdziemy przedstawienie
funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego, to jest to rozwinięcie w szereg Fouriera).