Szereg_Fouriera_przyklady.doc – przykłady
Strona 1 z 3
Przykład 1.
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x
2
na przedziale [-
π
,
π
]. .
Wszystkie współczynniki b
n
są równe zero (funkcja parzysta).
Liczymy pozostałe współczynniki:
Funkcja spełnia warunki Dirichleta, możemy więc napisać:
Podstawiając w tym wzorze
i pamiętając, że
, otrzymujemy
czyli
Szereg_Fouriera_przyklady.doc – przykłady
Strona 2 z 3
Przykład 2.
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x zadaną na przedziale (-
π
,
π
).
Wyznaczamy współczynniki szeregu Fouriera:
Funkcja jest nieparzysta, zatem a
0
= 0 i a
m
= 0 dla m
∈
N.
A zatem szereg Fouriera funkcji
w przedziale
jest dany wzorem
Uwaga
Z kryterium Dirichleta wynika, że ten szereg jest zbieżny do na całym przedziale otwartym
Na końcach przedziału suma szeregu wynosi zgodnie z kryterium Dirichleta zero (!).
Przykład 3.
Rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0,
π
] w szereg Fouriera zawierający same
cosinusy.
Jeśli mamy rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0,
π
] w szereg Fouriera zawierający same
cosinusy, to musimy najpierw przedłużyć ją na przedział [-
π
,
π
] tak, by dostać funkcję parzystą.
Funkcja przedłużona jest więc określona wzorem
Funkcję
możemy rozszerzyć okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Zauważmy, że spełnia
ona warunki Dirichleta.
Wyznaczamy współczynniki Fouriera:
Szereg_Fouriera_przyklady.doc – przykłady
Strona 3 z 3
Dla
(całkujemy przez części,
)
Zatem, skoro
mamy
Oczywiście b
n
= 0, n
∈
N.
Tak więc szukany szereg ma postać
Przykład 4
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję określoną na przedziale
wzorem
x
x
x
x
x
x
f
10
cos
5
,
0
5
sin
5
3
sin
3
2
sin
2
sin
)
(
+
+
+
−
=
Szereg Fouriera tej funkcji jest jej równy, bo jest ona swoim (skończonym) szeregiem
trygonometrycznym.
(Współczynniki szeregu Fouriera są wyznaczone jednoznacznie, zatem jeśli znajdziemy przedstawienie
funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego, to jest to rozwinięcie w szereg Fouriera).