7. Przestrzenie zupełne

Wykład 7

1. Przestrzenie zupełne – podstawowe informacje.

Definicja 1. Przestrzeń metryczna jest zupełna, gdy każdy ciąg spełniający warunek Cauchy’ego jest ciągiem zbieżnym.

Niektóre ważne przestrzenie zupełne to:

dla wszystkich n, [0 , 1] (i wszystkie odcinki

domknięte) z naturalną metryką, C([0 , 1]) (patrz ćwiczenia).

Twierdzenie 1. Niech ( X, d) będzie przestrzenią metryczną zupełną. Zbiór A jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy ( A, d) jest przestrzenią metryczną zupełną.

Dowód. Załóżmy, że A jest domknięty. Niech ( xn) będzie ciągiem elementów A spełniającym warunek Cauchy’ego. Jako ciąg w X jest on zbieżny do pewnego x ∈ X. A z domkniętości A mamy x ∈ A, więc ( xn) jest zbieżny w ( A, d).

Aby udowodnić odwrotne wynikanie, weźmy dowolny x ∈ X będący punktem skupienia A. Wtedy istnieje ciąg ( xn) elementów A zbieżny do x. Ciąg ( xn) spełnia warunek Cauchy’ego w X, a także w A, więc ma granicę a w przestrzeni ( A, d). Jest to jednocześnie granica w X i z jedyności granicy x = a ∈ A.

Twierdzenie 2. Jeśli ( X, dX ) jest dowolną przestrzenią metryczną, a ( Y, dY ) przestrzenią zupełną, to przestrzeń C( X, Y ) wszystkich ciągłych i ograniczonych funkcji f : X → Y jest zupełna w metryce

ρ( f, g) = sup dY f ( x) , g( x) .

x∈X

Dowód. Dowód jak w przypadku szczególnym C(0 , 1) dyskutowanym na ćwiczeniach.

2. Twierdzenie Cantora

Oznaczmy przez diam( F ) średnicę zbioru F .

Twierdzenie 3 (Cantor). Niech przestrzeń metryczna ( X, d) będzie zupełna, i niech ( Fn) będzie zstępującym ciągiem zbiorów domkniętych spełniającym warunek

lim diam( Fn) = 0 .

n→∞

Wtedy T ∞

n=1 Fn 6= φ.

Uwaga.

1. Najpierw wyjaśnienie – założenie lim diam( Fn) = 0 wydaje się sztuczne, bo przecież n→∞

jest to żądanie ograniczenia wielkości zbiorów. Ale bez niego teza leży, np. X = R, Fn = [ n, ∞).

2. Skoro jesteśmy na etapie sprawdzania istotności założeń, to odnotujmy, że

(a) gdyby przestrzeń nie była zupełna, to tezę obala przykład X = (0 , 1), Fn =

(0 , 1 ], (pozostałe założenia są spełnione)

(b) gdyby Fn nie były domknięte, to tezę obala przykład X = R, Fn = (0 , 1 ).

3. W istocie T ∞

n=1 Fn jest jednoelementowy, dzięki założeniu

lim diam( Fn) = 0 (ale to

n→∞

efekt uboczny).

4. Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, ale o nim za chwilę.

Dowód. Z każdego Fn wybieramy jeden element xn. Ciąg ( xn) ma tę własność, że dla kazdego n m zachodzi xn ∈ Fm. Ponadto, ( xn) jest Cauchy’ego (tu wykorzystujemy założenie lim diam( Fn) = 0), zatem jest zbieżny do pewnego x. Z domkniętości Fm mamy n→∞

x = lim xm+ n ∈ Fm dla każdego m. Zatem x ∈ T

n→∞

n Fn.

Twierdzenie 4 (odwrotne do twierdzenia Cantora). Jeśli dla każdego zstępującego ciągu zbiorów domkniętych spełniających warunek lim diam( Fn) = 0 przekrój T ∞

n→∞

n=1 Fn 6 jest

niepusty, to X jest zupełna.

Szkic dowodu. Niech ( xn) będzie ciągiem Cauchy’ego. Zdefiniujmy Fn = {xn, xn+1 , ...}.

Wtedy Fn są domknięte, tworzą ciąg zstępujący i spełniają warunek lim diam( Fn) =

n→∞

0 (bo z warunku Cauchy’ego diam {xn, xn+1 , ...} n→∞

−→ 0, a diam( A) = diam( A)). Zatem

n Fn = {x} i ten x jest granicą ciągu ( xn).

3. Twierdzenie Hausdorffa o uzupełnianiu przestrzeni metrycznych.

Wiemy, że homeomorfizm nie przenosi zupełności (inaczej: zupełność nie jest własnością topologiczną). Ale są przekształcenia, bardziej właściwe przestrzeniom metrycznym, które zupełność przenoszą.

Definicja 2. Izometria to przekształcenie f : X → Y spełniające dla każdej pary x, y ∈ X

warunek

dX ( x, y) = dY ( f ( x) , f ( y)) .

Izometrie są przekształeniami różnowartościowymi. Łatwo udowodnić, że:

Twierdzenie 5. Zupełność jest niezmiennikiem izometrii.

Czy przestrzeń nie-zupełną można uzupełnić, tzn. dodać jej punktów tak, by była przestrzenią zupełną? Otóż tak, pod warunkiem, że przestrzenie izometryczne będziemy trak-tować jako nierozróżnialne.

Definicja 3. Uzupełnieniem przestrzeni metrycznej ( X, d) nazywamy przestrzeń metryczną ( ˜

X, ˜

d) taką, że ( X, d) jest izometryczna z gęstą podprzestrzenią ( ˜

X, ˜

d), tzn. istnieje

izometria π : X → ˜

X taka, że π( X) jest gęsty w ˜

X. Często jako uzupełnienie definiuje się

parę: przestrzeń zupełną jak wyżej wraz z odpowiednią izometrią.

Jeśli przestrzeń X ma uzupełnienie, to jest ono jedyne z dokładnością do izometrii.

Istotnie, jeśli ( ˜

X, ˜

d) i ( Y, ρ) są uzupełnieniami przestrzeni X, to istnieją izometrie π : X →

X i ϕ : X → Y jak w powyższej definicji. Wtedy ϕ ◦ π− 1 : π( X) → ϕ− 1( X) jest izometrią odwracalną między gęstymi podzbiorami X. Można ją przedłużyć do izometrii ˜

X na Y .

Z tej jedyności mamy na przykład:

1. Jeśli przestrzeń jest zupełna to jest swoim własnym uzupełnieniem

2. Uzupełnieniem Q jest R.

Twierdzenie 6 (Hausdorff). Każda przestrzeń metryczna ma uzupełnienie.

Szkic dowodu. Niech P będzie zbiorem wszystkich ciągów Cauchy’ego w ( X, d). Konstru-ujemy relację równoważności ∼ na P : ( xn) jest w relacji z ( yn), gdy lim n→∞ d( xn, yn) = 0.

Niech ˜

X = P/∼ – zbiór klas abstrakcji relacji ∼. Zauważmy, że przestrzeń X można włożyć w ˜

X przypisując punktowi x klasę abstrakcji ciągu stale równego x. Niech odpowiednie włożenie nazywa się π.

Lemat 1. Granica lim d( xn, yn) istnieje dla dowolnych ciągów ( xn), ( yn).

n→∞

Dowód.

¬ d( yn, ym) + d( xn, xm) ,

a to jest małe dla dostatecznie dużych m i n. Zatem ciąg d( xn, yn) jest Cauchy’ego w R, czyli jest zbieżny.

Lemat 2. Jeśli ( xn) ∼ ( x0n) i ( yn) ∼ ( y0n), to lim d( xn, yn) = lim d( x0

n→∞

n, y0n).

Dowód.

n→∞

d( xn, yn) − d( x0

−→

n, y0n) | ¬ d( xn, x0n) + d( yn, y0n)

Możemy więc zdefiniować metrykę (oczywiście trzeba sprawdzić, że to jest metryka) na

X kładąc

d [( xn)] , [( yn)] = lim d( xn, yn) .

n→∞

Jasne, że π : X → ˜

X jest w tej metryce izometrią. Ponadto, π( X) = ˜

X. Istotnie, ustalmy

[( xn)] ∈ ˜

X i > 0. Jeśli wybierzemy N takie, że dla każdego n > N zachodzi d( xn, xN ) <

(z warunku Cauchy’ego), to π( xN ) = [( xN , xN , xN , ... )] i

d π( xN ) , [( xn)] = lim d( xN , xn) < .

n→∞

Ostatnia rzecz:

Lemat 3. ( ˜

X, ˜

d) jest zupełna.

Dowód. Wybieramy ciąg elementów ˜

xk ∈ ˜

X spełniający warunek Cauchy’ego dla metryki ˜

Uwaga, łatwo się zgubić: każdy ˜

xk jest klasą abstrakcji pewnego ciągu ( xkn) n∈ podstawo-

wego w X, a wszystkie te ˜

xk tworzą ciąg podstawowy w ˜

X. Z podstawowości (˜

xk), dla

każdego m wybieramy indeks km taki, że dla wszystkich j > km zachodzi ˜

d(˜

xkm , ˜

xj) < 1 ,

tak by na dodatek km był rosnący. Niech ciąg ( xkm

n ) n∈

będzie reprezentantem klasy ˜

xkm .

Ponieważ są to ciągi podstawowe w X, w każdym ciągu można wybrać element xkm n

, od

którego warunek Cauchy’ego zachodzi z = 1 . Określamy w X ciąg wzorem x

m = xkm

Wystarczy pokazać, że:

1. ( xm) jest Cauchy’ego w X, a wtedy ten ciąg reprezentuje pewną klasę ˜

x w ˜

2. ciąg (˜

xk) k∈ zbiega do ˜

x w przestrzeni ( ˜

X, ˜

d).

Pomijamy te rachunki, ale nie są trudne. Zachęcam do uzupełnienia samodzielnego w domu.

Wskazówki:

ad.1) nierówność trójkąta + podstawowość każdego ( xkn) n∈ + podstawowość (˜

xk)

ad.2) pokazuje się, że (˜

xkm ) jest podciągiem zbieżnym do ˜

x, a wtedy cały ciag, jako ciąg

podstawowy, jest zbieżny do ˜

Zatem przestrzeń ( ˜

X, ˜

d) jest uzupełnieniem ( X, d).

Nieco inny dowód, przez zanurzenie przestrzeni X w przestrzeni ciągłych ograniczonych funkcji rzeczywistych na X można znaleźć np. w książce Engelkinga.