ZESTAW 4
Analiza zespolona.
Równania różniczkowe zwyczajne
Metoda operatorowa rozwiązywania równań różniczkowych.
Geologia I rok semestr zimowy 2012/2013
ZADANIE 1. Narysować na płaszczyźnie zespolonej liczby: a)
z 1 = (3 , 2)
b)
z 2 = ( − 3 , 1)
c)
z 3 = (10 , 0)
d)
z 4 = (0 , − 4)
√
ZADANIE 2. Niech z 1 = (0 , 1) , z 2 = (3 , − 4)
oraz
z 3 = ( 2 , − 3) . Obliczyć
z
z
a
1
2
)
z 1 + z 2 ,
z 2 + z 3
b)
z 1 · z 2 ,
z 2 · z 3
c)
,
z 2
z 3
ZADANIE 3. Obliczyć:
√
(1 + 2i)
a)
(1 −
3i) + (1 + 2i)
b)
( − 2 + 3i) − (1 − 2i) c)
d)
(2 + i) · (4 + 5i) .
( − 3 + 4i)
ZADANIE 4. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone spełniające warunek ( z + 2)
(3 z + i)
a)
z 2 + 4i = 0
b)
Re z − 3Im z = 2
c)
=
.
( − 1 + i)
(2 + i)
ZADANIE 5. Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:
√
1
3
a)
z = −i
b)
z = − 1 + 3i
c)
− i
d)
z = − 5 − 12i
2
2
√
(4 + i)
(3 −
3i)2
e)
(1 + 2i) · (3 − 4i) f )
g)
√
.
(3 + 2i)
( 2 + 2i)3
ZADANIE 6. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki: a)
|z + i | = 3
b)
| 2i z + 6 | ¬ 4
c)
|z + 5 | = | 3i − z|
d)
2 < |z + 2 − i | ¬ 3
e)
|z + 2 − i | ¬ |z|.
ZADANIE 7. Znaleźć argumenty główne liczb: a)
z = 2
b)
z = i
c)
z = 3 − 3i
d)
z = π
√
1
3
e)
z = −
−
i .
2
2
ZADANIE 8. Podane liczby zapisać w postaci trygonometrycznej:
√
1
3
a)
z = 1
b)
z = 1 + i
c)
z = −
+
i .
2
2
1
ZADANIE 9. Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć podane iloczyny:
√
√
a)
(1 + i)( 3 + i)
b)
(4 + 4i)( − 3 + 3i)
c)
(10 − 10 3i)(2 − 2i) .
ZADANIE 10. Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć podane ilorazy:
√
2 + 2i
1 −
3i
3i
a)
b)
√
c)
.
1 − i
3 + i
1 + i
ZADANIE 11. Korzystając z wzoru Moivre’a obliczyć podane potęgi liczb zespolonych:
√
√
√
a)
(1 − i)10
b)
( 3 − i)60
c)
( − 2 +
2i)44
ZADANIE 12. Obliczyć argumenty główne podanych liczb zespolonych:
√
√
√
(1 − i 3)3(2 + 2i)3
( 3 + i 3)4(1 + i)9
a)
b)
√
.
(1 − i)7
(1 − i 3)10
ZADANIE 13. * Liczby zespolone stosuje się w elektrotechnice do opisu obwodów elektrycz-nych prądu zmiennego. Jednostkę urojoną oznacza się symbolem j w celu odróżnienia jej od natężenia prądu i płynącego w obwodzie.
Niech ω będzie częstotliwością prądu , zaś T czasem. Zespolonym odpowiednikiem natężenia prądu i = a sin ωt + b cos ωt, gdzie a, b ∈ R, jest liczba zespolona a + j b. Znaleźć i nazwać zespolone odpowiedniki następujących wielkości:
√
1. amplituda
a 2 + b 2 prądu i ; 2. faza ϕ prądu i = r sin( ωt + ϕ) ; 3. prędkość zmian prądu di ; dt
4. suma i1 + i2 prądów o jednakowej częstotliwości ω.
ZADANIE 14. Podane liczby zespolone zapisać w postaci wykładniczej:
√
a)
z = − 1;
b)
z = 1 + i;
c)
z = −i;
d)
z = 1 −
3i .
ZADANIE 15. Obliczyć i narysować podane pierwiastki z liczb zespolonych:
√
√
s
√
√
4
1
3
a)
3 8i;
b)
3 − 27;
c)
− +
i;
d)
8 1;
2
2
ZADANIE 16. Rozwiązać podane równania a)
z 2 + 3 z + 3 − i = 0; b)
z 2 + (2i − 1) + 15i = 0; z 3 = (1 − i)3 .
Równania różniczkowe zwyczajne
ZADANIE 17.
1. Rozwiąż równanie populacyjne (Równanie o zmiennych roz-dzielonych ):
y0 = y(1 − y) .
2. Rozwiąż równanie:
√
y0 = 2 y.
2
y0 = 2 xy 2 − x 2 y0.
4. Rozwiąż równanie jednorodne:
dy
x 2 + xy + y 2
=
.
dx
x 2
Metoda operatorowa rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych-transformata Laplace’a n
o
ZADANIE 18.
1. Wyznacz transformat¸
e Laplace’a L f
dla następujących funk-
cji f
a)
f ( t) = 1
b)
f ( t) = ect,
gdzie
c ∈ Z .
n
o
Ponadto dla każdej z transformat F = L f określ dziedzin¸
e.
2. Korzystając z tablic oraz własności Transformacji Laplace’a wyznacz trans-n
o
formaty L f
następujących funkcji f
(a) f = te 2 t,
(b) f = t,
(c) f = cos t,
(d) f = t cos t.
ZADANIE 19.
1. Stosuj¸
ac metod¸
e operatorow¸
a rozwi¸
aż nast¸
epuj¸
ace równania
różniczkowe zwyczajne :
1)
f 00( t) + 2f 0( t) + f ( t) = t 2
z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 0 , f 0(0+) = 1 .
2)
f 0( t) − f ( t) = sin t z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 0 ,.
3)
f 0( t) + 3f ( t) = 5 e 2 t z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 4 .
4)
f 00( t) − 2f 0( t) = t 2 + t − 3 et z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 0 , f 0(0+) = 2 .
ZADANIE 20. Stosuj¸
ac metod¸
e operatorow¸
a rozwi¸
aż nast¸
epuj¸
ace układy równań
różniczkowych zwyczajnych
1)
(
3 dx − 2 dy
= 2x( t) + 3y( t)
dt
dt
,
dx + 4 dy
= − 4x( t) + y( t) dt
dt
gdzie x(0+) = 0 , y(0+) = 1
3
dx
= x( t) +y( t)
dt
dy
=
y( t)+ z( t) ,
dt
dz
=
z( t)
dt
gdzie x(0+) = 1 , y(0+) = 0 , z(0+) = 1
3)
(
d 2x + y = 0
dt 2
,
d 2y + x = 1
dtt
0
0
gdzie x(0+) = y(0+) = 1 oraz x (0+) = y (0+) = 0
4