materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
Z
Z
Z
dx
Całkowanie funkcji
cos xdx = sin x + C
ctg xdx = ln | sin x| + C
= − ctg x + C
sin2 x
Liczenie całki z f ( x), to szukanie takiej funkcji g( x), że jej pochodna jest równa f ( x).
W skrócie:
Z
f ( x) = g( x) ponieważ
g0( x) = f ( x) Przykłady:
C – dowolona liczba
R x = 1 x 2 + C
ponieważ
1 x 2 + C 0 = 1 x 2 0 + ( C) 0 = x
2
2
2
R x 2 = 1 x 3 + C
ponieważ
1 x 3 + C 0 = 1 x 3 0 + ( C) 0 = x 2
3
3
3
R cos x = sin x + C
ponieważ
(sin x + C) 0 = (sin x) 0 + ( C) 0 = cos x
Proste całki
Wzory:
Przykłady:
Z
xa+1
Z
x 3
Z
x 4
xadx =
+ C
x 2 dx =
+ C
x 3 dx =
+ C
a + 1
3
4
Z
x 2
Z
Z
dla a 6= − 1
xdx =
+ C
1 dx =
x 0 dx = x + C
2
Z
dx
Z
5
Z
1
= ln |x| + C
dx = 5
dx = 5 ln |x| + C
x
x
x
Z
exdx = ex + C
Z
ax
Z
2 x
Z
5 x
axdx =
+ C
2 xdx =
+ C
5 x =
+ C
ln a
ln 2
ln 5
Całki funkcji trygonometrycznych
Z
Z
Z
dx
sin xdx = − cos x + C
tg xdx = − ln | cos x| + C
= tg x + C
cos2 x
1