RACHUNEK PRAWDOPOBIE ŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA PRZEDZIA L UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY p Cecha X (wynik jednego doświadczenia) ma rozk lad zero-jedynkowy, tzn. P ( X = 1) = p, P ( X = 0) = 1 − p.
Prób¸e losow¸a n-elementow¸a można utożsamia˙c z ci¸agiem n niezależnych jednakowych doświadczeń.
Zak ladamy, że liczba doświadczeń jest duża ( n ≥ 100).
Niech Zn - liczba sukcesów w n doświadczeniach w schemacie Bernoulliego ( Zn ma rozk lad B( n, p)).
Przedzia l ufności dla wskaźnika struktury p na poziomie ufności 1 − α:
s
s
Z
Zn (1 − Zn )
Z
Zn (1 − Zn )
P n − u
·
n
n
< p < n + u
·
n
n
= 1 − α
n
1 − α
1 − α
2
n
n
2
n
WERYFIKACJA HIPOTEZ. PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI MODEL
H 0
H 1
Statystyka testowa
Zbiór krytyczny W
m 6= m 0
W = ( −∞; −u 1 −α ) ∪ ( u 1 −α ; + ∞) 1. σ dane,
2
2
m = m 0
√
m > m 0
U = X−m 0 n
σ
W = ( u 1 −α; + ∞) X ∼ N( m, σ)
m < m 0
W = ( −∞; −u 1 −α) m 6= m 0
W = ( −∞; −t( α, n − 1)) ∪ ( t( α, n − 1); + ∞) 2. σ nieznane
m = m
√
0
m > m
T = X−m 0 ·
n − 1
0
S
W = ( t(2 α, n − 1); + ∞) X ∼ N( m, σ)
m < m 0
W = ( −∞; −t(2 α, n − 1)) m 6= m 0
W = ( −∞; −u 1 −α ) ∪ ( u 1 −α ; + ∞) 2
2
3. n ≥ 100
m = m 0
√
X ma dowolny
m > m 0
U = X−m 0 n
W = ( u 1 −α; + ∞) s
rozk lad
m < m 0
W = ( −∞; −u 1 −α) σ 6= σ
W = (0; χ 2(1 − α, n − 1)) ∪ ( χ 2( α, n − 1); + ∞) 4. n < 50
0
2
2
σ = σ 0
σ > σ
χ 2 = nS 2
0
σ 2
W = ( χ 2( α, n − 1); + ∞) X ∼ N( m, σ)
0
σ < σ 0
W = (0; χ 2(1 − α, n − 1)) 5. n ≥ 50
σ 6= σ 0
W = ( −∞; −u 1 −α ) ∪ ( u 1 −α ; + ∞) 2
2
σ = σ
r
√
0
σ > σ
V =
2 nS 2 − 2 n − 3
0
W = ( u
X ∼ N( m, σ)
σ 20
1 −α; + ∞)
σ < σ 0
W = ( −∞; −u 1 −α) Opis danych :
α - poziom istotności; n - licznoś˙c próby, na podstawie której weryfikujemy hipotez¸e H 0; X - wartoś˙c średnia, S - odchylenie standardowe (obliczamy dla danej próby); uα - kwantyl rz¸edu α rozk ladu N(0 , 1); t( α, n) - wartoś˙c krytyczna rozk ladu t-Studenta o n stopniach swobody (kwantyl rz¸edu 1 − α); 2
X 2( α, n) - wartoś˙c krytyczna rozk ladu chi-kwadrat o n stopniach swobody (kwantyl rz¸edu 1 − α).
Weryfikacja hipotezy H 0 przeciw hipotezie H 1 na poziomie istotności α: 1) Wybieramy odpowiedni model (dla danej próby i hipotezy).
2) Obliczamy wartoś˙c odpowiedniej statystyki testowej dla danej próby.
3) Znajdujemy zbiór krytyczny dla danego poziomu istotności α.
4) Jeżeli obliczona dla danej próby wartoś˙c statystyki testowej należy do zbioru krytycznego W to hipotez¸e H 0 należy odrzuci˙c (tzn. przyj¸a˙c H 1) na poziomie istotności α. W przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0.
c
Krzysztof Bryś 1999-2006