→ , ⊂ .
Funkcją pierwotną funkcji f na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną funkcję F, której pochodna F’=f. Np. sinx + c jest rodziną funkcji pierwotnych dla f(x)=cosx, bo (sinx +c)’=cosx Całka nieoznaczona, to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na danym przedziale X.
Oznaczamy symbolem: ∫ ( )
Gdzie: ∫ - symbol całki, ( )
- wyrażenie podcałkowe, ( ) - funkcja podcałkowa, - zmienna całkowania
Czyli: ∫ ( )
= ( ) +
[ ( ) + ] = ( )
Własności:
Jeśli f i g są funkcjami całkowalnymi w sensie Newtona w pewnym przedziale, to suma f+g oraz iloczyn k*f (k należy do R) są całkowalne w tym przedziale i zachodzą wzory: 1. ∫
( ) + ( )
= ∫ ( )
+ ∫ ( )
2. ∫ ∗ ( )
=
∫ ( )
Całkowanie w sensie Newtona:
Funkcję nazywamy całkowalną w sensie Newtona, gdy ma w pewnym przedziale funkcję pierwotną (czyli całkę nieoznaczoną).
Podst. wzór o całce nieoznaczonej.
Jeśli funkcja f jest całkowalna w sensie Newtona to zachodzi wzór:
∫ ( )
= ( ) + (gdzie F to funkcja pierwotna f) Twierdzenie o pochodnej całki
Pochodna całki jest równa funkcji podcałkowej: ( )
= ( )
Twierdzenie o całce z pochodnej: ( )
= ( ) +
Obliczanie całki z funkcji wymiernej niewłaściwej sprowadza się do liczenia całki z wielomianu i całki z funkcji wymiernej właściwej, co zapisujemy tak: ( )
( )
=
( )
+
( )
( )
Rodzaje ułamków prostych
1. Stopnia pierwszego:
≠ 0,
= 2,3,4 …
+
(
+ )
2.
Δ < 0,
= 2,3,4 …
(
)
Definicja całki oznaczonej Riemanna: Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów {Pn} przedziału [a,b] ciąg sum całkowych Riemanna {an} odpowiadających ciągowi podziałów {Pn} jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, która nie zalezy od punktów pośrednich to tę granicę nazywamy całką oznaczoną w sensie Reimanna funkcji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem: ( )
( )
[ , ]
Gdzie: a-granica dolna, b- granica górna, [a,b] – przedział całkowania Def. Można zapisać:
( )
=
( ) ∗
→
→