Wykład 6
Przemiana politropowa
Rodzina przemian politropowych (indeks z) zdefiniowana jest przez równanie
pvz =� idem
gdzie wykładnik politropy z = idem jest wielkością stałą dla danej przemiany, a dla różnych przemian może przybierać
dowolne wartości rzeczywiste
-�Ą� <� z <� +�Ą�
Dla szczególnych wartości wykładnika politropy otrzymuje się:
- przemiany izobaryczne substancji dowolnych: z = 0, p = idem;
- przemiany izotermiczne gazów doskonałych: z = 1, pv = idem, T = idem
- przemiany izentropowe gazów doskonałych : z = k�, pvk� = idem;
- przemiany izochoryczne substancji dowolnych: z = Ą�, v = idem.
Należy zauważyć, że przemiany izentropowe gazów doskonałych o cieple właściwym zależnym od temperatury nie są
przemianami politropowymi.
z
z-�1
z
Praca przemiany politropowej
ć� ��
T1 v2
ć� �� ć� ��z-�1
p1 �� v2 �� �� T1 ��
=� �� ��
=� =�
z-�1 z-�1
T2 �� v1 ��
p2 �� v1 �� �� T2 ��
Ł� ł�
Ł� ł� Ł� ł� z-�1 �� ł� z-�1 �� ł�
ć� �� ć� �� ć� �� ć� ��
R RT1 �� v1 ł� RT1 ę�1-� p2 z ś� p1v1 �� v1 ł� p1v1 ę�1-� p2 z ś�
l1-�2 =� (T1 -�T2) =� ę�1-� ś� =� =� ę�1-� ś� =�
�� �� �� ��
ę� ę�
z -�1 z -�1 v2 �� ś� z -�1 p1 �� ś� z -�1 v2 �� ś� z -�1 p1 �� ś�
ę� ę�
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
�� �� �� ��
ę� ś� ę� ś�
�� �� �� ��
Praca techniczna przemiany politropowej
lt1-�2 =� zl1-�2
c -� cp
z -�k�
c =� cv
z =�
z -�1 c -� cv
Ciepło przemiany politropowej między stanami 1 i 2, odniesione do 1 kg, dla gazów doskonałych o stałym cieple
właściwym wynosi
z -�k� z -�k�
q1-�2 =� c(T2 -� T1) =� cv (T2 -� T1) =� (u2 -� u1)
p2
lg
z -�1 z -�1
p1
z =�
v1
lg
Wykładnik politropy można wyznaczyć analitycznie przy pomocy wzoru:
v2
Pojemność cieplna czynnika w przemianie politropowej
Pojemność cieplna właściwa dowolnego czynnika
��ć� �� ł�
ś�u dv
c =� cv +� +� pś�ć� ��
ę��� �� �� �� podlegającego dowolnej przemianie p�.
��Ł� ś�v ł�T ��Ł� dT ł�p�
Pochodna objętości właściwej względem temperatury
dv v
ć� ��
ś�U
ć� ��
=�-�
�� ��
=� 0
�� ��
dT
(� )�
Ł� ł�z T z -�1
ś�v
Ł� ł�T
Rz -�k�
c =� cv -� =� cv z = 1 pojemność cieplna nieskończenie wielka,
z = k� pojemność cieplna równa zero,
z -�1 z -�1
Ciepło właściwe przyjmuje wartość ujemną wówczas, gdy z < � i z > 1
Energia wewnętrzna układu maleje przy wykonywaniu pracy większej od ilości ciepła doprowadzanego.
Czynnik ma ujemna pojemność cieplną właściwą wówczas, gdy mimo doprowadzenia ciepła temperatura czynnika
obniża się lub mimo odprowadzenia ciepła temperatura podwyższa się.
Politropy o ujemnym cieple właściwym nazywane są politropami technicznymi
z
z
Pojemność cieplna właściwa
powietrza w przemianach
politropowych
z
Znak pojemności cieplnej właściwej
w przemianach politropowych
Ciepło właściwe przyjmuje wartość ujemną wówczas, gdy z < � i z > 1
Politropa techniczna jest przemianą politropową o wykładniku zawartym w przedziale 1 < z < � czyli
między izotermą i adiabatą. Ciepło właściwe jest w tym zakresie mniejsze od zera.
dq z -�k�
c =� =� cv <� 0
dT z -�1
Przy doprowadzeniu ciepła dq>0, temperatura ogrzewanej substancji spada dając dT<0
Drugą możliwością jest odprowadzenie ciepła dq<0, połączone ze wzrostem temperatury
substancji chłodzonej, co daje dT>0
3
Pozorny paradoks obu tych przypadków wyjaśnia IZT
Q1-�2 =�U2 -�U1 +� L1-�2
Dla gazów doskonałych
Q1-�2 =� mcv T2 -�T1 +� L1-�2 =� mcvD�T +� L1-�2
(� )�
Ochładzanie (Q1-2<0) sprężającego
Ogrzewanie (Q1-2>0) rozprężającego się
się gazu L1-2<0 związane jest ze
gazu wykonującego pracę L1-2>0 związane
wzrostem D�T1-2>0, gdy energia
jest ze spadkiem temperatury (D�T1-2<0),
wprowadzona do systemu na sposób
gdy energia wyprowadzona z systemu na
pracy jest większa od energii
sposób pracy jest większa od energii
wyprowadzonej na sposób ciepła 
doprowadzonej na sposób ciepła 
zrównoważenie bilansu zapewnia
zrównoważenie bilansu zapewnia spadek
wzrost energii wewnętrznej
energii wewnętrznej systemu D�U1-2,
systemu D�U1-2, oznaką jest wzrost
oznaką jest spadek temperatury T1-2<0.
T1-2>0.
przemiana z c
Gazy półdoskonałe
T = idem 1 Ą�
T2 T2 R
c =� cv T1 -�
v = idem Ą� cv
T1
z -�1
p = idem 0 cp
Pojemność cieplna właściwa w przemianie
0
dqc = 0 k�
politropowej zależy od temperatury
z -�k�
pvz = idem z c =� c
v
z -�1
4
Zastosowanie pierwszej zasady termodynamiki do obiegów
Obiegiem termodynamicznym nazywany jest zespół kolejnych przemian, po wykonaniu których stan czynnika w układzie
zamkniętym powraca do wyjściowego.
Obrazem geometrycznym obiegu (składającego się z przemian równowagowych) na wykresie, na którego osiach odłożono
parametry stanu, jest linia zamknięta.
Po zrealizowaniu pełnego obiegu, zmiany parametrów i funkcji stanu, oznaczonych ogólnie przez A, są równe zeru,
ponieważ wartości tych wielkości nie zależą od drogi, po której stan substancji dochodzi do rozpatrywanego stanu.
dA =� 0
��
Obiegi termodynamiczne
D�U =� 0
m =� const
+�
(� )�
��Q =� Qd
Q(�-�)� =� Qw
��
W każdym obiegu występują cztery punkty charakterystyczne:
-Punkty zwrotne I i II dzielą krzywą przemiany na linię ekspansji i kompresji,
-Punkty adiabatyczne A1 i A2 dzielą obieg na część, w której czynnik pobiera ciepło oraz część, w której czynnik oddaje
ciepło (można wyznaczyć je prowadząc dwie izentropy styczne do linii obiegu).
Obieg
prawobieżny
Pompa ciepła
Ziębiarka
Obiegi lewobieżne
Praca i ciepło obiegu
Lob =�
��L =� ��L
i ti
Uzasadnienie:
Q1-�2 =� U2 -�U1 +� L1-�2 =� I2 -� I1 +� Lt1-�2
Przemiany pobierające ciepło,
Q2-�3 =� U3 -�U2 +� L2-�3 =� I3 -� I2 +� Lt 2-�3
oddzielone adiabatami od
przemian oddających ciepło
Qn-�1 =� U1 -�Un +� Ln-�1 =� I1 -� In +� Ltn-�1
+�-�
-�
��Q(� )� ��Q(� )� =� 0 +���L =� 0 +���L
i ti
Lob =� Qd +� Qw
Lob =� Qob
Obieg prawobieżny
D�Eu =� 0
Ed =� Qd
Ew =� Lob +� Qw Lob =� Qd -� Qw
6
Obieg lewobieżny
Ed =� Qd +� Lob
D�Eu =� 0
Ew =� Qw Lob =� Qw -� Qd
uzyskane efekt
uzyskane efekty y
h� =�
poniesione nakłakł
poniesione nakłady
Schemat przenoszenia i przekształcenia
energii przy realizacji obiegu prawobieżnego
Lob Qd -� Qw Qw
h� =� =� =� 1-�
Qd Qd Qd
7
Typowe porównawcze obiegi gazowe
Obiegi teoretyczne (porównawcze) mają na celu przedstawienie idealnego przebiegu przemiany
termodynamicznej zachodzącej w urządzeniu.
Przy tworzeniu obiegów teoretycznych dokonujemy pewnych uproszczeń:
-Pomijamy straty związane z napełnianiem, sprężaniem, rozprężaniem i opróżnianiem (obieg odbywa
się przy niezmiennej ilości czynnika),
- zakładamy, że procesy zmiany ciśnienia (sprężanie, rozprężanie) odbywają się adiabatycznie (nie ma
wymiany ciepła pomiędzy czynnikiem a ściankami urządzenia,
- zakładamy stałość ciepła właściwego czynnika,
- ciepło do czynnika dostarczane jest poprzez izochoryczne lub izobaryczne ogrzewanie, natomiast
odbierane poprzez izochoryczne oziębianie,
- nie występują straty przepływu.
Wykresy obiegów rzeczywistych znacznie różnią się od obiegów teoretycznych.
Na różnice pomiędzy kształtem wykresów teoretycznych i rzeczywistych mają wpływ m. in.:
- straty ciepła w urządzeniu,
- dławienie gazów,
- powolne i niezupełne spalanie mieszanki w silnikach,
- nieszczelności tłoka i zaworów.
Duże znaczenia ma fakt, że czynnikiem roboczym, w przypadku urządzeń rzeczywistych nie jest gaz
doskonały.
8