Egzamin z analizy matematycznej  semestr I  termin I
Zad 1. Wyznacz asymptoty funkcji
x2e-x
f(x) = .
x - 1
Ad 1. Df = (-", 1) *" (1, ").
Asymptoty pionowe:
x2e-x e-1
lim = = -".
x1- x - 1 0-
+
Podobnie limx1 x2e-x = +". Tak więc x = 1 jest asymptotą obustronną.
x-1
Asymptoty ukośne (poziome):
x2e-x e-x
a = lim = lim = +";
1
x-" - 1) 1 -
x-"
x(x
x
x2e-x
a = lim = 0;
x+" - 1)
x(x
x2e-x x x
b = lim = lim lim = 0.
x+" - 1 x
x+" - 1 ex
x+"
x
Zatem y = 0 jest asymptotÄ… prawostronnÄ….
Zad 2. Wykaż, że dla dowolnego x > 1 prawdziwa jest nierówność
xln x < ex.
Ad 2.
"
2
xln x < ex Ô! eln x < ex Ô! ln2 x < x Ô! ln x < x.
"
Niech u(x) = x - ln x.
"
1 1 x - 2
"
u (x) = - = .
2 x x 2x
Analiza znaku pochodnej prowadzi do wniosku, że na przedziale [1, ") funkcja
osiÄ…ga minimum w punkcie x = 4.
"
e2
u(4) = 4 - ln 4 = 2 - ln 4 = ln > 0.
4
Stąd na przedziale [1, +") funkcja u przyjmuje wartości dodatnie.
n(n-1)
2
Zad 3. Wiedząc, że xn = 2(-1) - (-2)-n, wyznacz inf xn, sup xn,
n"N
n"N
lim inf xn oraz lim sup xn.
n"
n"
Ad 3.
n(n-1)
2, 4|n(n - 1) 1/2n, 2|n
2
2(-1) = (-2)-n = .
1/2, <" 4|n(n - 1) -1/2n, <" 2|n
Rozpatrujemy 4 możliwości:
n = 4k : xn = 2 - 1/2n;
n = 4k - 3 : xn = 2 + 1/2n;
n = 4k - 2 : xn = 1/2 - 1/2n;
n = 4k - 1 : xn = 1/2 + 1/2n.
StÄ…d supn"N xn = x1 = 2 + 1/2, inf xn = x2 = 1/2 - 1/22, lim sup xn = 2,
lim inf xn = 1/2.
Zad 4. Dobierz parametry a, b " R tak, aby funkcja
Å„Å‚
tg x - x
ôÅ‚
ôÅ‚
, x " (-Ä„/2, 0)
ôÅ‚
òÅ‚
sin x
ax3 + bx2, x " [0, 1]
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚ ex - e
ôÅ‚
ół
, x > 1
1 - x2
była różniczkowalna w swojej dziedzinie.
Ad 4.
1 x
lim f(x) = lim - = 1 - 1 = 0;
x0- x0- cos x sin x
lim f(x) = lim ax3 + bx2 = 0 = f(0).
x0+ x0+
sin x sin x - x cos x
lim f (x) = lim -
x0- x0- cos2 x sin2 x
cos x - cos x + x sin x
= 0 - lim = 0 - 0 = 0;
x0- 2 sin x cos x
lim f (x) = lim 3ax2 + 2bx = 0.
x0+ x0+
Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x = 0.
Analogicznie:
lim ax3 + bx2 = a + b = f(1);
x1-
ex - e ex e
lim = lim = .
x1+ 1 - x2 x1+ -2x -2
lim 3ax2 + 2bx = 3a + 2b;
x1-
ex(1 - x2) + 2x(ex - e) ex(1 - x2 - 2x) + 2(ex - e) + 2xex
lim = lim
x1+ (1 - x2)2 x1+ -4x(1 - x2)
ex(3 - 2x - x2)
= lim = 0.
x1+ 12x2 - 4
Stąd a + b = -e/2 i 3a + 2b = 0. Rozwiązując układ równań, wyznaczamy a i b.
xn
2
(arc tg x)n+1
Zad 5. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Oblicz lim arc cos x .
x0
Ä„
Ad 1. Na przykład:
xn ln(2/Ä„arc cos x)
= exp lim = ...
x0
(arc tg x)n+1
Osobno obliczamy
xn ln(2/Ä„arc cos x) xn ln 2/Ä„ + ln arc cos x
lim = lim lim
x0 x0 x0
(arc tg x)n+1 (arc tg x)n arc tg x
-1
"
-2
1 - x2arc cos x
= 1 · lim = .
1
x0
Ä„
1 + x2
Uwaga! Nie miało sensu stosować reguły de l Hospitala do wyznaczenia gra-
nicy ilorazu
xn ln(2/Ä„arc cos x)
.
(arc tg x)n+1