Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu „Algebra liniowa”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7 p. ] a) Wiadomo, że
1 2 − 1
A · B− 1 = 2 3
0 .
3 5
7
Znaleźć taką macierz X, aby spełniała ona równanie B− 1 · X · A = I.
[2 p. ] b) Dana jest macierz A wymiaru 2 × 3 i macierz nieosobliwa B stopnia 3.
Które z iloczynów: ABA, B− 1 AT A, B 2 A, AAT B− 1 istnieją? Odpowiedź uzasadnić.
2. [7 p. ] Rozwiązać nierówność
1
1
1
1 1
1
2
1
x 2
3
3 x − 1 0 < 0
x x x
x 2 0
1
1
1
2 1
3. [7 p. ] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
λx + y + z = 1
x + y − z = λ
x − y + λz = 1
[2 p. ] b) Wyznaczyć rozwiązanie jednorodnego układu Cramera n równań z n niewiadomymi, gdzie n jest dowolnie ustaloną liczbą naturalną. Odpowiedź uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7 p. ] a) Dane są proste l 1 i l 2 o równaniach
x = − 1 + 2 t
x = − 3 t
1
2
l 1 :
y = 2 + t 1
, t 1 ∈ R,
l 2 :
y = 5 + t 2
, t 2 ∈ R
z = − 1 − 2 t 1
z = − 4 + t 2
Znaleźć punkt przecięcia tych prostych i równanie płaszczyzny zawierającej obie proste.
[2 p. ] b) Sprawdzić, czy punkty A(1 , 3 , 0), B(2 , 4 , 5) i C(3 , 5 , 9) należą do jednej prostej.
√
5. [4 p. ] a) Niech z = ( 3 + i)9(1 − i)5. Obliczyć |z| oraz Arg z.
[3 p. ] b) Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę
π
I
sin
z
2
dz,
z 2 − 1
C
gdzie C jest okręgiem |z − 1 | = 1 zorientowanym dodatnio.
3 s 2 + 9 s + 14
6. [7 p. ] a) Znaleźć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace’a F ( s) =
.
s 3 + 4 s 2 + 7 s
[2 p. ] b) Wyprowadzić wzór na transformatę Laplace’a funkcji jednostkowej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Znaleźć wartości własne i wektor własny odpowiadający największej z wyznaczonych wartości własnych macierzy
2 − 1 − 6
A = 0
1
0 .
0
0
− 1