POLE GRAWITACYJNE
Prawa Keplera
1. Elipsa.
Elipsa jest figurą geometryczną utworzoną przez zbiór punktów na płaszczyźnie, których suma odległości od dwóch punktów stałych zwanych ogniskami jest jednakowa.
P
r1 + r2 = 2a
r1
r2
a - duża półoś elipsy
F1
F2
b - mała półoś elipsy
c
a
e - mimośród elipsy
c
b
e =
a
Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy dla e = 0. Jeśli e = 1 to elipsa staje się odcinkiem.
2. Pierwsze prawo Keplera.
Jan Kepler - wybitny matematyk i astronom niemiecki, żył w latach 1571 - 1630. W
oparciu o dane obserwacyjne Kepler sformułował trzy prawa, zwane dzisiaj prawami Keplera. Zgodnie z pierwszym prawem
P
Keplera planety krążą wokół Słoń ca po
torach eliptycznych, przy czym Słoń ce
znajduje się w jednym z ognisk.
S
Przed Keplerem istniało powszechne
przekonanie, że orbity planet mogą być
tylko okręgami.
3. Drugie prawo Keplera.
Każ da planeta ma stałą , charakterystyczną
dP
dla siebie pr
1
ę dkość polową .
dP2
Przez prędkość polową rozumiemy stosunek
pola zakreślonego przez promień wodzący
Słońce
planety do czasu w jakim to pole zostało
zakreślone.
1
dP
dP
1
2
=
dt
dt
1
2
4. Trzecie prawo Keplera.
Kwadraty okresów obiegu planet wokół Słoń ca mają się do siebie tak jak sześ ciany ś rednich odległoś ci tych planet od Słoń ca.
T2
a 3
1
1
=
T2
a 3
2
2
Przez średnią odległość planety od Słońca rozumiemy wielkość dużej półosi orbity eliptycznej.
Obecnie wiadomo, że drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania momentu
pędu, a trzecie prawo - z prawa ciążenia powszechnego Newtona. Wyniki swoich prac Kepler zawarł w dziele tworzonym w latach 1601 - 1605 i opublikowanym w roku 1609 pt. "Astronomia nowa, oparta na przyczynach, czyli fizyka nieba wyłożona w badaniach ruchu gwiazdy Marsa podług obserwacji Tychona Brahego".
Prawo ciążenia powszechnego
Prawo ciążenia powszechnego zostało sformułowane przez Izaaka Newtona.
Rozważania nad tym prawem były przeprowadzone w roku 1666, ale samo prawo zostało opublikowane później.
Newton doszedł do wniosku, że przedmioty spadające na powierzchnię Ziemi doznają działania siły, która ma to samo źródło co siła działająca na Księżyc.
Źródłem siły jest Ziemia. Księżyc doznaje działania siły dośrodkowej, pod wpływem której porusza się po okręgu. Przyspieszenie dośrodkowe Księżyca wynosi:
F
v 2
r
a
r
=
=
v = 2π
r
m
r
T
Księżyc
Fr
4 2
π r
4 2
π 3,84 108 m
m
a =
=
⋅
⋅
≈ 0,00272
r
V
T2
r
(
2
2
27,322 ⋅ 24 ⋅ 3600 )
s
s
Ziemia
1
m
a
=
⋅ g
g ≈ 9,81
r
3600
s2
2
Ciała spadające na powierzchnię Ziemi mają przyspieszenie g = 9,81 m/s . To samo ciało umieszczone przy powierzchni Ziemi porusza się zatem z przyspieszeniem 3600 razy większym od przyspieszenia jakie miałoby po umieszczeniu w takiej 2
odległości od Ziemi w jakiej znajduje się Księżyc. Ponieważ Księżyc jest 60 razy dalej od środka Ziemi w porównaniu do przedmiotów umieszczonych na
powierzchni Ziemi, stąd wniosek, że siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości.
Wiadomo także, że Ziemia przyciąga ciało o większej masie z proporcjonalnie większą siłą. Z powyższego wynika wniosek:
r
r
− F r
F
M
m
Każ de dwa ciała materialne przycią gają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległoś ci mię dzy nimi.
Mm
F ∼
r 2
Wstawiając współczynnik proporcjonalności G otrzymujemy:
Nm2
G - stała grawitacji, G = ,
⋅ −
6 67 10 11
kg2
Mm
F = G
r 2
r
r
r
F
M
m
rr- wektor wskazujący położenie ciała o masie m, na które działa siła grawitacji ze strony ciała o masie M,
r
r
r
- wektor jednostkowy o kierunku i zwrocie r .
r
r
r
GMm r
F = −
r2
r
Powyższa zależność przedstawia prawo ciążenia powszechnego w zapisie
wektorowym.
3
Wartość stałej grawitacji można wyznaczyć z prawa ciążenia powszechnego. Do wyznaczenia stałej G należy znać masy dwóch ciał (M, m), odległość ich środków (r) i wartość siły z jaką te ciała wzajemnie
się przyciągają. Ponieważ siła ta jest bardzo
mała, stąd problemy z jej pomiarem. Wartość
stałej grawitacji została wyznaczona po raz
pierwszy dopiero około 100 lat po
sformułowaniu
prawa
ciążenia
powszechnego. Dokonał tego w roku 1798
Cavendish. Wartość siły grawitacji obliczył
on mierząc skręcenie cienkiego drutu,
wywołanego
oddziaływaniem
grawitacyjnym. Do bardziej znanych metod wyznaczania stałej grawitacji należy metoda zastosowana w roku 1880 przez Jolly'ego, który do pomiaru siły wykorzystał
dokładną wagę. W tym doświadczeniu zmierzono siłę, z jaką przyciagają się dwa ciała o masach 5 kg i 5800 kg umieszczone w odległości 59 cm (odległość ich środków). Wartość siły grawitacji wynosi w tym przypadku ok. 5,56 . 10-6 N. Jest to ciężar odważnika o masie 0,57 mg. Obecnie wiadomo, że stała grawitacji ma wartość:
Nm2
G = (6,67259 ± 0,00058) . 10-11
kg 2
Zastosowanie prawa ciążenia powszechnego
1. Wyznaczanie masy Ziemi.
Siła, która nadaje spadającemu ciału przyspieszenie ziemskie jest praktycznie siłą grawitacji. Wynika stąd równanie:
GMm = mg
r 2
m
2
R
6
gR 2
9,81 ⋅ (6,37⋅ 10 )
M
M =
=
kg
G
6,67 ⋅
−11
10
M ≈ 6⋅1024 kg
2. Wyznaczanie masy Słońca.
Na Ziemi
m
ę, która krąży wokół Słońca działa siła dośrodkowa.
F
z
r
Jest nią siła grawitacji. Wynika stąd równanie:
V
r
GM m
m v 2
r
s
z
z
=
;
v = 2π
Ms
r 2
r
T
4
3
2
11
4 2
π r3
4π ⋅ (1,5 ⋅ 10 )
M =
=
kg
s
GT2
2
6,67 ⋅
−
10 11 ⋅ (365,25 ⋅ 24 ⋅ 3600)
Ms = 2⋅1030 kg
Analogicznie jak masę Słońca można wyznaczyć masę każdej planety, wokół której krąży satelita. Należy jedynie znać promień orbity satelity i jego okres obiegu.
Natężenie pola grawitacyjnego
Przestrzeń wokół ciała obdarzonego masą, gdzie na inne ciała działają siły grawitacji nazywamy polem grawitacyjnym. Każdemu punktowi pola można przypisać wektor
charakterystyczny dla danego punktu pola zwany natężeniem pola grawitacyjnego.
r
F
γr
M
m
r
Miarą natężenia pola grawitacyjnego jest stosunek siły grawitacji jak działa na ciało umieszczone w danym punkcie pola do masy tego ciała.
r
r
F
γ =
m
W przypadku, gdy źródłem pola jest punktowe ciało o masie M natężenie pola w punkcie odległym o r od źródła pola wynosi:
GMm
γ = r2
m
γ = GM
r 2
5
Stosunek siły grawitacji jaka działa na ciało umieszczone w pewnym punkcie przestrzeni do masy tego ciała wyraża również
przyspieszenie ciała. Pomiędzy natężeniem
r
F
pola
grawitacyjnego
i
przyspieszeniem
r
ziemskim istnieją jednak istotne różnice.
Ziemia nie jest dokładnie układem inercjalnym.
Na każde ciało umieszczone na Ziemi działa
siła odśrodkowa bezwładności wywołana
ruchem wirowym Ziemi. Siła odśrodkowa jest
nieznaczna w stosunku do siły grawitacji i jest
skierowana prostopadle do osi Ziemi. Stosunek
r
siły grawitacji ( F ) do masy ciała wyraża
natężenie pola grawitacyjnego. Ciężar jest
wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej
r
r
r
bezwładności. Stosunek ciężaru ( Q ) do masy
F
Q
ciała wyraża przyspieszenie ziemskie.
r
r
r
F
γ =
r
Q
g =
m
m
r
r
r
r
F ≈ Q ⇒ γ ≈ g
Wynika stąd, że ruch wirowy Ziemi jest przyczyną drobnych różnic między wartością natężenia pola grawitacyjnego w danym punkcie pola i przyspieszeniem ziemskim ciała umieszczonego w tym punkcie. Istotna różnica między wektorami γr i r
r
g polega jednak na tym, że γr jest cechą danego punktu pola, podczas gdy g jest cechą ciała poruszającego się w tym punkcie.
Przyspieszenie ziemskie zależy od szerokości geograficznej oraz od wysokości nad m
poziom morza. Na biegunie wynosi ono g = 9,83216
, a na równiku
s2
m
m
m
g = 9,78030
. W Warszawie g = 9,8123
, a w Krakowie g = 9,81054
.
s2
s2
s2
Pole grawitacyjne wewnątrz jednorodnej kuli
Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni
jednorodnej kuli o masie M i promieniu R jest γo.
Natężenie pola wewnątrz kuli, w odległości r od jej
γ
środka jest γ. Źródłem tego pola jest kula o masie M’ i
r
promieniu r.
R
γo
GM
G 4
ρ R3
π
4 G
π R
ρ
γ =
=
=
0
R 2
3R 2
3
6
GM'
G 4
ρ r3
π
4 G
π r
ρ
γ =
=
=
r2
r
3 2
3
γ
r
=
γ
R
0
r
γ = γ0
R
Natężenie pola grawitacyjnego na
zewnątrz kuli w odległości r od jej
środka jest γ.
GM
γ
γ =
0
γ
2
r
Na powierzchni kuli:
GM
2
γ =
γ
R
=
0
2
R
2
γ
r
0
2
R
γ = γ0
2
r
Zależność natężenia pola grawitacyjnego od odległości liczonej od środka kuli
przedstawia poniższy wykres:
γ
r
R
Praca w polu grawitacyjnym
Ciało materialne o masie m znajdujące się początkowo w odległości r od źródła pola grawitacyjnego, jakim jest ciało o masie M, zostało przemieszczone o ds, w wyniku czego odległość między ciałami zwiększyła się o dr.
r
M
m
F
α ds
dr
Praca elementarna wykonana przy tym przez siłę zewnętrzną jest równa:
7
dr
dW = Fds cosα ;
= cosα
ds
dW = Fdr
Praca elementarna nie zależy zatem od przemieszczenia, a zależy jedynie od zmiany odległości między ciałami (dr).
Przyjmijmy, że początkowo dwa ciała materialne znajdowały się w odległości wzajemnej r , a następnie w wyniku przesunięcia znalazły się w odległości r .
1
2
1
Praca wykonana przy tym
m
przez
siłę
zewnętrzną
r1
stanowi
sumę
prac
M
elementarnych i tak jak one
nie zależy od drogi. Praca
wykonana
podczas
r
F1
2
3
F
przesunięcia
jest
zatem
2
2
równa sumie:
W = W
1, 3 + W3, 2
Pierwszy składnik sumy jest równy zeru, ponieważ nie zmienia się wtedy odległość między ciałami.
W
= 0 ⇒ W = W
1, 3
3, 2
Podczas przesunięcia z odległości r na odległość r siła potrzebna do takiego 1
2
przesunięcia maleje. Wykonana przy tym praca wynosi:
W = Fśr . (r
)
2 - r1
Można wykazać, że średnia siła działająca podczas przesunięcia jest średnią geometryczną sił działających w krańcowych punktach tego przesunięcia.
GMm GMm
GMm
F =
F F
1
2 =
⋅
=
r
r 2
r 2
r r
1
2
1 2
GMm
r2 − r
W =
(r
1
2 − r1 ) = GMm
r r
r r
1 2
1 2
1
1
W = GMm
−
- praca sił zewnętrznych
r
r
1
2
8
Energia potencjalna grawitacji
Energia potencjalna jest cechą układu złożonego co najmniej z dwóch ciał
pozostających w spoczynku, jeśli pomiędzy ciałami tego układu zachodzą jakieś oddziaływania. Układ dwóch ciał materialnych o masach m i M, pomiędzy którymi działają siły grawitacji ma energię potencjalną grawitacji. Gdyby między ciałami nie działały siły grawitacji, to energia układu byłaby równa zeru. Każda zmiana energii jest równa wykonanej pracy.
M
r
m
Energia potencjalna grawitacji jest równa pracy jaką trzeba wykonać przenosząc dany układ ze stanu energii zerowej (gdy ciała są nieskończenie od siebie odległe) do danego stanu energii (gdy są w odległości wzajemnej r).
1
1
E = GMm
−
p
∞ r
GMm
E = −
p
r
Zmianę energii potencjalnej grawitacji w ogólnym przypadku obliczamy, obliczając pracę:
M
r1
m
M
r
m
2
1
1
∆
GMm
GMm
E = GMm
− = −
− −
p
r
r
r
r
1
2
2
1
∆Ep = E2 - E1
Jeśli jednym z ciał układu jest Ziemia, a drugim ciało o masie m umieszczone na jej powierzchni, to zmiana energii układu przy podniesieniu ciała o masie m na nieznaczną wysokość nad powierzchnię Ziemi wynosi:
9
m
∆
1
1
E = GMm
−
h
p
R R + h
∆
GMmh
E =
<<
<
⇒
+
≈ 2
p
h
R
R R
h
R
R
R(R +
;
(
)
h)
∆
GM
GM
E =
mh
= g
p
R 2
R 2
∆E = mgh
p
Jeśli układ składa się z trzech ciał umieszczonych w odległościach wzajemnych r , r 1
2
i r , to energia układu stanowi sumę energii potencjalnych poszczególnych par.
3
1
1
1
1
1
1
E = Gm m
Gm m
−
1
2
− + Gm m
2
3
− +
p
∞
r
1
3 ∞ r
1
∞ r
2
3
m2
Gm m
Gm m
Gm m
r1
r2
E = −
1
2 −
2
3 −
1
3
p
r
r
r
1
2
3
m1
r
m
3
3
Potencjał grawitacyjny
Każdemu punktowi pola grawitacyjnego można przypisać wielkość skalarną zwaną potencjałem grawitacyjnym. Miarą potencjału grawitacyjnego jest stosunek energii potencjalnej jaką ma ciało umieszczone w danym punkcie pola do masy tego ciała.
E
V
p
=
m
Jeśli źródłem pola jest punktowe ciało o masie M, to potencjał w punkcie odległym o r od źródła pola wynosi:
GMm
−
M
r
m
GM
V
r
=
V = −
m
r
Pracę wykonaną podczas przesuwania ciała w polu grawitacyjnym można wyrazić poprzez różnicę potencjałów.
10
M
m
1
1
GM GM
W = GMm
− = m
−
r
r
r
r
1
2
1
2
1
2
W =
(
m V
2 − V1 )
Prędkość satelity na orbicie
Siła dośrodkowa działająca na satelitę krążącego po torze o promieniu r jest siłą grawitacji.
mv 2
GMm
=
r
r 2
Fr
r
GM
v =
r
v
Prędkość satelity jest zatem tym większa im mniejszy jest promień orbity.
Energia satelity na orbicie
Każdy satelita ma energię kinetyczną i potencjalną grawitacji:
mv 2
GMm
mv 2
GMm
E = E + E =
−
;
=
k
p
2
r
r
r 2
GMm
GMm
E =
−
r
2
r
GMm
E = −
r
2
GMm
GMm
E = −
;
E =
p
r
k
r
2
Ep = −2
Ek
Energia potencjalna dominuje i dlatego energia całkowita rośnie ze wzrostem promienia orbity.
11
Pierwsza prędkość kosmiczna
Wystrzelenie sztucznego satelity wymaga energii tym większej im większy ma być promień jego orbity. Najmniejszej energii wymaga wystrzelenie satelity krążącego na minimalnej wysokości nad ziemią. Obecność atmosfery powoduje, że minimalna wysokość toru satelity powinna wynosić około 300 km. Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość jaką trzeba nadać ciału stycznie do powierzchni Ziemi, aby ciało mogło okrążać Ziemię po torze o promieniu równym promieniowi Ziemi.
GM
GM
v =
;
= g
I
R
R
z
z
km
v =
gR
v = 7,9
I
z
I
s
W praktyce ciało, któremu nadano pierwszą prędkość kosmiczną nie może okrążać Ziemi z uwagi na opór powietrza i przeszkody terenowe.
Satelita geostacjonarny
Jest to satelita krążący w płaszczyźnie równika po tak dobranej orbicie, że jego okres obiegu Ziemi wynosi 24 h. Jeśli satelita krąży z zachodu na wschód, to znajduje się ciągle nad tym samym
h
punktem na powierzchni
V Ziemi.
R
mv 2
GMm
=
r
r 2
GM
r
r =
; v = 2π
v 2
T
2
3
GMT
r =
2
4π
GMT2
h = 3
− R
2
4π
Satelita geostacjonarny musi krążyć nad ziemią na wysokości ok. 35,9 tys. km.
12
Druga prędkość kosmiczna
Jest to prędkość jaką musi mieć ciało wyrzucone z powierzchni Ziemi, aby mogło wyzwolić się z pola grawitacyjnego Ziemi.
mV 2
1
II =
1
GMm
−
2
R z
∞
G
2 M
V =
II
R z
km
V = 2 V
V = 1 ,
1 2
II
I
II
s
Przeciążenie i nieważkość
Przeciążenie i nieważkość są to zjawiska zachodzące w układach nieinercjalnych. Przeciążenie powstaje wtedy, gdy siła bezwładności sumując się z ciężarem zwiększa nacisk ciała na podłoże.
Między innymi przeciążenie powstaje przy starcie rakiety oraz w wirówce do badania kosmonautów.
Nieważkość ma miejsce w takich układach inercjalnych, w których siła bezwładności równoważy ciężar.
13
ma
F
Fr
a = g
ma
Stan nieważkości powstaje między innymi podczas swobodnego spadku oraz w statku kosmicznym na orbicie.
Drugie prawo Keplera a zasada zachowania momentu pędu
Rysunek przedstawia orbitę eliptyczną jednej z planet okrążających np. Słońce. Jeśli planeta przebywa odcinek toru o długości dx1, to promień wodzący tej planety zakreśla pole ds1, a jeśli planeta przebywa odcinek toru o długości dx2, to promień wodzący tej planety zakreśla pole ds2. Na planetę działa siła grawitacji, która jest siłą centralną i zgodnie z zasadą zachowania momentu pędu, moment pędu planety nie ulega zmianie. Wychodząc z równości momentów pędu otrzymujemy:
dx1
v1
L1 = L2 ⇒ mv1R1 = mv2 R2
R1
ds1
dx
dx
1 R
2
=
R
dt
1
dt
2
1
2
ds2
R2
ds = 1 dxR
2
dx2
v2
ds
ds
1
2
=
dt
dt
1
2
A zatem prędkość polowa planety jest stała.
Z powyższych rozważań wynika, że drugie prawo Keplera jest konsekwencją istnienia zasady zachowania pędu.
14
Trzecie prawo Keplera a prawo ciążenia powszechnego
Na planetę krążącą wokół Słońca działa siła grawitacji, która pełni rolę siły dośrodkowej.
mv 2
GMm
=
a1
r
r 2
a2
M
4 2 2
π r
GM
=
⇒ 4 π2 r3 = G M T2
2
T
r
Rozważamy
dwie
planety okrążające
Słońce po orbitach o promieniach a1 i a2.
Dla każdej z nich słuszna jest analogiczna
zależność:
4
3
2
πa = GMT
1
1
4
2
2
πa = GMT
2
2
Dzieląc te równania przez siebie stronami otrzymujemy:
T2
a 3
1
1
=
T2
a 3
2
2
Oznacza to, że trzecie prawo Keplera wynika z prawa ciążenia powszechnego.
Uogólniona postać trzeciego prawa Keplera
Obiekty o masach M i m krążą wokół wspólnego środka masy. Siła dośrodkowa działająca na każdy z nich jest siłą grawitacji.
V
2
Fr
r
1
2
r1
m
M
Środek masy
V1
układu
mv
GMm
Mv
GMm
1 =
2 =
r
r 2
r
r 2
1
21
4 2
π r
GM
4 2
π r
Gm
1 =
2 =
(r
2
2
1 + r2 = r )
T
r
2
2
T
r
Dodając powyższe równania stronami otrzymujemy:
15
4 2
π (r + r
G M + m
1
2 )
(
)
=
2
2
T
r
G(M + m)T2 =
2 r3
4π
W przypadku dwóch planet krążących wokół słońca po różnych torach, dla każdej z nich otrzymujemy:
G(M + m)T2
2
3
4π
1
=
a 1
G(M + m)T2
2
3
4π
2
=
a 2
m1
a1
T1
Dzieląc te równania stronami otrzymamy:
M
a2
m2
(M + m 2
3
1 )T1
a
T2
1
(
=
M + m
2
3
2 )T
a
2
2
W przypadku gdy masy planet są nieznaczne w stosunku do masy Słońca otrzymujemy:
T2
a 3
1
1
=
T2
a 3
2
2
16