Ekonomia matematyczna I
Analiza marginalna
Podstawowe pojęcia i umiejętności
Przychód całkowity  TR  przychód uzyskany ze sprzedaży wszystkich produktów po określonej cenie.
Koszt całkowity  TC  jest sumą kosztów stałych i kosztów zmiennych.
Zysk całkowity  "  jest to różnica między przychodem całkowitym osiąganym przez przedsiębiorstwo a
kosztem całkowitym produkcji dla danej wielkości produkcji " = TR - TC.
Przychód przeciętny (średni) - AR  jest przychodem całkowitym przypadającym na jednostkę
produktu,
Koszt przeciętny (średni)  AC  jest kosztem całkowitym przypadającym na jednostkę produktu,
TC
ATC =ð
Q
Zysk przeciętny (średni) - A"  jest zyskiem całkowitym przypadającym na jednostkę produktu,
Przychód marginalny (krańcowy)  MR (marginal revenue)  jest to dodatkowy przychód wynikający
ze zwiększenia o jednostkę produkcji i sprzedaży.
przyrost _ ut arg u DðR R1 -ð R0
Ut arg_ krancowy =ð =ð =ð
przyrost _ produkcji DðQ Q1 -ð Q0
Koszt marginalny (krańcowy)  MC (marginal cost) jest to zmiana kosztu całkowitego "TC wynikającą
za zmiany wielkości produkcji o dodatkową jednostkę "Q,
przyrost _ kosztów DðC C1 -ð C0
Koszt _ krancowy =ð =ð =ð
przyrost _ produkcji DðQ Q1 -ð Q0
Zysk marginalny (krańcowy) - M"  jest to zmiana zysku całkowitego "" wynikającą za zmiany
wielkości produkcji o dodatkową jednostkę "Q,
przyrost _ zysku DðPð Pð1 -ð Pð0
Zysk _ krancowy =ð =ð =ð
przyrost _ produkcji DðQ Q1 -ð Q0
Koszty stałe  koszty niezależne od rozmiarów produkcji, występują tylko w krótkim okresie czasu, np.
płace pracowników administracji i obsługi, koszty zużywania się budynków, maszyn, urządzeń, koszty
użytkowania ziemi, wynajmu lokali, koszty kredytów, niektóre podatki.
Koszty zmienne  koszty zmieniające się wraz ze zmianami wielkości produkcji, występują zarówno w
krótkim jak i w długim okresie czasu, do kosztów tych zaliczamy płace pracowników produkcyjnych, koszty
surowców, materiałów, półproduktów, koszty energii, wody.
Zastosowanie pochodnej funkcji
Zależność pomiędzy kosztem całkowitym a kosztem przeciętnym
Strona 1/6
Ekonomia matematyczna I
Dla danej funkcji koszty całkowitego TC funkcja kosztu przeciętnego AC będzie wyrażać się następującym
wzorem:
TC
AC =ð , skÄ…d TC =ð AC *Q
Q
Przykład:
Dla danej funkcji kosztu całkowitego: TC = Q3-4Q2-10Q+75 funkcja kosztu przeciętnego AC jest równa
AC = TC/Q = (Q3-4Q2-10Q+75)/Q= Q2-4Q-10+75/Q
Zależność pomiędzy kosztem całkowitym a kosztem krańcowym (marginalnym)
Dla dane funkcji kosztu całkowitego TC funkcja kosztu krańcowego MC (dla nieskończenie małego
przychodu produkcji) jest granicÄ… ilorazu "C/", czyli pochodnÄ… funkcji TC:
dC
MC =ð
dQ
Wynika to z następującej zależności:
f (x0 +ð Dðx) -ð f (x0 ) f (x0 +ð Dðx) -ð f (x0 )
'
limDðx®ð0 =ð limDðx®ð0 =ð f (x0 )
x0 +ð Dðx -ð x0 Dðx
Należy zwrócić uwagę na fakt, iż koszt stały występujący w równaniu kosztu całkowitego znika podczas
obliczania dC/dQ, więc wielkość kosztu stałego nie wpływa na koszt krańcowy.
Przykład:
Dla danej funkcji kosztu całkowitego: TC = Q3-4Q2-10Q+75 funkcja kosztu krańcowego MC jest pochodną
funkcji TC czyli dC/dQ = 3Q2-8Q+10.
Wyznaczanie zysku maksymalnego przy podanej funkcji zysku całkowitego
Przedsiębiorstwo osiąga maksymalny zysk przy takiej wielkości produkcji, przy której utarg ze sprzedaży
dodatkowej jednostki produktu staje się równy kosztowi jej wytworzenia, gdy MR = MC, czyli zysk
krańcowy jest równy zeru M" = 0.
Dla danej funkcji zysku całkowitego " obliczamy funkcję zysku marginalnego M" jako pochodną funkcji
zysku całkowitego:
dPð
MPð =ð
dQ
Przyrównując to wyrażenie do zera, znajdujemy miejsca zerowe obliczonej funkcji. Będą to wartości w
których zysk marginalny jest równy 0. Znając te wartości możemy wskazać, dla której wartości funkcja
zysku całkowitego przyjmuje wartość maksymalną a dla której wartość minimalną.
W punkcie maksimum funkcja zysku zmienia swój kierunek z dodatniego na ujemny względem wzrostu
produkcji, przy czym nachylenie funkcji wokół punktu zwrotnego maleje ze wzrostem produkcji. W punkcie
minimum funkcja zmienia kierunek z ujemnego na dodatni, a jej nachylenie rośnie.
Strona 2/6
Ekonomia matematyczna I
Z uwagi na tę różnicę potrzebna jest nam druga pochodna, która pozwoli odróżnić oba ekstrema.
Obliczamy ją jako pochodną zysku krańcowego, tzn. pochodną od d"/dQ. Jeśli druga pochodna jest
ujemna (tzn. jeżeli nachylenie funkcji zysku maleje), to mamy do czynienia z lokalnym maksimum funkcji.
Jeśli natomiast druga pochodna jest dodatnia, oznacza to, że dany punkt zwrotny stanowi lokalne
minimum.
2
d Pð d(dPð / dQ) dMPð
=ð =ð
2
d Q dQ dQ
Przykład:
Dla danej funkcji zysku całkowitego: T" = 1,8Q2  0,1Q3 - 6Q -10 oblicz dla jakiej wielkości produkcji Q
zysk całkowity przyjmuje wartość maksymalną. Oblicz zysk maksymalny dla wyznaczonej wartości.
dPð
MPð =ð =ð 3,6Q -ð 0,3Q2 -ð 6
dQ
MPð =ð 0 Ûð (Q =ð 2) Èð (Q =ð 10)
2
d Pð dMPð
=ð =ð 3,6 -ð 0,6Q
2
d Q dQ
dla Q=2 d2"/dQ2 = 3,6-0,6*2 = 2,4
dla Q=10 d2"/dQ2 = 3,6-0,6*10 = -2,4
Zatem dla wartości Q=2 funkcja zysku posiada lokalne minimum a zysk całkowity wynosi  15,5; natomiast
dla Q=10 funkcja zysku posiada lokalne maksimum a zysk całkowity wynosi 10.
Strona 3/6
Ekonomia matematyczna I
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
Zadanie 1
Pewien menedżer twierdzi, że produkcję należy zwiększać dopóty, dopóki utarg przeciętny przewyższa
koszt przeciętny. Czy takie postępowanie ma sens? Uzasadnij.
Zadanie 2
Załóżmy, że kierownictwo przedsiębiorstwa sporządziło następującą tablicę zysku krańcowego:
Przyrost produkcji Przyrost zysków
0-1 -2,0
1-2 -1,5
2-3 -1,0
3-4 -0,5
4-5 +0,5
5-6 +2,0
6-7 +4,0
7-8 +3,2
8-9 +1,6
9-10 +0,4
10-11 -0,2
11-12 -0,7
12-13 -1,5
a) Jaka wielkość produkcji jest dla przedsiębiorstwa najbardziej opłacalna?
b) Przypuśćmy, że rzeczywisty zysk przedsiębiorstwa przy produkcji q = 0 wynosi  3 (z uwagi na koszty
stałe). Jaka jest maksymalna wielkość zysku osiągalna w tym przedsiębiorstwie?
Zadanie 3
Mając dane funkcje przychodu całkowitego, wyznacz funkcje przychodu krańcowego
i przeciętnego, oblicz ich wartość dla danej wielkości sprzedaży i podaj interpretację:
a) TR = 4000q  33q2 q = 10
b) TR = 1400q  6q2 q = 100
c) TR = 5900q  10q2 q = 35
d) TR = 5q q = 20
Zadanie 4
Mając dane funkcje kosztu całkowitego, wyznacz funkcje kosztu krańcowego
i przeciętnego, oblicz ich wartość oraz dla danej wielkości produkcji i podaj interpretację:
a) TC = q3  8q2 + 57q + 2 q = 5
b) TC = 0,3q3  8,5q2 + 50q + 50 q = 18
c) TC = q3  5q2 + 60q + 10 q = 35
d) TC = 1500 + 80q q = 20
Strona 4/6
Ekonomia matematyczna I
Zadanie 5
Mając dane funkcje kosztu/przychodu przeciętnego, wyznacz funkcje kosztu/przychodu krańcowego
i całkowitego, oblicz ich wartość dla danej wielkości produkcji i podaj interpretację:
a) AC = q2  8q + 57 + 2/q q = 5
b) AC = 3q + 7 + 12/q q = 4
c) AR = 4000  33q q = 35
d) AR = 1400  6q q = 20
Zadanie 6
MajÄ…c dane funkcje:
TR = 4350q  136q2 TC = q3  8q2 + 150q + 675
wyznacz funkcje AR, MR, AC, MC, , A .
Zadanie 7
MajÄ…c dane funkcje:
 = -7,5q2 + 1320q  1500 TC = 1500 + 80q
wyznacz funkcje A , AC, MC, TR, AR, MR.
Zadanie 8
MajÄ…c dane funkcje:
TR = 22q  0,5q2 AC = 0,3q3  8,5q + 50 + 90/q
wyznacz funkcje AR, MR, TC, MC, .
Zadanie 9
MajÄ…c dane funkcje:
TR = 4000q  33q2  = -2q3  30q2 + 3600q  5000
Wyznacz funkcje AR, MR, TC, AC, MC.
Zadanie 10
O ile w przybliżeniu zmieni się:
a) przychód całkowity oszacowany funkcją TR = 4000q  33q2 , jeżeli sprzedaż wzrośnie o jednostkę z
poziomu równego 80. Ile w przybliżeniu procent wartości początkowej przychodu całkowitego będzie
stanowiła ta zmiana?
b) przychód całkowity oszacowany funkcją TR = 22q  0,5q2 , jeżeli sprzedaż wzrośnie o jednostkę
z poziomu równego 10. Ile w przybliżeniu procent wartości początkowej przychodu całkowitego będzie
stanowiła ta zmiana?
c) koszt całkowity oszacowany funkcją TC = 2q3  4q2 + 140q + 845 , jeżeli produkcja wzrośnie
o jednostkę z poziomu równego 40. Ile w przybliżeniu procent wartości początkowej kosztu całkowitego
będzie stanowiła ta zmiana?
Strona 5/6
Ekonomia matematyczna I
Zadanie 11
Funkcja przychodu całkowitego dana jest wzorem: TR = 100q  10q2 .
Uzupełnij poniższą tabelę, podaj interpretację zależności występującej pomiędzy wartościami funkcji
przychodu całkowitego i krańcowego:
MR(q) * 100%
Q TR(q) MR(q) AR(q)
TR(q)
1
2
3
4
5
6
7
Na podstawie powyższej tabeli sporządz
wykres funkcji ilustrujący zmianę wartości funkcji przychodu
całkowitego, krańcowego i przeciętnego na skutek wzrostu wielkości sprzedaży
Czym może być spowodowany spadek wartości przychodu całkowitego, jeżeli wielkość sprzedaży
przekroczy pewien poziom?
Strona 6/6