Miara zewnętrzna
Definicja 3.1 (miary zewnętrznej) Funkcję µ∗ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę µ∗( A) ∈ [0 , + ∞] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli: (i) µ∗( ∅) = 0,
(ii) dla dowolnych zbiorów A ⊂ X, An ⊂ X, n ∈ N zachodzi
∞
∞
A ⊂ [ A
X
n ⇒ µ∗( A) ¬
µ∗( An) .
n=1
n=1
Twierdzenie 3.1 (własności miary zewnętrznej) Jeśli µ∗ jest miarą zewnętrzną okre-
śloną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X, to
m
m
(i) A ⊂ S A
P
n ⇒ µ∗( A) ¬
µ∗( An) ,
n=1
n=1
∞
∞
(ii) µ∗( S A
P
n) ¬
µ∗( An) ,
n=1
n=1
m
m
(iii) µ∗( S A
P
n) ¬
µ∗( An) ,
n=1
n=1
(iv) A ⊂ B ⇒ µ∗( A) ¬ µ∗( B) ,
dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X i An ⊂ X, n ∈ N .
Dowód Wykażemy wszystkie warunki po kolei.
(i) Wynika z Definicji 3.1 (i) i (ii) jeśli przyjmiemy Am+1 = Am+2 = . . . = ∅.
1
(ii) Wynika z Definicji 3.1 (ii) jeśli przyjmiemy A = S An.
n=1
m
(iii) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A = S An.
n=1
(iv) Wynika z (i) jeśli przyjmiemy A 1 = B i m = 1.
Twierdzenie 3.2 (Carath´
eodory’ego) Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X. Oznaczmy przez M rodzinę wszystkich podzbiorów A przestrzeni X spełniających warunek:
(car)
^
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ A) + µ∗( Z \ A) .
Z⊂X
Wówczas zachodzą warunki:
(i) M jest σ-ciałem w X,
(ii)
V
( µ∗( A) = 0 ⇒ A ∈ M) ,
A⊂X
(iii) funkcja µ = µ∗| M , tj. funkcja µ∗ ograniczona do rodziny M , jest miarą określoną na σ-ciele M i dodatkowo jest to miara zupełna.
Miarę µ będziemy nazywali miarą wyznaczoną przez miarę zewnętrzną µ∗.
Dowód Zanim przejdziemy do głównej części dowodu zauważmy, że warunek (car) jest równoważny warunkowi
(CAR)
^
µ∗( Z) µ∗( Z ∩ A) + µ∗( Z \ A) .
Z⊂X
Istotnie, ponieważ
Z = ( Z ∩ A) ∪ ( Z \ A) ,
więc wykorzystując Twierdzenie 3.1 (iii) dostajemy
µ∗( Z) = µ∗(( Z ∩ A) ∪ ( Z \ A)) ¬ µ∗( Z ∩ A) + µ∗( Z \ A) ,
|
{z
}
|
{z
}
A
|
{z
}
|
{z
}
1
A
A 1
2
A 2
2
przy każdym Z ⊂ X. Otrzymana nierówność pokazuje, że warunek (car) jest równy warunkowi (CAR).
(i) Aby pokazać, że M jest σ-ciałem musimy wykazać, że warunki (i), (ii) i (iii) Definicji 2.2 zachodzą.
Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X dostajemy
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ X) = µ∗( Z ∩ ( ∅ ∪ ∅0)) =
= µ∗( Z ∩ ∅) + µ∗( Z ∩ ∅0) = µ∗( Z ∩ ∅) + µ∗( Z \ ∅) .
A zatem
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ ∅) + µ∗( Z \ ∅) , tj. ∅ ∈ M i warunek (i) Definicji 2.2 zachodzi.
Załóżmy teraz, że A ∈ M . Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X dostajemy µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ ( A ∪ A0)) = µ∗( Z ∩ A) + µ∗( Z ∩ A0) =
= µ∗( Z ∩ A) + µ∗( Z ∩ ( X \ A)) = µ∗( Z ∩ ( A0) 0) + µ∗( Z ∩ ( X \ A)) =
= µ∗( Z \ ( X \ A)) + µ∗( Z ∩ ( X \ A)) = µ∗( Z ∩ ( X \ A)) + µ∗( Z \ ( X \ A)) , tj.
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ ( X \ A)) + µ∗( Z \ ( X \ A)) , a to oznacza, że zbiór X \ A spełnia warunek (car), czyli X \ A ∈ M (warunek (ii) Definicji 2.2 zachodzi).
Zostało pokazać, że biorąc dowolny ciąg zbiorów A 1 , A 2 , A 3 , . . . ∈ M również zbiór
∞
S
An ∈ M .
n=1
Dowód przeprowadzimy w czterech krokach.
1) Pokażemy najpierw, że zachodzi warunek
B 1 , B 2 ∈ M ⇒ B 1 ∪ B 2 ∈ M .
Załóżmy zatem, że B 1 ∈ M, tj. że
(*)
^
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ B 1) + µ∗( Z \ B 1) Z⊂X
3
(**)
^
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ B 2) + µ∗( Z \ B 2) .
Z⊂X
Przyjmując teraz we wzorze (**) za zbiór Z zbiór Z ∩B 1 i za zbiór Z zbiór Z \B 1 dostajemy odpowiednio
µ∗( Z ∩ B 1) = µ∗(( Z ∩ B 1) ∩ B 2) + µ∗(( Z ∩ B 1) \ B 2) i
µ∗( Z \ B 1) = µ∗(( Z \ B 1) ∩ B 2) + µ∗(( Z \ B 2) \ B 2) .
Uwzględniając powyższe związki w (*), korzystając z równości
Z ∩ ( B 1 ∪ B 2) = ( Z ∩ B 1 ∩ B 2) ∪ ( Z ∩ B 1 ∩ B0 ) ∪ ( Z ∩ B0 ∩ B
2
1
2)
oraz z Twierdzenia 3.1 (iii) dostajemy
µ∗( Z) = µ∗( Z ∩ B 1) + µ∗( Z \ B 1) =
= µ∗(( Z ∩ B 1) ∩ B 2) + µ∗(( Z ∩ B 1) \ B 2) + µ∗(( Z \ B 1) ∩ B 2) + µ∗(( Z \ B 1) \ B 2) =
= µ∗( Z ∩ B 1 ∩ B 2) + µ∗( Z ∩ B 1 ∩ B0 ) + µ∗( Z ∩ B0 ∩ B
∩ B0 )
2
1
2) + µ∗( Z ∩ B0 1
2
µ∗( Z ∩ ( B 1 ∪ B 2)) + µ∗( Z \ ( B 1 ∪ B 2)) , tj.
µ∗( Z) µ∗( Z ∩ ( B 1 ∪ B 2)) + µ∗( Z \ ( B 1 ∪ B 2)) , co pokazuje, że zbiór B 1 ∪ B 2 spełnia warunek (CAR) i tym samym, że B 1 ∪ B 2 ∈ M.
Stosując teraz zasadę indukcji matematycznej łatwo pokazać, że dla dowolnego m ∈ N
m
(∆)
B
[
1 , B 2 , . . . , Bm ∈ M ⇒
Bn ∈ M .
n=1
2) Pokażemy też, że jeśli zbiory B 1 , B 2 , . . . , Bm ∈ M i Bi ∩ Bj = ∅, i, j = 1 , 2 , . . . , m, i 6= j, to
m
!
m
(∆∆)
^
µ∗ Z ∩ [ B
X
n
=
µ∗ ( Z ∩ Bn) .
Z⊂X
n=1
n=1
4
Dowód jest przez indukcję względem m. Dla m = 1 warunek (∆∆) oczywiście zachodzi.
Załóżmy zatem prawdziwość warunku dla m − 1, gdzie m 2. Przyjmując w warunku m
(car) za zbiór B zbiór B
S
m i za zbiór Z zbiór Z ∩
Bn otrzymujemy
n=1
m
!
m
!
!
m
!
!
µ∗ Z ∩ [ B
[
[
n
= µ∗
Z ∩
Bn ∩ Bm + µ∗
Z ∩
Bn \ Bm
=
n=1
n=1
n=1
m− 1
!
m− 1
m
= µ∗( Z ∩ B
[
X
X
m) + µ∗
Z ∩
Bn
= µ∗( Z ∩ Bm) +
µ∗( Z ∩ Bn) =
µ∗( Z ∩ Bn) ,
n=1
n=1
n=1
tj.
m
!
m
µ∗ Z ∩ [ B
X
n
=
µ∗( Z ∩ Bn) ,
n=1
n=1
co pokazuje, że warunek (∆∆) zachodzi.
3) Weźmy dowolny ciąg zborów B 1 , B 2 , B 3 , . . . ∈ M parami rozłącznych. Biorąc dowolny zbiór Z ⊂ X oraz korzystając z (∆) i (∆∆) dostajemy
m
!
m
!
µ∗( Z) = µ∗ Z ∩ [ B
[
n
+ µ ∗ Z \
Bn
=
n=1
n=1
m
m
!
= X µ∗( Z ∩ B
[
n) + µ∗
Z \
Bn .
n=1
n=1
Biorąc teraz pod uwagę nierówność
∞
!
m
!
µ∗ Z \ [ B
[
n
¬ µ∗ Z \
Bn ,
n=1
n=1
(zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) dostajemy
m
∞
!
µ∗( Z) X µ∗( Z ∩ B
[
n) + µ∗
Z \
Bn .
n=1
n=1
Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n → ∞ otrzymujemy
∞
∞
!
µ∗( Z) X µ∗( Z ∩ B
[
n) + µ∗
Z \
Bn .
n=1
n=1
A ponieważ na mocy Twierdzenia 3.1 (ii)
∞
∞
!
∞
!
X µ∗( Z ∩ B
[
[
n) µ∗
( Z ∩ Bn) = µ∗ Z ∩
Bn ,
n=1
n=1
n=1
5
∞
!
∞
!
^
µ∗( Z) µ∗ Z ∩ [ B
[
n
+ µ∗ Z \
Bn ,
Z⊂X
n=1
n=1
∞
∞
tj. zbiór S B
S
n spełnia warunek (CAR) i tym samym
Bn ∈ M .
n=1
n=1
4) Rozważmy w końcu dowolny ciąg zbiorów A 1 , A 2 , A 3 , . . . ∈ M. Połóżmy B 1 = A 1 , Bn = An \ ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ Am− 1) , m = 2 , 3 , 4 , . . . .
Łatwo teraz zauważyć, że dla wszystkich n ∈ N, zbiory Bn są w M, są parami rozłączne i ponadto
∞
∞
[
B
[
n =
An.
n=1
n=1
Na mocy wyników uzyskanych w 3) dostajemy zatem
∞
[
Bn ∈ M ,
n=1
a stąd
∞
[
An ∈ M ,
n=1
tj. M jest σ-ciałem.
(ii) Weźmy teraz dowolny zbiór A ⊂ X i załóżmy, że µ∗( A) = 0. Korzystając z monotoniczności miary zewnętrznej (zob. Twierdzenie 3.1 (iv)) i biorąc dowolnym zbiór Z ⊂ X
dostajemy
µ∗( Z) µ∗( Z \ A) + µ∗( A) µ∗( Z \ A) + µ∗( Z ∩ A) , co pokazuje, że zbiór A spełnia warunek (CAR) i tym samym, że A ∈ M .
(iii) Musimy na koniec wykazać, że µ = µ∗| M jest miarą. Oczywiście µ( ∅) = µ∗( ∅) = 0 .
Weźmy teraz dowolny ciąg zbiorów A 1 , A 2 , A 3 , . . . ∈ M parami rozłącznych.
Korzystając z Twierdzenia 3.1 (ii) otrzymujemy
∞
!
∞
!
∞
∞
()
µ
[
A
[
X
X
n
= µ∗
An
¬
µ∗( An) =
µ( An) .
n=1
n=1
n=1
n=1
6
Wykorzystując monotoniczność miary zewnętrznej (zobacz Twierdzenie 3.1 (iv)) oraz kładąc w warunku (∆∆) Z = X dla n = 1 , 2 , 3 , . . . otrzymujemy
∞
!
m
!
m
!
µ∗
[
A
[
[
n
µ∗
An
= µ∗ X ∩
An
=
n=1
n=1
n=1
m
m
= X µ∗( X ∩ A
X
n) =
µ∗( An) ,
n=1
n=1
tj.
∞
!
m
µ∗
[
A
X
n
µ∗( An) .
n=1
n=1
Przykładając do obu stron powyższej nierówności granicę przy n → ∞ dostajemy
∞
!
∞
µ∗
[
A
X
n
µ∗( An) ,
n=1
n=1
skąd
∞
!
∞
( )
µ
[
A
X
n
µ( An) .
n=1
n=1
Z () i ( ) dostajemy
∞
∞
µ( [ A
X
n) =
µ( An) ,
n=1
n=1
tj. µ jest miarą.
Jeśli teraz założymy, że µ( A) = 0 i weźmiemy dowolny zbiór B ⊂ A, to 0 ¬ µ∗( B) ¬ µ∗( A) = µ( A) = 0 , skąd µ∗( B) = 0 i na mocy (ii) dostajemy, że B ∈ M. Funkcja µ jest miarą zupełną.
Uwaga 3.1 (równoważna definicji miary zewnętrznej) Funkcję µ∗ przyporządkowującą każdemu podzbiorowi A danej przestrzeni X liczbę µ∗( A) ∈ [0 , + ∞] (a więc określoną na rodzinie wszystkich podzbiorów przestrzeni X) nazywamy miarą zewnętrzną jeśli: (i) µ∗( ∅) = 0 ,
(ii)
V
( A ⊂ B ⇒ µ∗( A) ¬ µ∗( B)) ,
A,B⊂X
∞
∞
(iii)
V
µ∗( S A
P
n) ¬
µ∗( An) .
A 1 ,A 2 ,A 3 ,...⊂X
n=1
n=1
7