Zadania z matematyki Granice ciągów
1. Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że: n + 2
1
2 n 2 + 3 n + 1
1.1
lim
=
,
1.2
lim
= 2 ,
n→∞ 2 n − 1
2
n→∞
n 2 + n + 1
n
1.3
lim
= 0 ,
1.4
lim ( − 1) n ̸= 0 .
n→∞ 3 n
n→∞
2. Znaleźć granice:
( n + 1)2
( n + 1)3 − ( n − 1)3
2.1
lim
,
2.2
lim
,
n→∞
2 n 2
n→∞ ( n + 1)2 + ( n − 1)2
√
√
√
( n 2 + 1 + n)2
4 n 5 + 2 − 3 n 2 + 1
2.3
lim
√
,
2.4
lim √
√
,
n→∞
3 n 6 + 1
n→∞ 5 n 4 + 2 − 2 n 3 + 1
n!
1
2.5
lim
,
2.6
lim
(1 + 2 + . . . + n) , n→∞ ( n + 1)! − n!
n→∞ n 2
(
)
1 − 2 + 3 − 4 + . . . − 2 n 2.7
lim
√
,
n→∞
n 2 + 1
(
)
1
1
1
2.8
lim
+
+ . . . +
,
n→∞
1 · 2
2 · 3
( n − 1) · n
1
2 n − 1
2 n − 1
2.9
lim
,
2.10 lim
,
n→∞ 2 n + 1
n→∞
1
2 n + 1
√
√
2.11 lim n 2 n + 3 n, 2.12 lim n 3 n − 2 n, n→∞
n→∞
√
n 100
2.13 lim n n + 2 n, 2.14 lim
,
n→∞
n→∞ 2 n
√
√
2.15 lim n 10 n + 9 n + 7 n, 2.16 lim n 5 n − 3 n + 2 n, n→∞
n→∞
√
√
2.16 lim n 3 n 4 + 2 n 2 + 1 , 2.17 lim n 2 n 3 − 3 n 2 + 15 , n→∞
n→∞
1
)
1
1
1
2.18 lim
√
+ √
+ . . . + √
,
n→∞
n 2 + 1
n 2 + 2
n 2 + n
√
√
1
1
2.19 lim n 1 +
+ . . . +
,
2.20 lim n 2 ( n + 1)( n + 2) ... 2 n, n→∞
2
n
n→∞
sin n
n sin n!
2.21 lim lim
,
2.22 lim
,
n→∞
n
x→ 1 ( n + 1)
√ √
√
√
√
2.23 lim
n( n + 3 −
n) ,
2.24 lim n(
n 2 + 1 −
n 2 − 1) , n→∞
n→∞
√
√
1 + 2 n 2 −
4 n 2 − 1
√
2.25 lim
,
2.26 lim 3 n 3 + 4 n 2 − n.
n→∞
n
n→∞
3. Wyznaczyć granice ciągów: (
)
(
)
2 n + 1 n
3 n − 1 2 n− 1
3.1
xn =
,
3.2
xn =
,
2 n − 2
3 n + 1
(
)
(
)
1
2 n+3
1 n 2
3.3
xn = 1 +
) n
,
3.4
xn = 1 +
,
n 2
n
(
)
(
)
2 n+3
3 n− 1
n 2 + 7 n + 3
n 2 − 1
3.5
xn =
,
3.4
xn =
,
n 2 + 2 n − 1
n 2 + 2 n + 3
(
)
√(
)
n
n
n 2+1
n
n 2 + 3 n + 1
3.6
xn =
√
,
3.7
x
,
3
n =
n 3 + 2 n 2
n 2 + 5 n + 1
(
)
(
)
1 2 n+1
π n 2
3.8
xn = 1 + sin
,
3.8
xn = cos
.
n
n
2